Исследование операций и методы оптимизации

CT-1

5

2

20

CT-3

1

–1/2

1

→

8

4

38

–2

5

15

–7

–3

0

1

1/4

59/2

↓

CT-2

1/5

2/5

4

→

–8/5

4/5

6

7/5

↓

–1/5

28

Рис. 5.2 – Симплекс-таблицы

СТ-4

1

–1/2

15/2

–2

5/4

↓

→

0

–1/4

–1/2

CT-5

1

1/4

59/2

1

2

2

–2

5

5

0

4

29

1

1

Рис. 5.3 – Симплекс-таблицы

Повторив процесс решения симплексным

етодом для данной расширен

ной системы ограничений, получим новый оптимальный план, в котором пере

входящие в базис, принимают целые

x

=

x =

x =

. Та

менные,к образом, приобретение двух машин типазначения:А пяти машин типа Б обеспе

ч

максимум

1

2

4

участка, равный 29 тыс. единиц продук

цииваетсмену. Заметим,производительностичто если бы качестве плана был выбран вариант, полу

чаемый в результате округления первоначального решения задачи симплекс-

ным методом

x =

x

=

, то суммарная производительность была бы равна

лишь 28 тыс. единиц продукции.

(

1

2

)

·······································································

5.2.2 Решение частично целочисленных задач методом Гомори

Если

целочисленности подчинены не все переменные ЗЛП,

то такая задачатребованиюназыв

ся частично целочисленной [1].

Для р шения

частично

целочисленных задач также используется метод

Гомори,

его

алгоритм в этом случае отличается видом коэффициентов α +

в

дополнительной строке:

x

α

… α

β

Если переменная

подчинена требованию

целочисленности, то имеем

n+

n+

m+

n+ n

n+

a)

−a ,

a

rj

≥

brj

Если же переменная

n+1, j

1

brj}

arj ,

a

rj <

−{

не подчинена требованию целочисленности, тогда

б) α

α

=

{ rj}

=

b

},

n+1, j

{

rj

{

rj}≤ {

r}

{

r}

Вычисления заканчиваются, когда целыми являются необязательно все

b

({ }−1),

коэффициенты

1

−

{ }> { }

, подчи-

, а только те, которым соответствуют переменные

{ r}

ненные требованию целочисленности.

·······················

Пример 5.3

·······················

Решить частично целочисленную задачу линейного программирования.

f (x) = x

−

x

2

→

x

1

+ x

2x

≤

− x1

+

2

≤

x

1

j

≥

x

2

Запишем задачу в каноническом виде:

f (x) = x

−

x

2

→

1

+ x

− x1

+ x

=

+

x

2x

+

3x

4

=

1

2

2

Нахождение решения представлено на рисунке 5.4.

СТ-1

3

12

СТ-2

–1/3

4

↓

↓

1

→

17/3

→

–8

3

24

–8/3

1/3

8

1

–10

0

–77/3

10/3

80

СТ-3

3/17

–1/17

12/17

8/17

3/17

168/17

77/17

31/17

1668/17

Найденное р шение

Рис. 5.4 – Поиск решения

x* =

(

)

по второй переменной не удовле-

творяет усл вию целочисленности.

По второй строке составим дополнительное ограничение (рис. 5.5).

Таким образом, получим:

xɶ*

= (

)

f

*

= −

.

3/17

–1/17

12/17

1

–1/3

1

8/17

3/17

168/17

0

1

9

–8/17

–3/17

–15/17

8/3

–17/3

15/3

77/17

31/17

1668/17

–1/3

31/3

89

1

–1/3

1

0

1

9

–8/3

–43/9

7/3

1/3

92/9

268/3

Рис. 5.5 – Учет дополнительных ограничений

·······································································

5.3 Метод

и границ

тся на практике для ре

Методветвейи границ (МВГ) широко

шения как полностью целочисленных задач, использутак смешанных задач целочис-

ленного линейного программирования (ЦЛП). Он применяется

большинстве

коммерческих программ решения ЗЦП. По существу МВГ

редставляет собой

эффективную процедуру перебора всех целочисленных допустимых решений

[1].

