Исследование операций и методы оптимизации

∆z = β ;

y ± ∆y = f (x ± ∆x(α) z ± ∆z(β))

α + β =1,

∆x

α

где ∆ , ∆

– приращение аргументов;

соот-

α β – коэффициенты относительной важности приращений ∆ , ∆

ветственно;

– исходное значение и приращение результирующей функции.

∆

Знак «п юс» или «минус» говорит о том, будет ли зна ение аргумента

уменьшатся

или увеличиваться для решения поставленной

задачи.

Определение цены

количества товара может быть выполнено тремя

способами

в зависимости

от соотношения величин прироста аргументов

(табл. 2.9). Так, если нужно увеличить значение выручки, то это может быть

достигнуто следующими

;

1)

увеличение ценыспособами:количества

( − ). В этом случае,

2)

увеличение цены (

+ )

и уменьшение количества

(

)

(

)

чтобы произошло увелич ние выручки, увеличение цены должно быть

выполнено в большей степени, чем уменьшение колич ства, поэтому

+

+

должен быть выше,

коэффициент относительной важности цены

(α)

3)

чем коэффициент относительной важности количества

(β);

уменьшение цены

( − )

и увеличение количества

( + )

. В этом случае,

чтобы произ шло

выручки, увелич

количества долж

но быть выполненоувеличениебольшей степени, чем уменьшение

цены, поэто-

му коэффициент относительной важности количества

(β) должен

быть выше, чем коэффициент относительной важности цены (α).

Таблица 2.9 – Варианты достижения цели

Вид зависимости

+

Прирост результата

–

Мультипликативная

+

+

+ −

− +

−

−

+

−

−

+

α

β

α > β

α < β

α < β

α > β

Установим

значенияβ =

коэффициентов важности приращений аргументов

функции: α =

.

Тогда решение задачи для случая увеличения аргументов может быть по-

лучено следующим образом:

= .

( + ∆

)( + ∆ )

+ ∆ =

α

∆p =

∆p

∆c

β

в уравнение и решим его:

Подставим полученное выражение

∆

∆

=

∆

(c + ∆c)( p + ∆c) =

(

∆c2

+

∆c −

=

+ ∆c)(

+

∆c)

=

Значения количества проданного товара

цены равны:

=

,

= .

Рассмотрим также решение

детерминированной обратной задачи с адди-

∆

=

тивной исходной функцией.

∆

=

=

), и прибыль, направляемая

Прибыль, направленная на потребление

(

на инвестиции ( ), образует общую прибыль

(

):

, β =

. Нужно

Исходные

данные:

=

,

=

=

+ ,

=

, α =

определить такие значения

и

, при которых общая прибыль будет рав-

на 18. Этого можно добиться двумя

уменьшив значения

и

,

Решение для случая на рисункеспособами:2.13,

либо увеличив

и уменьшив

(рис. 2.13,

, б).

п

= .

− ∆ )

− ∆ = + ∆ + (

∆Пи

β

α

∆

и

∆

п

=

α∆

∆ и

= −

∆

β

α

β −

Рис. 2.13 –

расчета общей

в случае

зменения показателей:

Деревоа) разных направлениях;прибыли) в одном направлении

Подставив значение, получим:

0,732

−1 = 3,5;

∆Пи = −

∆Пп =

0,3 3,5

=1,5;

0,7

8

Пи =

− 3

= 4,5;

П

=

12

+1,5

=

13,5.

В случае на рисунке 2.13, б

уменьшаются оба показателя, причем в боль-

шей степени уменьшение происходит

за счет величины П

и

:

П − ∆П = П

п

− ∆П

п

+ (П

и

− ∆П

и

);

∆Пп

= β .

∆Пип = α∆Пи , ∆Пи = − ∆П .

∆

α

β +1

Подставив значение, получим:

β

α

∆Пи = −

0,732+1 =1,4;

∆Пп =

0,3 1,4

= 0,6;

0,7

8

−1,4

Пи =

=

6,6;

Пп

=

12

− 0,6

=

11,4.

