Исследование операций и методы оптимизации

пать более чем на ∆

121

Z* − ∆ = 4

, то дополнительное

. Так как в нашем примере

ограничение будет иметь вид:

−x

+ 2x

≥ 4.

1

1

(3.26)

1

Задачу (3.23), (3.25), (3.26) также решаем графически (рис. 3.14).

1

2

Рис

Z

при условиях (3.25), (3.26) достига-

Получаем, что максимум функции

ется в точке B

части S

области S , так что2

x** = 8 3; x** =

10 3; Z

* = Z (B) = 26 3.

Теперь

1

по

критерию

Z

на величину уступки

= 5 3

уступаем

∆

Z* − ∆

1

2

2

2

(

2

= 26 3− 5 3 = 7

)

и получаем второе2дополнительное ограничение:2

(3.27)

2

2x

+ x

≥

7.

Максимизируем функцию Z

(3.24) при условиях (3.25), (3.26) и (3.27).

1

Решение этой задачи графическим 3методом представлено на рисунке 3.15.

Таким образом, получаем оптимальное решение рассматриваемой трех-

критериальной задачи (точка

C на рис. 3.15):

x*** =

2;

x***

= 3.

Соответствующие значения1частных2

критериев при этом составляют:

Z = 4;

Z

2

=

7;

Z

3

= −7.

1

Рассмотрим задачу об оптимальном ассортименте (табл. 3.6). Пусть в

о

дели используются два критерия оптимальности: максимизация прибыли и

ми-

нимизация трудозатрат.

Ограничение на объем сырья имеет вид:

Кроме того, переменные

x

4x

+ 2x

≤ 50.

≥ 0, x

≥ 0 (количество товара не может быть

отрицательным).

1

1

2

2

Целевые функции:

+ x

8 − 3 → max (максимизация маржинальной

•

f

x

,x

= x

10 − 4

прибыли);

1

(

)

2

(

)

f

(

1

2

•

x

,x

= 5x +10x

→ min (минимизация трудоемкости).

Пусть

∆ = 20.

1

2

(

1

2 )

Н йдем решение первой задачи (максимизация маржинальной прибыли)

при ограничении на объем ресурсов (рис. 3.16).

Для решения задачи минимизации трудоемкости добавим условие:

6x

+ 5x

≥105.

По ученное решение представлено на рисунке 3.17 (заданные ограниче-

ния целевая

функция п едставлены на рисунке 3.18). Таким образом, нужно

1

2

произвести 5 единиц товара 1 и 15 единиц товара 2.

Рис. 3.16 – Решение

маржинальной прибыли

Рис. 3.17

трудоемкости

·····························································

Контрольные вопросы по главе 3

1

·····························································

задачи линейного программирования?

2.

В чем суть графического метода решения задачи линейного програм-

3

мирования?

В чем состоит основная идея симплекс-метода?

4

Опишите алгоритм симплекс-метода.

5.

Как происходит поиск разрешающей строки в симплекс-таблице?

6

происходит поиск разрешающего элемента в симплекс-методе?

7

Какие существуют методы поиска начального базиса?

8

преобразования?

9.

симплексногокусственного базиса?

10.

В чем суть метода уступок?

125

4 Транспортная задача

Важным част ым случаем задачи линейного программирования является

так называемая транспортная задача, которую можно сформулировать следую-

щим образом.

4.1 Экономико-математическая модель транспортной задачи

В m пунктах отправления

A ,

A

,…,

A

, кот рые

дальнейшем будем

называть поставщиками, сосредоточено

пределенное количество единиц неко

торого однородного продукта, которое

обозначим a (i =1,...,m). Данный про

1

2

m

дукт потребляется в n пунктах B

,B

,…,B

,

которыеi будем называть потреби-

телями; объем потребления обозначим

n

b

( j =1,...,n)

(рис. 4.1). Известны

1

2

расходы на перевозку единицы продукта из пункта A в пункт B , которые рав-

j

c

[1].

ны c и приведены в матрице транспортных расходов C =

ij

i

( ij )

j

f

x

= m

n

c

x →

(4.1)

∑ ∑ ij

ij

а ограничения будут выглядетьnследующим образом:

i

=1 j

=1

(4.2)

∑

ij

≤

i

=

j

=1

≥

j

=

(4.3)

∑ ij

m

x

(4.4)

i=1

>

Первая группа ограничений (4.2) указывает, что суммарный объем пере

ij

озок продукции из некоторого исходного пункта не может превышать п оиз

веденного количества этой продукции, вторая группа ограничений (4.3) требу-

ет, чтобы суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления

полностью удовлетворяли спрос на эту продукцию.

