Исследование операций и методы оптимизации

Таблица 3.11

Свободные

члены

…

…

…

…

…

…

Шаг 1. Среди

столбцов из

коэффициентов

при неизвестных выбирается

столбец, в котором имеется хотя бы один положительный элемент. Если в та-

м столбце несколько положительных элементов, то из них выбирается тот,

к торый отвечает наименьшему частному при делении соответствующих сво-

бодных членов на положительные элементы выбранного столбца. Выделенный

таким образом элемент называется разрешающим.

Шаг 2. Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент

и переписываются в новую таблицу.

следующим обра-

Шаг 3. Каждая новая трока новой таблицы

зом: из строки элементов

исходной таблицы вычитаетс

разрешающая строка,

полученная на шаге 2, которая предварительно умножаобразуется на соответствую

щий элемент разрешающего столбца. При этом в клетках выделенного (разре

шающего) столбца появятся нули. На этом заполнение новой таблицы заканчи-

вается и происходит переход к шагу 1.

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено неотрицатель-

ное базисное решение.

Пример 3.9 ·······················

·······················

Найти неотрицательное базисное решение системы:

x

−

x

+

x

= −

1

x

5

x

6

x

−

x

− x

=

2

5

6

x

−

+ x

= −

3

+ x5

−

x6

= −

4

5

6

Воспользуемся методом симплексного преобразования. Перед состав

ием начальной

с целью получения неотрицательных свободных чле

Этап преобра-

Таблица 3.12 – Этапы решения задачи

Свободные

зований

x

x2

x3

x4

x5

x6

члены

Этап 1

–1

0

0

5

2

3

1

0

–2

–1

5

0

–1

3

7

Этап 2

0

–1

–1

3

4

1

0

1

2

3/5

–2/5

1

0

–9/5

31

3/5

–1

0

1/5

6

Этап 3

–1/5

0

0

–1

13

23/5

0

1

2

0

–5/3

26

1

5

0

1

Этап 4

0

1 3

–1

8/3

19 3

0

3

1

1

25/8

1

–7/8

–5/8

0

109/8

1

0

–13/8

1/8

0

63

0

–1/8

–3/8

1

19/8

Итак, получили базисное решение

(

), что при

необходимости позволяет составить первую симплекс-таблицу с начальным ба-

зисом

= (

)

В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна

базисная переменная.

·······································································

Метод искусственного базиса

Другим методом поиска начального базиса является метод искусственно-

го базиса [1].

В систему ограничений

вводятся

искусственные

переменные

xn+i ≥

( =

) и вводится искусственная целевая функция

( ) =

m

. Таким

образом, приходим к следующей задаче линейного программирования

z(x) → min,

i=1

∑ +

(3.20)

∑ ij

j +

n+i

i

=

=

n

j=1

Далее ищется решение задачи (3.20) симплекс-методом. В качестве бази а

спользуются переменные

+

. В процессе решения переменные

+ выводятся

из базиса, а переменные

k

≥

=

+

вводятся

базис. Процесс поиска заканчивается,

когда все переменные

+

будут выведены

из базиса, при этом значение искус-

ственной целевой функции

обращается в ноль.

······················

·······················

Пример 3.10

Найти неотрицательное базисное решение системы:

−x

+

x

−

x

=

1x

− x

−

5x

− x6

=

2

+

x5

− x6

=

− x

− x

5

+

x

=

3

6

ные

Введем в систему ограничений4 дополнительные5 6

которые будем называть искусственными. В результатпеременполучим систему:

−x

+

x

−

x

+ x

=

x

1

−

x

− x

+ x

=

5

− x6

6

7

−x2

+

x5

+ x8

=

−x

3

− x

+

x

6

+ x

9

=

5

Запишем искусственную целевую функцию:

4

5

6

10

Из системы ограничений выразим дополнительные переменные

через исходные, получим:

=

+

+

+

=

+

−

+

=

+

+

−

Подставим в целевую функцию, получим:

Дальше реша

=

+

−

+

+

−

+

ис

задачу симплекс-методом. В результате реш ния

кусственные переменные должны выйти из базиса. Решение приведеновсетаб-

лице 3.13.

