Исследование операций и методы оптимизации

Результат указанных операций для представленного в таблице 4.14 рас-

ределения поставок показан в таблице 4.15. Суммарные затраты на перевозки

по этому плану составляют

что значительно меньше предыдущей суммы затрат 1170, хотя план перевозок

в таблице 4.15 еще не

оптимальным. Об этом свидетельствует наличие

отрицательных

являетсяматрице оценок клеток этого плана (соответствую-

f (X ) =

+ +

+

+ +

=

щие потенциалызначенийнайдены способом, изложенным при описании этапа 2):

задачи,

базисном плане перевозок которых имеют место

занятыеТранспортныеклетки нулевой поставкой

(или

первоначальном распределении, или

−

в процессе

d =

вырожденной

итераций), назы аются

вырожденными. В

−

−

случает. . бесконечного

транспортной задачи

существует

пасность

итераций

(бесконечного

переборазацикливания,одн тех же базисных комби

повторенияций занятых клеток). Как правило, в практиче ких задачах транспортного ти-

па зацикливание не встречается; тем не менее следует знать, что существуют

специальные правила, позволяющие выйти из цикла, если зациклива

все же

произ йдет. При отсутствии вырождения метод

алов

конечение приво-

дит к оптимальному

плану перевозок за конечноепотенцичисл шагов.

4.5 Открытая модель транспортной задачи

Если суммарная мощность поставщиков не равна суммарной мощности

потребителей

если нарушается условие

∑ =

∑

, то имеем открытую

m

n

модель транспортной задачи. Открытая транспортная задача решается сведени-

i=1

j=1

ем ее к закрытой транспортной задаче [1].

·······················

·······················

Пример 4.5

Найти оптимальное распределение поставок для транспортной задачи,

представленной в таблице

4.16.

В данном случае суммарный спрос потребителей больше, чем суммарная

мощность

поставщиков

(

+

+ +

=

>

+

+

=

).

Введем

«фиктивного поставщика» и в таблицу поставок добавим допол ительную

строку (табл. 4.17) так, чтобы задача ст ла закрытой. Для этого мощность

фик

ивного поставщика следует принять

равной

=

−

.

Коэффициенты за-

трат

этой добавленной строки определяются

и

ввиду недогрузки

мощностей потребителей. Если

об

издержкамэтих ержках

то

их принимают равными од омуинформациятому же числу

ер, нулю,отсутствует,как табли

це 4.17). Конкретное значение этого числа не влияет(напримоптимальное распреде-

ление поставок.

Таблица 4.16 – Исходные данные

Мощности потребителей

Мощности

35

55

поставщиков

45

1

2

65

40

60

3

2

3

7

90

4

4

5

2

Таблица 4.17 – Добавление фиктивного

пункта

Мощности потребителей

Мощности

поставщиков

4

45

1

35

2

55

5

65

40

60

3

2

3

7

90

4

4

5

2

10

0

0

0

0

Перв

начальное распределение

для

сформулированной

закры-

той транспортной задачи найдем, например,поставок

методу наименьших затрат. Для

удобства укажем последовательность заполнения таблицы пос авок:

x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

В

результате приходим к

следующему базисному распределению поставок (табл. 4.18).

44

12

34

13

23

21

31

Таблица 4.18 – Поиск решения методом наименьших затрат

Мощности потребителей

Мощности

45

35

55

65

поставщиков

5

0

40

4

1

2

60

3

2

×

35

3

5

7

–1

90

4

10

4

×

5

50

2

–2

35

×

55

10

0

0

0

0

0

×

×

×

×

10

2

1

2

0

Рассчитаем матрицу

оценок

по формуле

= (

)−

:

+

Так как есть отрицательные оценки свободных клеток, то полученный

d =

план перевозок неоптимальный. Строим цикл перераспределения для клетки

−

−

−

(4; 3). В результате получим следующий цикл (выделенные клетки в табли

це 4.19). Далее производим перераспределение в соответствии с описанной ра-

нее схемой. Результат представлен в таблице 4.20.

Таблица 4.19 – Составление цикла перераспределения

Мощности потребителей

Мощности

поставщиков

45

35 35

55

5

65

0

40

4

1

2

5

60

+

2

7

–1

3

3

–

10

50

Мощности

Мощности потребителей

поставщиков

4

45

– 4

35

5

55

2

65

+

–2

90

10

0

35

0

0

+ 0

55

0

2

1

2

0

–

10

Таблица 4.20 – Новое решение

Мощности

Мощности потребителей

поставщиков

4

45

1

35

2

55

5

65

0

40

5

60

3

20

2

35 3

7

–1

90

4

4

5

40

2

65

–2

10

0

2

25

0

1

0

2

10

0

0

0

Матрица оценок для этой таблицы

не содержит отрицательных элементов свободных клеток, следовательно, полу

d =

ченный план перевозок оптимальный. Суммарная стоимость перевозок соста-

вит:

f (X ) =

+

+

+

+

=

+

+

В случае, когда суммарная мощность поставщиков больше суммарной

мощности потребителей, в рассмотрение вводится «фиктивный потребитель»,

к таблице поставок присоединяется дополнительный столбец. Коэффициенты

затрат этого добавленного столбца соответствуют затратам на хранение неот-

правленного груза (поставки последнего столбца – неотправленный груз для

каждого из поставщиков).

