Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Исследование операций и методы оптимизации

..pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
13.8 Mб
Скачать

 

б) если L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

> l , положить k = k +1 и перейти к шагу 4.

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.4 ·······················

·······················

 

 

 

 

 

Выполним поиск минимума рассмотренной на рисунке 1. функции ме-

тодом золотого сечения. Пусть начальный интервал равен

[3;2]. Точность

l = 2.

Вычислим величины

y0 , z0 (рис. 1.8):

 

5 (2 (3))= −1,09;

 

y = a

+

3

 

5 (b

a

) = −3 + 3

 

0

0

z

 

 

2

 

+ b

0

y

0

= −3 + 2

2

 

 

 

 

 

0

= a

 

0

(1,09) = 0,09.

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

Рис

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ция 1)

 

 

Значения функции в точках:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (y

) = (1,09)2 =1,19;

 

 

 

 

 

Выполняется условие:

 

f (z0

= (0,09)2

= 0,01.

 

 

 

y = 0,09,

z

 

f (y0

> f (z

0

). Значит, a = −1,09, b = 2 ,

= −1,09 + 2 0,09 = 0,82 (рис. 1.09).

 

 

1

1

 

1

1

Вычисляем L

=

b

a

 

= 2 (1,09)

=

3,09 . Эта величина

 

больше задан-

 

 

 

ной точности (l = 2),

поэтому

 

переходим

 

следующей итерации.

 

 

 

k

 

1

1

 

функции в точках y , z :

 

 

 

 

 

Рассчитаем значения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (y

) = (0,09)2

= 0,01;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z

22

= 0,67.

 

 

 

Так как f (y

)

f (z

)

) = (0,82)2

 

и

y = −1,09 +

то1

полагаем

a

 

= −1,09, b = 0,82

+ 0,82 0,09

= −0,36,

z2

= 0,09.

 

 

2

 

2

 

2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Рис

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ция 2)

Вычисляем L =

b

 

a

= 0,82 (1,09) =1,91. Полученное знач

еньше точности, поэтому поиск минимума завершается и в качестве решения

можно взять точку:

1

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x* =

a

+ b

=

1,09 +

0,82

= −0,135.

 

 

 

2

2

2

 

2

 

································ ·········· ·····························

Таким образом, алго итм схож с методом дихотомии, отличие заключает-

ся в выборе точек для определения поведения функции: в методе дихотомии

малое число откладывалось по обе стороны от средней точки, в методе золото-

го сечения берутся точки золотого сечения.

 

 

1.4.4 Метод Пауэлла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот метод основан на последов тельном применении процедуры оцени-

вания с использованием квадратичной

аппроксимации [2].

Алгоритм

– начальная точка; x

– выбранная величина шага по оси x ,

Пусть x

ε > 0 и δ > 0 1

заданные точности.

 

 

 

 

Шаг 1. Вычислить

x

2

= x

+ ∆x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг

2. Вычислить

 

(

 

) и

 

 

(

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если

 

( ),

то

 

3. Если

 

 

 

(

 

 

) >

 

(

 

 

) , положить

 

 

=

 

 

 

+

 

( )

 

=

 

 

− ∆

 

. Если x

 

< x

, то перенумеровать точки в естественном порядке:

x = x ,

x = x , x = x .

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

(

 

),

 

 

(

)

и

 

(

 

), найти

 

 

 

 

 

 

1

 

Шаг 4. Определить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

1

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равно точке

x

 

, которая соответствует

 

 

 

 

, используя квадратичную

 

 

Шаг 5. По трем точкам

 

 

=

 

вычислить

 

 

 

аппроксимацию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x

)f (x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x )

f

(x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 = x x

 

a

 

 

x3

x

2

1

1

 

 

 

 

x2

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

(

)

 

 

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

x

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 6. Проверка на окончание поиска:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

F

 

 

f

(x )

 

 

≤ ε;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

Xmin

 

x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

≤ δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

условия а) и б) выполняются одновременно, то закончить поиск

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(в качестве

результата взять точку

 

 

). Иначе переход на шаг 7.

 

 

 

 

 

Шаг 7. Выбрать «наилучшую» точку ( X

 

 

 

или

) и две точки по обе

стороны от нее. Обозначить эти точки в естественном порядке и перейти на

шаг 4.Замечание: после пятого шага необходимо провести дополнительную

проверку,

 

. к. точка

 

 

 

может находиться за интервалом

(

 

)

. В этом случае

точка

 

заменяется

 

 

 

 

 

и осуществляется переход к шагу 1.