Таблица 3.13а – Решение задачи (первая итерация)

Небазисные переменные

Свободные

члены

–1

↓

0

0

5

–2

3

0

→

0

1

0

0

–2

–1

5

переменныеБазис

0

0

–1

0

3

–1

7

0

0

0

–1

–1

3

4

Целевая

1

–1

1

1

–5

1

–19

функция

Таблица 3.13 – Решение задачи (вторая итерация)

Небазисные переменные

Свободные

члены

–1

0

0

0

↓

–2

3

→

5

1

0

0

–2

–1

5

переменныеБазис

0

0

–1

3

7

0

–1

1

3

4

Целевая

1

1

1

1

–7

0

–14

функция

Таблица 3.13в – Решение задачи (третья итерация)

Небазисные переменные

Свободные

члены

1

0

1

↓

3/5

0

2

–2/5

1

0

2/5

–9/5

31

переменныеБазис

3/5

0

–1

–3/5

1/5

26/5

→

–1/5

0

0

–1

1/5

13/5

23/5

Целевая

–2/5

1

1

1

7/5

–14/5

–49/5

функция

Таблица 3.13г – Решение задачи (четвертая итерация)

Небазисные переменные

Свобод-

ные чле-

0

2

2

ны

↓

0

7/13

17/13

–7/13

1

–9/13

9/13

122/13

переменныеБазис

→

8/13

0

–1

1/13

–8/13

–1/13

63/13

–8/13

0

0

5

21/13

5/13

23/13

Целевая

1

1

–1/13

14/13

–63/13

функция

Таблица 3.13д – Решение задачи (результат)

Свобод-

Небазисные переменные

ные чле-

3

0

3

1

1

ны

0

25/8

7/8

1

–7/8

–5/8

5/8

109/8

переменныеБазис

13/8

0

–13/8

1/8

–1

–1/8

63

1/8

–1/8

–3/8

0

3/8

19/8

Целевая

1

0

0

1

1

0

функция

Итак, получили базисное решение

(

). Это базис-

ное решение совпало с решением, полученным симплексным преобразованием

таблицы ограничений. Значение искусственной целевой функции рано нулю.

В результате получим следующую систему уравнений-ограничений:

x

−

x

+

x

=

x

1

x

3

x

4

−

−

=

x2

−

x3

−

x4

=

x5

−

x3

−

x4

=

6

3

4

·········································· · ····························

Рассмотрим случай, когда часть ограничений задана в виде неравенств,

а часть ограничений – в виде равенств:

n

j

i

n

∑ ij

j=1

≤

=

∑ ij

j

i

j =1,...,n.

j=1

x

≥

0,

n+i

,

Дополним неравенства

дополнительными

=

x +

а ограничения равенства дополним

искусственнымипеременнымиеменными

+

j

=

=

+

=

− . В результате мы получим систему ограничений в стандартной

форме:

n

j

n+i

i

∑ ij

+

=

=

n j=1

j +

n+i

i

∑ ij

=

= +

j=1

x

≥

0,

j

=1,...,n + m.

Затем рассматривается вспомогательная задача:

j

x

z x

=

m

→

i

∑

n+i

n

=k

+1

j

n+i

i

∑ ij

+

=

=

j=1

n

j +

n+i =

i = +

∑ ij

j=1

j

.

≥

=

+

В качестве начального базиса используются переменные

=

В процессе решения искусственные переменные выводят

из базисаn+i. При этом

дополнительные переменные

n+i

=

должны

остаться

базисе. На по-

следнем шаге симплекс-метода значение искусственной целевой

функции будет

равно нулю.

3.4 Задачи многокритериальной оптимизации

в

В практической деятельности часто встречаются задачи, заключающиеся

лучшего (оптимального) решения

наличии различных

другпоискедругу

оптимальности.

Например, принятие решениянесводимыхстрои

тельстве дорогикритериев

города должно учитывать такие факторы, как выиг

рыш города в целомобъездсоображениям экологии, проигрыш отдельных пред-

риятий

фирм,

например,

из-за уменьш ния проезжающих через город

потенциальных покупател й,

многие

другие. Если такого рода задачи реша

ются методами математического программирования, то говорят о задачах мно-

гокритериальной оптимизации. Эти задачи могут носить как линейный, так и

нелинейный характер. Далее будем рассматривать только линейные задачи [1].

Задачи многокритериальной оптимизации возникают в тех случаях, когда

имеется несколько целей, которые не могут быть отражены одним критерием

(например, стоимость

надежность). Требуется найти допустимое решение,

которое минимизирует или

максимизирует все такие критерии. Если в подобно-

го рода задачах речь идет не о разнородных критериях некоторой системы,

сопоставлении однородных критериев разных ее подсистем (например, отрасли,

группы населения и т. п.), то эти

задачи называются задачами векторной оп-

тимизации.