Как известно, в методе Гомори решение основано на отсечении

численных допустимых решений. В МВГ используется округление нецелочис-

ленного оптимального решения ЗЛП.

Пример 5.4

·······················

·······················

Пусть оптимальное решение двумерной ЗЛП есть

x* =

) . В каче

стве кандидатов на роль приближенного целочисленного оптимального реше-

ния необходимо рассматривать решения (3;4), (4;4), (4;5), (3;5), полученные

в результате

. Истинное оптимальное

численное решение может

не совпадатьокругленияс одним из четырех, поскольку целое значение

в оптималь-

155

ном реше ии может быть > 4 или < 3. Таким бразом, для получения истинного

оптимального

решения

приходится расс атривать все возмож

ные значения

xцелочисленногобольшие меньшие 3,5. Другими словами,

оптимально цело

численное значение

x должно удовлетворять неравенству x ≤

3 либо

неравен-

ству x ≥ 4

1

x

– либо

x ≤ 4

, либо x

≥ 5. При

. Аналогично по переменной

наличии

1

1

задаче ЦЛП большого количества переменных важно иметь проце-

дуру, позволяющую систематически перебирать все возможные целочисленные

1

2

2

2

реш ния,

олучаемые при округлении оптимального решения ЗЛП. МВГ по

существу представляет собой такую процедуру эффективного перебора цело-

числен-ных решений, получаемых при округлении оптимального решения.

·······································································

Для иллюстрации основных принципов МВГ рассмотрим следующую за-

дачу ЦП.

Пример 5.5

·······················

·······················

f (x) = 3x

Решить задачу:

+

2x

→ max,

x

≤

2; x

≤

2;

x

1

2

(5.3)

+

≤ 3,5;

1

2

2

1

≥ 0;

x1

,x2

.

Начальный шаг решения этой задачи состоит в нахождении решения ЗЛП

без учета целочисленности

x

x

1

2

. На рисунке 5.6 представлено графическое

решение ЗЛП. Оптимальное

решение1 2

задачи (5.3) имеет вид:

x*

= (2;1,5); f * = 9 .

Так как x =

, то найденное решение не может быть оптимальным ре-

шением исходной2

задачи ЦЛП. Но найденное значение

f * =

представляет со

б й верхнюю границу истинного оптимального решения, поскольку при вы

полнении требования целочисленности

значение

может лишь умень-

шиться.

,

Следующий шаг МВГ состоит в просмотре це оч сленных значений

больших или меньших

. Это делается путем добавлен я к задаче (5.3) нового

ограничения: либо x

2

≤1,5

либо

x

2

≥

. Таким образом,

из задачи (5.3) получа-

ются 2 задачи следующего вида:

x

x

f

(

x

)

=

+

→

1

2

1

≤

2; x

≤ 2;

≤

1

2

3,5;

(5.4)

2 + x

2

≤

1

, x2

0;

x1

≥

.

x

f1

x2

=

x

+

→

1

(

)

x

1

2;

2

≤

≤

≥2;

2

3,5;

(5.5)

2

+ x

2

≤

1

0;

x1

≥

, x2 .

1

2

На рисунках 5.7 и 5.8 изображены допустимые области задач (5.4) и (5.5)

соответственно (на рис. 5.8

≡

). Допустимые области задач обла-

дают следующими свойствами:

x =

) недопу-

1.

Оптимальное решение задачи рисунка 5.6 – (x =

1

2

стимы для обеих задач (рис. 5.7, 5.8). Таким образом, это решение не

2.

повт рится.

решение исходной задачи допу

Любое целочисленное

стимо и для рисунков 5.8(допустимое)5.9. Таким образом, при введении этих за

дач не происходит потери допустимых целочисленных решений ис-

ходной задачи.