Рассмотрим другой вид целевой функции: прибыль равна выручка минус

себестоимость (

−

).

в следующем: необходимо нарастить прибыль

Целевая установка

за счет повышения выручкисостоитсебестоимости, причем бол

часть прироста

рибыли должна произойти за счет повышения прибыли,

ьшаям ньшая – за счет

повышения себестоимости. Такая целевая установка отражается

следующим

образом:

Представим эту задачу в виде системы уравнений:

+ =

+

(α) −

+ (β)

α > β

∆С =

β .

+ ∆

и

=

+ ∆

−

− ∆

Решив ее относительно ∆

∆

получим:

∆В

α

Подставляя полученное выражение в первое уравнение, получим:

∆ =

α

∆

∆П

β

∆

=

·······················

α

·······················

Пример 2.8

β

−

Пусть исходные значения равны: α =

; β =

;

=

;

=

;

= ;

∆

=

(рис. 2.14). Тогда:

∆П

4

∆

=

=

,7

=

α

0,3

β

,7

0,3

−1

−1

чение

Следовательно, новое значение выручки будет равно:

=

+

=

, зна-

составит

=

+

=

, а прибыль

будет равна

=

=

−

себестоимости= , . . её увеличение равно заданному значению (∆ =

).

∆

=

=

Рис. 2.14 – Задача

себестоимости

·································································

·······················

Пример 2.9 ·······················

Рассмотрим следующий пример. Рентабельность Р рассчитывается деле

нием прибыли

П на себестоимость

С. Необходимо увеличить рен-

табельность за счет повышения прибылипродукцииснижения себестоимости, причем

большая часть увеличения рентабельности должна произойти за счет повыше-

ния прибыли,

меньшая – за счет снижения себестоимости. Такая целевая

установка представляется следующим образом:

Составим систему уравнений:

С−

(β)

Р+ =

П+

(α), α > β.

Р + ∆Р

=

П

+ ∆П

;

С

− ∆С

∆С = β .

Выражаем из второго уравнения изменение прибыли:

∆П

α

∆П = α ∆С.

Подставляем его в первое уравнение:

П + α ∆С

Р + ∆Р =

β

С − ∆С ;

β

П +

α ∆С = С Р − ∆С Р + С ∆Р − ∆С ∆Р;

П + α ∆С = (Р + ∆Р)(С − ∆С);

α ∆С

β

+ ∆С Р + ∆С ∆Р = С Р + С ∆Р − П;

β

α

∆

β

+ + ∆

= + ∆ −

∆ =

С

Р + С ∆Р − П

=

(

+ ∆ )

−

α

;

;

; ∆

.

Исходные значения:

β

+

; β

;

β

+

+ ∆

α

+ ∆

α

Тогда изменение себестоимости составит:

∆ = С (Р + ∆Р)−

П = 4

(6

+ 4)− 24 =

Изменение прибыли:

α

+ Р + ∆Р

7

,7

β

0,3 + 6 + 4

∆

=

0,3

=

Следовательно, новые значения себестоимости и прибыли будут равны

·································································− = и + = соответственно. Рентабельность составит

= .

Если результирующая величина зависит от не кольких переменных,

можно использовать процедуру свертки либо решить систему с

+

уравнени-

ями (

– число аргументов).

Рассмотрим случай зависимости от трех аргументов. Общие затраты

( )

включают материальные затраты

(

), затраты на оплату труда

(

)

затраты

на аренду помещения

(

):

=

+

+

. Допустим, необходимо

снизить

уро-

вень затраты за счет снижения всех элементов. Тогда целевая установка будет

иметь следующий вид:

которая будет равна сумме двух

Свернем эту формулу. Введем

последних затрат: Т

(β)+ А

(

γ) = О величину,(σ) σ = β + γ

.

З

=

М

(α)+ О

(σ).

−

=

−

(α)

+

− (β)+

−

(

γ)

Далее последовательно решаются две задачи

двумяТогдагументами, при этом

значения коэффициентов относительной

важности нормируются.