Рассмотрим задачу, исходные данные которой представлены в табли-

це 4.1.

Таблица 4.1 – Транспортная таблица.

Стоимость доставки 1 кг конфет, д. е.

Город (спрос, кг)

(производство, кг)

Москва (2 000)

(1 500)

Новгород (800)

Г род

500)

10

Санкт-Петербург

Нижний

Подольск

20

7

Балашиха

(2

000)

9

15

16

Целевая функция

имеет вид:

f x

=

x

+ x

x

+ x + x + x + x →

Ограничения:

11

+ x

+ x

≤

22

23

12

13

21

x11

+ x12

+ x13

≤

x

+ x

≥

21

22

23

x11

+ x21

≥

x21

+ x22

≥

Полученное в Excel решение представлено на рисунке 4.2.

31

32

Из модели (4.1)–(4.4) видно, что суммарный объем производства в исход-

ных пунктах

m

не должен быть меньше суммарного спроса в пунктах назна-

чения

n

j=1

. Если

∑

j=1

m

= n

(4.5)

∑

то мод ль называют сбалансированной (закрытой) транспортной моделью. Она

отличается

от модели (4.2), (4.n3) тем, что

j=1

i=1

∑

∑

(4.6)

∑ ij

=

i

=

…

j

=

j

=

…

(4.7)

∑ ij

m

·······················

i

Пример 4.1

·······················

Заводы автомобиль ой фирмы

в п.

. Центры распре-

деления (пункты

назначения)

расположенырасположены.

. Объемы

в

спроса

в п.

равна 2 300 и 1 400 автомобилей ежеквартальнпроизводства, . . суммар

.

равны 1 000, 1 500, 1 200

автомобилей

ежеквартальн . Величина

ный объем произ одства равен суммарному спросу (3 700

автомобилей

еже

биля из п.

(условиеп.

указана

в таблице 4.2.

квартально)

(4.5) выпол

яется). Стоимость перевозки одного автомо-

Таблица 4.2 – Стоимость перевозки

Пункты

назначения

80

215

Исходнпунктые

100

108

Модель

С

102

68

x + x + x +

x + x + x →

f (x) =

21

+ x

=1000;

12

21

22

31

32

+

22 =1500;

11

12

=1200;

31

+ x

+ x

+ x

=1400;

32

11 + x21 + x31 = 2 3

xij

≥ 0.

32

12

22

Занесем модель в таблицу 4.3.

Таблица 4.3 – Транспортная таблица

D

Спрос

E

1 000

2 300

80

x

1

400 215

Объем производства

1 500

100

12

108

1 200

x31

102

x32

68

·······································································

·······················

Пример 4.2

·······················

Несбалансированная модель

производит

Изменим условия

примере 4.1. Предположим, что завод

е 1 500, а 1 300 автомобилей. Это приведет к дисбалансу, поскольку суммар-

ный объем производства (3 500) не равен суммарному

осу (3 700). Другими

слов ми, дисба анс означает, что спрос в цен рах распределения

(в пунктах

назначения) полностью

удовлетворить не

удается. В этом случае не бходимо

изменить транспортную модель таким образом, чтобы недостаток автомобилей

(

−

=

) оптимально распределился между

.

-

Введем фиктивный исходный пункт (фиктивный завод) с

ностью 200 автомобилей. Стоимость

с фиктивного заводапроизводитель.

естественно положить равной нулю (тперевозок. . никакие перевозки не осуществляют-

ся). Таким образом, сбалансированная модель имеет

ледующий вид (табл. 4.4).

Здесь

– фиктивный завод. Если объем производства превышает спрос, мож-

но ввести дополнительные

фиктивные пункты назначения. Пусть, например,

в п.

спрос упал

2 300 до 1 900 автомобилей. В таблице 4.5 представлена

измененная модель (здесь

– фиктивный пункт назначения).

Таблица 4.4 – Добавление фиктивного пункта-производителя

2 300

1 400

80

215

1 200

102

68

3

108

200

0

0

Таблица 4.5 –

Добавление

фиктивного пункта-потребителя

1 900

1 400

400

80

215

1 200

102

68

0

5

108