 

 

 

·················· · ····

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.5

·······················

 

 

Рассмотрим применение

 

 

 

 

 

 

 

 

для функции (рис. 1.3). Пусть началь-

ная точка равна x

= −

 

 

 

=

 

алгоритмаε = δ = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим x

 

= x

 

+ ∆x = −

+

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

= 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = (2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x

 

)

 

= (0,5)2

 

= 0,25.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

f (x > f (x

 

)

 

 

то x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x ) =1 =

 

 

 

 

= x + 2x = −2 + 2 1,5 =1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

F = min{f , f , f

 

}

=

 

 

 

 

 

,

3

X

 

 

1

= −0,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По трем точкам

 

, x

0,25x вычислим

, используя квадратичную

min

 

2

 

 

3

 

 

f (x )f

 

 

min

 

 

 

 

 

0,25 4

 

 

 

 

 

 

 

 

симацию (рис. 1.10):

 

 

 

 

1

 

(x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

=

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −2,5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

0,5

(2)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

)

 

 

 

a2 =

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

x2

x

 

1

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

0,25

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

0,5

2

 

1

 

 

 

 

 

 

= 1

(0,5) 1

 

 

(2)

(

)

=1;

 

 

 

 

 

 

− −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

+ x

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

0,5

2

 

 

2,5

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

 

 

 

2

2

1

 

2a1

 

=

 

 

2

 

 

 

2

 

1

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. аппрок-

Проверим окончание поиска

 

F

f (x )

≤ ε :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

условие не выполняется

 

 

 

0,25 0

 

0,1;

 

 

 

 

 

0,5 0

 

0,5 выполняется.

 

 

 

 

 

 

 

x является x , т. . значение функции

 

 

 

 

 

или

Наилучшей

 

точкой

X

 

в этой точке минимально изравноmin0. Нужно выбрать две точки по обе стороны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от неё. Это будут точки 0,5 и 1. Обозначим эти точки в естественном поряд-

ке:

x

= −0,5, x

f

= 0,

x =1.

 

 

 

 

= 0,25; f (x

) = 0

 

 

 

 

f (x

) =1 =1.

 

 

 

(x ) = (0,5)

 

 

 

 

=

 

 

1

 

2

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

= min{f

2, f

 

 

, f

 

}=0;.

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

min

 

 

 

 

 

Xmin

1

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим

(рис. 1.11):

 

 

 

 

 

 

 

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)f

 

(x

)

 

 

 

 

0 0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

f

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

0

(0,5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a =

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −0,5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x

 

)f

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

f (x )f (x

)

 

 

 

 

 

a2

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2

1

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x 1

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

1

0

1

0,25

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(

0,5)

0

(0,5)

=1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

+ x

 

 

 

a

 

 

 

 

0

0,5

 

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

 

 

 

 

2

2

 

1 2a1

=

 

 

 

2

 

 

 

 

2 1 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим окончание поиска

F

f (

x

)

 

≤ ε :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0,1 выполняется;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

0 0

 

 

 

0,5 также выполняется;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условия

 

окон

 

чания поиска

 

 

 

 

 

в качестве решения прини-

 

 

 

 

 

 

 

 

мается точка

 

 

x = 0, значениевыполняются,функции этой точке равно f (x ) = 0.

·······································································

1.5 Методы, основанные на использовании производных

 

 

 

Данные методы предполагают вычисление производной, ледовательно,

к функции предъявляют требование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Вычисление произ

водной может быть выполнено аналитическидифференцируемостил бо помощью формул числен

ного дифференцирования. Приведем

простейшие

формулы численного диффе-

ренцирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление первой пр изв дной. В качестве приближенных формул пер-

вой производной можно использовать:

 

 

 

)

 

(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x)

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x)

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

– шаг.

 

 

 

(

)

 

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула с большей точностью:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление второй производной. В качестве приближенных формул вто-

 

 

 

 

f

 

x

 

 

 

 

(

 

 

 

)

 

 

(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рой производной можно использовать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5.1 Метод Ньютона

 

 

 

 

( )2 (2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)+ ( + )

 

 

 

 

 

 

 

f ′′(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

– унимодальная, дважды дифференцируемая на

=

[

]

функция [2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 , построим последовательность

Выбрав начальное приближение

 

 

Считая неравенство

 

 

 

 

 

xn+1

= xn

 

 

′′

(

n )

 

 

 

 

 

 

 

 

f (xn+1 ) ≤ ε

(ε

– малое число) условием достижения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

требуемой точности вычислений,

 

положим x* xn+1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·······················

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.6 ·······················

Рассмотрим применение данного метода для поиска минимума функции

( ) =

(рис. 1.3). Пусть начальная точка

x

=

, точность ε = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первая производная равна:

0

 

 

 

 

2 )=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая производная:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

) = (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новое значение

 

f (x

 

) =

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равно: x

=

 

 

2 2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ′′(x) =

(

x)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x )

 

 

 

 

 

 

f (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполним проверку условия:

 

 

 

≤ ε,

 

 

)

 

=

 

= . Данное значе-

 

 

 

 

 

меньше точности

ε , следовательно,

выполнение

 

алгоритма завершается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ниев качестве решения принимается точка x*

 

= x

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·······································································

1.5.2 Метод средней точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функция.

