Нечеткая логика и нейронные cети

51

Рис. 1.3.1. Функции принадлежности нечеткого множества действительных чисел, «близких числу 7».

Выразим неточное определение «комфортная температура для купания».

Зададим область рассуждений в виде множества . Отдыхающий I,

лучше всего чувствующий себя при температуре 21°, определил бы для себя нечеткое множество

. (.17)

Отдыхающий II, предпочитающий температуру 20°, предложил бы другое определение этого множества:

. (1.18)

С помощью нечетких множеств и представлено неточное определение понятия «комфортная температура для купания».

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются, если нет измеримых свойств, и значения функции принадлежности должно удовлетворять заранее сформулированным условиям.

52

К таким условиям могут относиться следующие:

-функция принадлежности отражает близость к заранее выделенному эталону;

-при парном сравнении объектов, если один объект в а раз предпочтительнее второго, то второй объект оценивается в 1/а раз предпочтительнее первого; и т. д.

Косвенные методы основаны на слабых предположениях об экспертах как

«измерительных приборах». Косвенные методы более трудоемкие, чем прямые,

но их преимущество в стойкости по отношению к искажениям в ответах. Один из наиболее известных методов является метод парных сравнений Т. Л. Саати.

Если значения функций принадлежности известны, , то парные сравнения представляются матрицей отношений.

Эксперт формирует матрицу, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали а.. = 1/а.., т. е. если один объект в а раз предпочтительнее другого, то второй объект оценивается в 1/а раз предпочтительнее первого.

При формировании оценок парных сравнений, эксперта просят отразить опыт следующим образом:

-установить какой из двух предлагаемых объектов более важен;

-оценить различия в виде ранга важности по определенной ранговой шкале.

Стандартные формы функций принадлежности.

1. Функция принадлежности класса (рис. 1.3.2) определяется как

53

(1.19)

где . Функция принадлежности, относящаяся к этому классу, имеет графическое представление (рис.1.3.6), напоминающее букву «», причем ее

форма зависит от подбора параметров , и . В точке функция принадлежности класса принимает значение, равное 0,5.

2. Функция принадлежности класса (рис. 1.3.7) определяется через функцию принадлежности класса :

(1.20)

Рис. 1.3.6. Функция принадлежности класса .

54

Рис. 1.3.7. Функция принадлежности класса .

Функция принадлежности класса принимает нулевые значения для и . В точках ее значение равно 0,5.

3. Функция принадлежности класса (рис. 1.3.8) задается выражением

(1.21)

Функции принадлежности классов и подобны.

4. Функция принадлежности класса (рис. 1.3.9) определяется в виде

(1.22)

55

Рис. 1.3.8. Функция принадлежности класса .

Рис. 1.3.9. Функция принадлежности класса .

В некоторых приложениях функция принадлежности класса может быть альтернативной по отношению к функции класса .

5. Функция принадлежности класса (рис. 1.3.10) определяется выражением

(1.23)

Рассмотрим три неточных формулировки:

1)«малая скорость автомобиля»;

2)«средняя скорость автомобиля»;

57

«средняя» , «большая» скорость автомобиля.

Если для измеряемого параметра известна вероятность перехода системы от допустимого состояния к недопустимому, в зависимости от режима работы, то функция принадлежности, может быть определена из условия предпочтения тех режимов, для которых степень риска меньше. Условие предпочтения может быть записано в следующей форме

, где P(x) – закон распределения

Тогда в качестве функции принадлежности можно принять функцию

.

Эта функция удовлетворяет требованиям к функции принадлежности и монотонно изменяется при варьировании режима работы. Практически определяется на основе построения гистограмм накопленных частот перехода подсистем для разных режимов работы.

На рис.1.3.13 приведена гистограмма накопленных частот срабатывания клапанов (функция не доходит до значений, равных 1, так как некоторые клапаны не срабатывают). Тогда функция принадлежности к подмножеству

58

допустимых режимов для клапанов - может быть записана в виде таблицы или в аналитической форме.

Рис. 1.3.13. Гистограмма накопленных частот

1.4. Нечеткая арифметика

Нечеткие числа широко используются в повседневной жизни. Говоря: «приблизительно три», «приблизительно двадцать пять» и т. п., и тем самым используем нечеткие числа.

X1 = «примерно 9»,

Х2 = «примерно 10»,

у = x1 + х 2.

59

Рис. 1.4.1. Выходное нечеткое значения модели с нечеткой информацией о входных значениях

Нечетким числом называется нечеткое множество , определенное на множестве действительных чисел , функция принадлежности которого

и отвечает условиям:

1), нечеткое множество нормализовано;

2), множество выпуклое;

3).функция принадлежности множества нечеткого числа

На рис. 1.4.2. представлены примеры нечетких чисел. В теории нечетких систем различаются положительные и отрицательные нечеткие числа.

Нечеткое число положительно, если для всех .

Нечеткое число отрицательно, если для всех .

60

На рис. 1.4.3. представлен пример положительного и отрицательного нечетких чисел, а также такого нечеткого числа, которое не является ни положительным,

ни отрицательным.

Рис. 1.4.2.. Примеры нечетких чисел.

Рис. 1.4.3. Примеры нечетких чисел: положительного, отрицательного, а также такого, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Нечеткое число X на действительной прямой называется нормальным, если max μ^(х) = 1.

Для арифметических операций на нечетких числах используют принцип расширения (обобщения), позволяющий определять суммирование, вычитание,

умножение и деление для двух нечетких чисел , также как и для четких.