, т. е. x* = (

Оптимальное решение задачи (рис. 5.7) – это точка

)

158

S

димо проверить существование в допустимой области

решения, дающего значение ЦФ F ≥ 8. Для этого рассмотримЛП−3 целочисленногоЛП-4

ЛП-5, получающиеся при добавлении к ЛП-3

й x

≤1задачиx ≥ 2 соот-

ветственно. SЛП−4

из отрезка DE (рис.ограничени5.9), задача ЛП-5 не имеет до-

пустимых решений,состоит. е. SЛП−5 = .

1

1

Оптимальное решение ЛП-4

x* = (1;2); F* = 7 .

значение

Следовательно, для любого целочисленного решения в S

ЦФ ≤ 7. Таким образом, точка x* = (2;1) задачи ЛП-2 представляетЛП−собой4

опти-

мальное целочисленное решение исходной задачи; оптимальное значение ЦФ

в этой точке равно 8.

льность задач ЛП, возникающих при ис-

Удобно представить

пользовании процедуры МВГпоследоватвиде дерева

. 5.10).

ей.

Дерево состоит из множества вершин(риссоединяющих их дуг или

Вершина 1 соответствует ЛП-1 без учета требований ц

. Ветвле-

ние в вершине 1, определяемое целочисленной переменнойелочисленностиx

ограничения x2 ≤1, приводит к вершине 2 (ЛП-2). Так как ЛП-2 имеетпомощьюпти-

мальное целочисленное решение, то нет необходимости производить ветвление

в вершине 2. Такая вершина называется прозондированной.

Ветвление в вершине 1 по ограничению

x ≥ 2 дает ЛП-3. Так как опти

мальное решение ЛП-3 дробное,

происходит

2дальнейшее

·······································································

Алгоритм МВГ

Рассмотрим частично целочисленную задачу вида [1]

F

= cT x

→ max,

Ax = b,

x ≥ 0,

x

( j I ),

где I – множество индексов целочисленных переменных.

j

Шаг 1. На первом шаге шается задача ЛП-1, где все ее переменные рас

сматриваются как непрерывные. Пусть в оптимальном решении F

ЛП-1 неко

торые целочисленные переменные принимают дробные значения,1

тогда опти

мальное решение исходной задачи не совпадает с F . В этом случае F пред-

1

1

ставляет собой верхнюю границу оптимального значения

исходной задачи

ЛП-1.Шаг 2. Производится ветвление по одной из целочисленных перем нных,

имеющей дробное значение

оптимальном решении ЛП-1. Для

определения

пере

енной, по которой

производится ветвление, разработан ряд правил. При-

ведем некоторые из них.

1.

Выбор целочисленной переменной, знач ние которой в оптимальном

2.

решении ЛП-1 имеет наибольшее дробное значение.

Приписыва ие целочисленным переменным приоритетов и ветвление

по

переменной

с наибольшим приоритет м, например:

а)

данная переменная представляет собой важное решение, принима-

б)

мое в рамках рассматриваемой модели;

ее коэффициент стоимости или прибыли в ЦФ существенно пре-

в)

восходит остальны ;

значение данной переменной играет ключевую роль для модели с

точки зрения разработчиков и пользователей.

3. Произвольные правила выбора. Например, можно выбирать перемен-

ную с наименьшим н мером.

, дробное

Пусть

происходит по целочисленной переменной

значение которойветвление

решении ЛП-1 равно β . Далее рассматрива-

ются две новые задачиоптимальномЛП-2 ЛП-3, получаемые путем введения ограничений

x

≤

β

и x

≥

β , соответственно, где

β

– наименьшее целое ≤

; здесь

–

целое

значение переменной ;

– наибольшее целое

>

.

β

Условия ЛП-2

и

ЛП-3

можно

записать следующим образом (см.

рис. 5.11):

ЛП-2

ЛП-3

F = cT x →

F = cT x →

Ax = b x

≤

β

Ax = b x ≥

β

Допустим, что оптимальные решения задач ЛП-2 и ЛП-

3 также содержат

дробные значения целочисленных переменных и поэтому не являются допу-

стимыми для исходной задачи.

≥

≥