Пусть

 

– унимодальная, дифференцируемая на

 

=

 

 

 

Рассмотрим алгоритм метода средней точки [2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

]

 

, ε >

Шаг 1. Задать начальный интервал неопределенности

 

=

 

 

 

точность.

 

 

 

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

]

 

 

Шаг 2. Положить

 

 

 

 

 

 

 

zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 3. Вычислить среднюю точку

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 4. Сравнить

( )

с нулем:

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

если

 

( k )<

, положить

 

+1

 

=

 

 

,

 

+1

=

 

 

и перейти к шагу 5;

 

б)

f (zk ) >

 

+1

 

=

 

 

,

 

+1

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 5. Проверить условие окончания:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

если

 

f (zk )

≤ ε , процесс поиска завершается и в качестве прибли-

 

женного решения можно взять точку

x* = z

k

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

если

 

f (zk )

 

> ε , положить

=

+

 

 

и перейти к шагу 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·······················

28

Пример 1.7 ·······················

Рассмотрим поиск минимума функции f (x) = (x + 2)2 методом средней

точки интервале [5;0], ε = 0,5

(рис. 1.12). Как видно из рисунка, минималь-

ное значение функции, равное нулю, наблюдается в точке 2.

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.12 – График функции

 

f (x) = (x + 2)

Вычислим

z0

a

+ b

5 + 0

= −2,5

(рис. 1.12, б).

= 0

2

0 =

2

Производная функции равна:

 

= 2(x +

2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

Значение производной в средней точке

z0

:

= −1.

 

Так как

f (z

 

 

 

 

f (

2,5) = 2

(2,5

+ 2)

 

 

)< 0 , то положим

a = z

 

= −2,5, b

= b = 0.

Поскольку

 

 

f

(z0 ) > ε, то переходим к расчету новой средней точки.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

1

 

0

z =

a + b

 

 

 

5 0

 

= −1,25 (рис. 1.13, а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

− +

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

:

 

 

 

 

 

Значение производной в средней точке

 

 

1,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (1,25) = 2

(1,25

+ 2) =

 

 

Так как

f (z

) > 0, установим

a

 

= a

 

 

 

1

 

 

 

= z = −1,25.

 

= −2,5, b

Критерий останова снова не выполняется.

 

2

 

1

z2 =

a

+ b

 

 

1

2,5

1,25

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −1,875 (рис. 1.13, б).

 

 

2

2

2

=

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

Рис. 1.13 – Вторая и третья итерации метода средней точки

 

Значение производной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (1,875) = 2(1,875 + 2) = 0,25.

= −1,875.

 

f (z ) > 0, поэтому установим a = a

= −2,5, b = z

 

Условие2

 

f (z

 

)

< 0,5 выполняется,3

поэтому2

работа3 2

алгоритма завершает-

 

 

ся и в качестве

 

решения

принимается точка

z

 

= −1,875.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·······································································

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1.6 Решение задачи определения цены на товар

 

спроса

Предприятие, изменяя цену на товар

price, фи сировало

demand . В итоге

помощью метода наименьших квадратов значениебыл построена

функция зависимости спроса от цены:

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

demand

= 90 17,92 price.

 

 

 

 

 

 

 

выручки

income

предприятия от цены может быть

представленазависимостьпомощью уравнения:

 

17,92 price).

 

 

 

 

 

 

 

income = price (90

 

 

График этой функции представлен на рисунке 1.14.

 

 

Задача заключается в определении цены, при котор й выручка будет мак-

симальной. Задачу определения максимума функции

можно свести к

адаче

определения минимума путем умножения функции на

1. Тогда минимизируе-

мая функция имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( price) = − price (90 17,92 price).

с ша-

Воспользуемся методом

 

 

 

 

поиска на интервале [0;5]

гом 0,1. Результаты представленыравномерноготаблице 1.1.

 

 

 

 

Минимальное значение функции достигается в точке price = 2,5.

 

30

 

 

 

 

Таблица 1.1 – Результаты равномерного поиска

4,9

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

2,4

2,5

 

 

 

2,6

 

 

 

 

 

 

(

)

 

0

–8,821

 

 

 

–112,781

 

 

–113

 

 

–112,861

 

 

–10,741

 

 

 

–2

 

 

Решим

 

задачу с

 

использованием

 

метода

 

Ньютона

 

(начальная точка

x

 

0

=

5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε = 0,1). Для этого будем использовать итерационную формулу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn+1 = xn

f

(xn ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная функции имеет вид:

 

 

f

′′(xn )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x ) = 35,84x 90.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В начальной точке значение производной функции равно 89,2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

89,2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (5) = 35,84

5 90 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение второй произ

дной равно

f ′′(x

 

) = 35,84.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим значение новой точки:

 

 

 

 

 

n

= 2,511.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

= x

f (x0 ) = 5

89,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

f ′′(x )

 

 

 

35,84

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0