информация об этих затратах отсутствует, то их

принимают равными одномуЕслитому же числу (например, нулю).

·····························································

Контрольные вопросы по главе 4

1

·····························································

В чем суть транспортной зад чи?

2

ая транспортная задача называется закрытой?

задаче?

3

ую величину нужно минимизировать в

4

ра считы ается

стоимость перевозок втранспортной

модели?

5

Какие существуют методы поиска начального решения?

6

северо-западного угла?

7

В чем суть метода наименьшей стоимости?

8.

Какие клетки заполняются в первую очередь в методе наименьшей

стои ости?

9. В чем суть метода потенциалов?

10. Как вычисляются оценки клеток?

5 Целочисленное программирование

·····························································

Целочисленным (иногда его называют также дискретным)

ммированием

(ЦП) называется раздел математического

программирования,

изучающий экстремальные задачи, в которых

искомые

еременные накладывается условие целочисленности,

наобласть допустимых

решений конечна [1].

·····························································

Изучение эт го раздела вызывается тем, что огромное количество эконо-

мических задач

носит

дискретный, чаще всего целочисленный характер, что

связано, как правило,

неделимостью многих элементов расчета:

например, нельзя построитьфизическойдва половиной завода, купить полтора автомоби-

ля т. д. В ряде случаев такие задачи решаются обычными методами, например

симплексным методом, с последующим округлением до целых чисел. Однако

такой подход оправдан, когда отдельная единица составляет очень малую часть

всего объема (например,

запасов); в противном случае он может вне-

сти значительные искажениятоварныхдействительно оптимальное решение.

5.1 Графический метод решения задач

целочисленного программирования

Приводимый ниже пример позволяет лучше понять неуловимую труд-

ность задач целочисленного программирования (ЗЦП) [1].

·······················

f

x

= x

Пример 5.1

·······················

−

x

x

→

(

−x

+

≤

x

)

x1

1

x 2

2

j =

≥

+

≤

1

x

На плоскости

2

– многоугольник

;

j

j

множество

отметим точки множества

допустимоецелочисленными координатами (рис. 5.1).

Здесь множество

отмечено отдельными точками внутри многогранника

.

(

)

ɶ

Рис.

уровня ЦФ

f (x)

в

методом

f

Перемещая

линию

направлении антиградиента

= (−1,20)

(убывания f

), находим крайнее положение этой линии, в котором

она имеет непустое пересечение с множеством

ɶ

. В этом положении линия

S

уровня проходит

через точку B(0,4),

поэтому

решение

задачи имеет вид

ɶ

*

ɶ*

= min f (x) = −80.

= (0,4); f

x

ɶ

x S

Из рисунка видно, что в случае непрерывной переменной оптимум есть

точка C(5;4,5), т. е.

x* = (5;4,5);

f * = −85.

= 5; x = 5, которое

Простой метод округления привел бы к решению x

1

2

не удовлетворяет ограничениям. Отсюда следует, что точка минимума ЦФ на

ɶ

целочисленной задачи не обязательно является бли-

допустимом множестве S

жайшей к решению x* обычной ЗЛП.

·········· ·····························································

ɶ

Если округлить в сторону уменьшения,

т. е. взять x(5,4),

ɶ

= −75, то эта точка будет удовлетворять ограничениям задачи.

f

Для

·····························································

целочисленных задач разработаны специальные методы,

Метод отсекающих плоскостей состоит в построении дополнительных

ограничений

применении модифици ованного симплексного метода (метод

Гомори). Представление о

методах дает широко используе-

мый на практике метод ветвейкомбинаторныхграниц.

По методу Гомори первый этап решения целочисленных задач не отлича-

ется от обычн го расчета по симплексному алгоритму. Если среди значений

переменных в

оптимальном

плане есть дробны

то составляется дополнитель-

ное ограничение, отсекающее дробную часть решения, но оставляющее в силе

все прочие условия, которым должен удовлетворять оп

план. Это

ограничение присоединяется

исходнытимальныйограничениям зада-

дополнительноечи, вновь применяется процедура симп

ксного

метода. Алгоритм Гомори

позволяет прийти к оптимальному целочисленному

решению за конечное число

шагов.