-й частный критерий через

), где

– допустимое ре-

шение,Обозначимобласть д

(

пустимых

ешений – через

i . Задачу многокритериальной

оптимизации можно сформулировать следующим образом:

(3.21)

(

) = {

1

(

)

2

( )

m

(

)} →

другу. Поэтому процесс решения

адач неизбежно связан

с экспертными оценками как самих критериев, так

взаимоотношений между

ними. Известен ряд методов решениямногокритериальныхзадач риальной оптимизации:

•

оптимизация одного пр зн нного

наиболее важным критерия, осталь-

ные критерии при этом играют роль

ограничений;

оп

•

упорядочениетимизация

заданного множества критериевдополнительныхпослед

каждому из них (этот подход рассмотреновательнаяниже при-

мере

последовательных уступок);

•

сведениеметодаогих критериев к одному введением экспертных весовых

коэффициентов для каждого из критер

ев таким образом, что более

важный критерий получает б лее

высокий

вес;

•

метод справедливого

компромисса,

который допускает

важность всех частных

не требует их нормализацииодинаковую

упорядоченности по степеникритериевжности.

Для решения задач многокритериальной оптимизации используют крите

рий оптимальности Парето, суть которого состоит в улучшении одних показа-

телей при условии, чтобы другие не ухудшались.

Вектор

*

называется эффективным (оптималь ым по Парето) реше-

нием задачи (3.21), если для любого вектора

выполняется соотношение

i (

) ≤

i (

* )

=

.

причем хотя бы для одного значения

имеет место строгое

Множество допустимых решений, для которых

неравенствоодновремен-

но улучшить все частные показатели эффективностиневозможн(т. . улучшить хотя бы

дин из них, не ухудшая

принято называть

областью Парето,

или

бластью компромиссов,остальных),принадлежащие ей решения – эффективными,

оптимальными по Парето.

Метод уступок

Рассмотрим один из методов решения многокритериальных задач – метод

последовательных уступок [1].

уступок решения

задач многокритериальной

Метод

оследовательных

оптимизации

применяется

случае, когда частные критерии могут быть упоря

дочены в порядке

их важности. Предположим, что все частные кри-

Находим максимальное значение

первого по важ сти критерия в области

допустимых решений путем решения однокритериальной задачи:

Z

X

→

1

(

X)

S.

принятой точности, назна-

Затем, исходя из практических соображений

чается величина

отклонения

∆1

>

(экономически

оправданной

уступки) критериядопустимого, далее находится максимальное значение второго кри-

терия

при условии, что значение первого критерия не должно отклоняться от

максимального значения более, чем на величину допустимой уступки,

своегот. . решается задача:

Z

2

X ) →

(

Z

(X )

≥ Z

*

− ∆

X

S.

по второму критерию, кото

Снова назначается величина уступки

∆

>

рая вместе с первой уступкой используется для нахождения условного макси-

мума третьего частного критерия:

X ) →

2

Z3

(

*

− ∆

Z

(

X )

≥ Z

Z

(

)

≥

*

− ∆

Аналогичные процедуры

X

S.

до тех пор, пока не будет выявлено

максимальное значение последнегоповторяютсяважности

ия

при условии, что

значение каждого из первых

−

частных критериев отличается от соответ

ствующего условного максимума не более чем на величину допустимой уступ-

ки по данному критерию. Полученное на последнем этапе решение считается

оптимальным.

Рассмотрим пример решения задачи многокритериальной оптимизации

методом последовательных уступок.

Пусть задача трехкритериальной оптимизации имеет вид:

2)

Z

= −x

+

x

→

Z

=

x

+

x

→

3)

Z

= x

1

−

→

(3.24)

1

2

2

3

1

2

3

2

x

120

+ x

≤ 6;

(3.25)

1

≤ x2

≤ 3;

1

≤ x1

≤ 4.

Заметим, что . . коэффицие ты2при одних и тех же переменных в дан

ных частных критериях имеют

разные знаки, то в заданной области

-

мых решений невозможно

дновременно улучшить все частные критерии,допусти. е.

в рассматриваемом случае

область компромиссов (область Парето) совпадает с

областью допустимых решений.

Для определен ости будем считать, что допустимые уступки по первым

двум критериям заданы: ∆1

= 3;

∆2

=

5 3.

. . реша

Максимизируем функцию

Z

в области допустимых решений,

функции

Z

при

(3.25) достигается в точке A обла-

сти S Максимумкоординатами (1;4), так чтоусловияхданном случае

1

(A) = 7.

x*

=1; x* = 4; Z* = Z

Переходим к максимизации функции

Z

при условиях (3.25) и дополни-

1

2

1

1

Z нельзя усту-

тельном ограничении, позволяющем учесть, что по критерию

2

1