−

−

−

−

−

−

·······················

Пример 2.10 ·······················

Рассмотрим эту задачу для следующих

исходных

данных

(рис. 2.15):

α = ; β =

; γ =

;

=

;

=

;

=

;

=

; ∆ = .

Тогда

Рис. 2

О = Т + А = 8;аргументами

σ = 0,3+ 0,2 = 0,5.

а):

Решаем систему (графическое представление задачи на рисунке 2.16,

З − ∆З =

М − ∆М + О − ∆О;

∆М

= α

;

∆М = ∆О α .

σ

∆О

Рис. 2.16 – Представление задачи и подзадачи

Подставляем выражение в первое уравнение, получим:

∆О =

1

∆З

=

1

8

= 4;

+ σ

+ 0,5

= 4.

∆М = ∆О

σ =

4 0,5

α

модель Т− (β)+ А− (γ) = О− (σ),

Теперь нужно рассмотреть вторую

α

σ = β + γ и найти значения Т и А (рис. 2.16, б).

Выполним нормирование коэффициентов относительной важн сти (т. к.

их сумма должна быть равна 1). Для этого разделим значение

каждого коэффи-

циента важности на сумму двух коэффициентов:

,5

β + γ

β′ =

β + γ

=

0,5

β

3 =

Получим систему уравнений:

γ

2 =

γ′ =

=

Из этой системы:

− ∆

=

− ∆

+ − ∆

∆Т

β′.

=

∆А

γ′

∆О

1

+

4

1+

γ′

0,4

∆

= ∆

β′

γ′

6

∆ =

β′ =

6 =

0,4

= ;

Таким образом, новые значения величин будут равны:

=

−

= −

=

;

=

− =

. Сумма затрат составит:

+

+

=

, что со-

∆

=

=

ответствует искомому значению общих затрат.

·······································································

Модифицированный метод обратных вычислений

опреде

Модифицированный метод обратных вычислений заключается

ентов относительной важности. Он предполагает постр ение уравнения связи

лении аргументов функции на основании её указанного значения

коэффици-

между

аргументами

вида

=

±

и

подстановку

полученного уравнения

в исходное соотношение [4].

–

Для построения функции используются следующие формулы (

функция,

– начальные значения аргументов):

b

=

α

β

В случае обратной

между аргументами (один увеличивает-

ся – другой уменьшается,зависимости. е. изменение происходит в разных направлениях):

= +

. В случае прямой зависимости:

=

−

.

В итоге получаем уравнение:

или

=

+

(в случае прямой зависимости)

В отличие

=

−

(в случае обратной зависимости).

т классического метода обратных вычислений он позволяет

избежать

проверок согласованности дополнительной информации, поступаю-

щей от человека: соответствия поставленной цели коэффициентам важности.

·······················

Пример 2.11

·······················

Рассмотрим пример определения цены и количества проданного товара

(рис. 1.1)

помощью линейного уравнения (α =

; β =

). В случае пря-

мой зависимости расчет осуществляется следующим образом:

a =

−

0,2575

= −

Подставляем полученную зависимость в исходную формулу:

= −

+

Решая квадратное уравнение, получим:

(

−

+

c)c

=

2.13,Рассмотрим: =

также реализацию алгоритма

примере задачи

рисун-

,

=

,

α =

,

β =

.

Величина, имеющая наименьший

коэффициентппропорци нальности –

=

.

= −

+

=

Построим линейное уравнение:

β

и

п

α

Подставляем полученное уравнение в исходную формулу зависимости:

+

=

+

=

=

и

−

и

и

0,57

=

=

−

+

=

и =

Результат совпал с полученным ранее.

и

Аналогично найдем решение для случая на рисунке 2.13, б:

=

−

=

−

=

Величина

=

,

=

, α =

,

β =

.

имеетпнаименьший коэффициент пропорциональности.

Построим линейное уравнение:

α

Подставляем полученное уравнение в формулу:

п

−

β

и =

−