5.2 Метод

МетодГомори(МГ) используется для решения задач ЦП с произвольным

числом переменных [1].

тсечение

от

множества

Суть МГ: последовательное

нецелочисленной задачи частей, не

содержащих точекдопустимогоцелыми координатами.

Эти отсечения производятся включением в задачу дополнительных ограниче-

ний на переменные .

ЗЦП имеет вид:

f (x) → ct x →

(5.1)

≥

– множество целых чисел.

5.2.1 Алгоритм МГ с использованием СМ

=

Шаг 1. С помощью СМ находится решение

ЗЛП без учета требования

целочисленности (5.1). Если для

условие

выполняется, то задача

ш на. В противном случае среди чисел

последнего столбца СТ,

определяю-

щей решение

, есть такие, что

b

> .

выбирается

элемент

Шаг 2. Среди нецелых элементов

(например, с максимальной дробной частью

{ }). Попроизвольныйстроке СТ состав-

{ i}

ляется дополнительное ограничение вида

n

имеют но-

(здесь для определенности полагаем, что свободные переменные

−

j=m+1

}

≤ −{

}

мера

).

∑

{

+

+

…

это ограничение пред-

С помощью вспомогательной переменной x

n+1

≥

ставляется в виде равенства

n

и вводится в СТ дополнительной строкой.

xn+

j=m+1

… αn+ n

βn+

(5.2)

αn+ m+

+1

−

∑ {

}

= −{

}

где

αn+1, j = −{

r, j}

=

+

…

Так как

= −{b } <

, то после дополнения строкой (5.2) СТ перестает

β

соответствовать до устимому базисному решению ЗЛП, которую она писывает.

β +1

= −{

}

r

n+1

Шаг 3. Для

перехода к допустимому базисному решению производятся

следующие операции:

счит ется опорной;

а) строка

отрицательным свободным членом β +

б) если все коэффициенты

αn+1, j

>

=

+

…

задача не имеет ре-

шения, в противном случае номер

ℓ разрешающего столбца находится из усло-

вия

в) совершается преобразование СТ с опорным элементом

αn+ ℓ . Если

n+1,ℓ

= j:αn+1, j <0

+1,

α n+1

α n+1

β

β

в новой СТ по-прежнему есть

хотя

бы один

отрицательный свободный член, то

описанная процедура повторяется, начиная с операции (а), необходимое число

раз.

Если все элементы

новой СТ ≥

, то допустимое базисное решение

найдено. Отметим, что выбор опорного элемента

αn+ ℓ

гарантирует неотрица-

тельность

новой СТ. Поэтому найденное допустимое реше-

ние являетсякоэффициентовоптимальным.

Шаг 4. Если найденное на шаге 3 решение ЗЛП удовлетворяет условию

целочисленности, то – «останов», если нет → переход к шагу 2.

Описанный алгоритм позволяет найти решение полностью целочислен-

ной ЗЛП или установить отсутствие решений за конечное число итераций.

·······················

Пример 5.2

·······················

Пусть для приобретения оборудования, размещаемого

а производствен

ой площади 38 м2, фирма выделяет 20 млн руб. Имеются диницы оборудова-

ния двух

2

типа А стоимостью 5 млн руб., требующее

производственную

площадь 8типов:м имеющее производительность 7 тыс. единиц продукции за сме-

ну, и типа Б – стоимостью 2 млн руб., занимающее площадь 4

2

дающее за

смену 3 тыс. единиц продукции. Требуется рассчитать оптимальный

вариант

приобретения оборудования, обеспечивающий максимум производительности

участка.

модель задачи. Пусть

–

Сформулируем экономико-

количество приобретаемых машинматематическуютипа А типа Б соответственно. Тогда целе-

вая функция задачи будет иметь вид:

x

при ограничениях:

f (

X ) =

x +

→

x1

+

1 x

≤2

x

+

x2

≤

1

2

≥

x

≡

программирования.

1,2

1,2

Сформулирована задача линейного

Введем дополнительные переменныецелочисленного, помощью которых исход-

ные неравенства преобразуются в равенства:

x1

+

x2

+

=

+

+ x3

=

x x 1

x x2

≥

4

x

1

2

3

4

i

из которых следует, что переменные

могут принимать только неотрица-

тельные целочисленные значения.

Далее решаем задачу симплексным методом (без учета целочисленности)

(рис. 5.2).

= x

мак-

Из таблицы СТ-3 видно, что в оптимальном плане x

2

=

симум целевой функции равен

f

(X )

1

=

+ =

. П

ученное решение

не удовлетворяет условию целочисленности, поэтому дополняем

последнюю

СТ строкой (4) (рис. 5.3).