Нечеткая логика и нейронные cети

61

Пусть имеется четкое отображение пространства в пространство

и отображение является взаимно однозначным, то принцип расширения заключается в том, что генерируемое этим отображением и определенное в пространстве нечеткое множество имеет вид

.

Пусть

и . В соответствии с принципом расширения получаем

.

Основные арифметические операции на нечетких числах определяются следующим образом:

а) суммирование двух нечетких чисел и обозначается

,

62

Функция принадлежности суммы задается в виде

,

Функция принадлежности произведения задается в виде

,

Функция принадлежности частного задается в виде

64

Сложили и перемножили два нечетких числа, получив в качестве суммы нечеткое множество (1.28), а в качестве произведения - нечеткое множество

(1.29).

Эти нечеткие множества являются нормальными и выпуклыми и представляют нечеткие числа.

Иногда результатом арифметических операций над нечеткими числами оказывается четкое число, потому что нечеткое числом не отвечает условию выпуклости. Если нечеткие числа и имеют непрерывные функции принадлежности, то результатом арифметических операций суммирования,

вычитания, умножения и деления всегда будут нечеткие числа (теорема Дюбуа

иПрейда [9])..

Унарные операций на нечетких числах.

1. Операция изменения знака. В результате операции получаем нечеткое число, противоположное нечеткому числу . Это число обозначается - , а его функция принадлежности равна

.

Нечеткие числа и симметричны относительно оси .

2. Операция обращения. В результате операции , , получаем нечеткое число, обратное нечеткому числу . Это число обозначается , а его функция принадлежности равна

.

3. Операция масштабирования. В результате операции , , получаем нечеткое число, масштабированное относительно нечеткого числа . Это число обозначается , а его функция принадлежности равна

.

4. Операция экспонирования. В результате операции , , получаем степень нечеткого числа . Это число обозначается , а его функция принадлежности равна

поэтому - положительное нечеткое число.

5. Операция абсолютного значения. Абсолютное значение нечеткого числа обозначается и определяется как

- положительное нечеткое число.

Если

66

,

то нечеткое число имеет вид

,

тогда как нечеткое число записывается в виде

.

При этом ,

а также .

Арифметические операции над нечеткими числами требуют проведения достаточно сложных вычислений. Поэтому Дюбуа и Прейд [9] предложили форму представления нечетких чисел при помощи трех параметров, что значительно упрощает нечеткую арифметику.

(L-R)- аппроксимация нечетких чисел

Нечеткие числа (L-R) -типа [5] - это нечеткие числа, задаваемые по определенным правилам с целью снижения объема вычислений. Для нечетких чисел

(L-R)-типа левые ветви функций принадлежности операндов А и В аппроксимируются одной монотонно возрастающей функцией L, зависящей от двух параметров,

подбираемых для каждого операнда в отдельности L(aL, а ) и L(bL, b ). Аналогично для правых ветвей и монотонно убывающей функции R имеем R(a,aR), R(b ,bR).

Полученные аппроксимации называются L-R нечеткими числами и

67

обозначаются (aL,a,aR), (bL,b*,bR). К классу (L-R) функций относятся функции,

графики которых имеют следующий вид (рис. 4.2):

Рис. 1.4.4.. Зависимости для (L-R) функций

В качестве примеров функций L и R можно привести

, ,

, ,

, ,

Результат сложения и вычитания L-R нечетких чисел есть также L-R нечеткое число. Результат умножения и деления L-R нечетких чисел будет L-R нечетким числом лишь приблизительно. L-R аппроксимация полезна тем, что сами функции L

и R в промежуточных вычислениях не участвуют, а используются лишь при получении окончательного результата.

69

где - действительное число, называемое средним значением нечеткого числа , - положительное действительное число ( левосторонний разброс), - положительное действительное число, (правосторонний разброс).

A = (mA, αA, βA)LR

Нечеткое число «примерно 9» можно определить как

A = (9,3,3) LR

Функция принадлежности этого числа .

Арифметические операции над нечеткими числами типа L-R сводятся к операции над тремя параметрами.

Нечеткое число, противоположное нечеткому числу, равно -A = (-mA, αA, βA)LR

Сумма нечетких чисел

и

имеет вид

A+B = (mA+ mB, αA + αB , βA+ βB)LR

70

Другие арифметические операции (например, умножение и деление) над нечеткими числами типа L-R более сложны, а их результат имеет приближенный характер.

Функция принадлежности нечеткого числа типа L-R принимает значение

где и , то возникает понятие плоского нечеткого числа.

Рис. 1.4.5. Плоское нечеткое число

Это определение плоского нечеткого числа используют для моделирования нечетких интервалов. Плоским нечетким числом типа L-R называется нечеткое число с функцией принадлежности

(1.31)

Плоское нечеткое число можно отождествить с нечетким интервалом вида