Нечеткая логика и нейронные cети

101

Глава 2. Нечеткий вывод и нечеткие модели

2.1. Структура, основные элементы и операции в нечетких моделях

Классическая логика, оперирует только понятиями «истина» или «ложь», и не решает проблему неопределенности при выводах в человеческих суждениях.

Выражать неопределенность позволяет логическая система, в которой, кроме понятий «истина» или «ложь», используются другие значения истинности.

Такую систему предложил польский математик Ян Лукасевич с тремя значениями истинности: «0-ложь», «1-истина», «0,5-возможно». Затем появилась нечеткая логика с интервалом значений от 0 до 1.

Мышление человека основан на нечеткой логике и вместо чисел используется классы объектов в виде нечетких множеств с нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими правилами вывода. Нечеткая логика имеют следующие отличительные черты:

•использование лингвистических переменных вместо числовых переменных или в дополнение к ним;

•простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний;

•сложные отношения между переменными описываются нечеткими алгоритмами.

Применение нечетких моделей целесообразно в случаях, когда имеются

недостаточность и неопределенность знаний об исследуемой системе,

Например, если:

•получение информации сложно или невозможно,

•источником основной информации являются экспертные данные,

эвристические описания процессов функционирования,

•информация о системе разнокачественная или оценка параметров проводится с использованием разных шкал.

102

Нечеткая логика использует обобщение направлений классической логики и

нечетких множеств, поэтому в интеллектуальных системах применяются различные модели нечеткого логического вывода.

Существуют нечеткие модели логического вывода:

- модель нечеткого логического вывода, представленная в виде сопоставления четкого набора нечетких ситуаций (описываемых кортежами нечетких

отношениях при прямом произведении множества правил нечеткого логического вывода и нечеткого множества принимаемых решений.

- модель, представленную экспертным путем в виде нечетких эталонных ситуаций, связанных с определенными решениями (ситуационное управление).

- модель, основанная на нечетких (приближенных) высказываниях (суждениях),

нечетком выводе и построении логико-лингвистических моделей на основе композиционного правила Заде.

Под приближенными рассуждениями понимается процедура, при которой из некоторых посылок получают некоторые следствия, возможно также нечеткие.

Приближенные рассуждения лежат в основе способностей человека понимать естественный язык, играть в шахматы, разбирать почерк, требующие умственных усилий в неполностью определенной среде.

В классической двухзначной логике приближенные рассуждения основаны на следующих тавтологиях.

 модус поненс: ;

модус толленс: ;

силлогизм: ;

контрапозиция: .

103

Основные правила вывода в двоичной логике

В четкой (двоичной) логике решения об истинности одних суждений выводятся на основании истинности других суждений. Такой вывод представляется в виде схемы: над горизонтальной чертой записываются все суждения, на основании которых принимается решение, а под чертой -

полученный результат. Схема корректного вывода обладает тем свойством, что поскольку истинны все суждения над чертой, то истинно также и суждение под чертой, так как из истинных суждений может выводиться только истинный результат.

Правило вывода modus ponens

Пусть суждение имеет вид «Ян является водителем», а суждение - «У Яна есть водительское удостоверение». В соответствии с правилом modus ponens,

если ,то и , поскольку если истинно, что «Ян является водителем», то также истинно, что «У Яна есть водительское удостоверение». Из истинности предпосылки и импликации (суждения над чертой) следует истинность вывода

(суждения под чертой).

104

Правило вывода modus tollens

Понимается, что если «У Яна нет водительского удостоверения», т.е. (

), то «Ян не является водителем», т.е. (). В этом примере тоже из истинности предпосылки и импликации следует истинность вывода.

Вместе с тем имеется ограничение: если высказывание А* близкое к А

(непрерывные значения в интервале 0 -1) является истинным, и если прецедент отсутствует, то модус поненс не сможет вывести никакого, приближенного заключения. Даже, при близком к A утверждении, что A' является истинным,

модус поненс не может быть применен. Поэтому возможным способом вывода при неопределенной информации является применение нечеткого логического вывода. Нечетким логическим выводом называется получение заключения в виде нечеткого множества, соответствующего текущим значениях входов, с

использованием нечеткой базы знаний и нечетких операций. Поэтому в нечеткой логике применяется композиционное правило Заде. (см 1.7. Суждения,

присутствующие в правилах modus ponens и modus tollens, представляются нечеткими множествами.

Пусть А и B два универсальных множества с базовыми переменными x и y

соответственно, R — нечеткое отношение двух аргументов, заданное на области определения X и Y. Результатом композиции А* и R (обозначается A*o

105

R) является нечеткое множество В* с областью определения Y и функцией принадлежности, имеющей вид:

2.1.

где R(х, у) —продолжение множества А*(х) на область определения X х У.

Операция MIN - t – норма, а операция MAX – Это S – норма. (Рис 2.1.1. )

В результате композиции отношения R(x, y) и нечеткого множества .А*,

получается нечеткое множество А*о R(x, y), функция принадлежности которого имеет вид поверхности в трехмерном пространстве.

Рис. 2.1.1. Нечеткий вывод на основе правила ЕСЛИ (х = А) ТО (у = В) в случае,

когда входным параметром х модели является нечеткое множество А*(х)

Проекция композиции А* о R на область определения Y приводит к получению модифицированного нечеткого множества В*, соответствующего заключению

106

используемого правила. Функция принадлежности этого множества имеет вид

(2.1) и представляет собой функцию µв(у), высота которой ограничена значением h, выражающим степень выполнения условия принадлежности множеству.

Пусть X и Y = {1,2,3,4}

Нечеткое множество A = “малый” задается таблицей

107

Результат объясняется следующим образом:

B = “более и или менее малый”, если терм “более или менее” представляется,

как оператор увеличения нечеткости

Обобщенное (нечеткое) правило вывода modus ponens

где и - нечеткие множества, а и - лингвистические переменные типа «малая скорость», «умеренная температура» или «молодой человек». Формализуются такие переменные приписыванием им некоторых нечетких множеств. Схема вывода с лингвистическими переменными:

В этой схеме условие, импликация и вывод - неточные утверждения. В качестве лингвистических переменных выделим: - скорость автомобиля, - уровень шума.

108

Терм {«малая», «средняя», «большая», «очень большая»}

- множество значений лингвистической переменной .

Терм {«малый», «средний», «не очень высокий», «высокий»}

- множество значений лингвистической переменной .

Каждому терму и соответствует нечеткое множество. Из анализа этих схем вывода получаем нечеткие множества:

«очень большая скорость автомобиля»,

«не очень высокий уровень шума».

Различия между четким и нечетким правилами следующие (см также раздел

1.7). В обоих случаях импликация имеет один и тот же вид , где и -

это суждения (правило) либо нечеткие множества. Суждение из импликации четкого правила также присутствует в предпосылке этого правила. В то же время условие нечеткого правила не связано с нечетким множеством , но содержит некоторое нечеткое множество , которое может в определенном смысле быть близким к , однако не обязательно .

Нечеткое множество «очень большая скорость автомобиля» не равно нечеткому множеству «большая скорость автомобиля» и выводы схем отличаются друг от друга. Вывод нечеткого правила относится к нечеткому множеству , определяемое композицией нечеткого множества и нечеткой импликации , т.е.

109

.

принадлежности , а функцию принадлежности нечеткого множества представиляют выражением

, где

.- это функция принадлежности отношения

В частном случае, когда -норма имеет тип min

.

то обобщенное нечеткое правило modus ponens упрощается до правила классического modus ponens.

Обобщенное нечеткое правило modus tollens

Обобщенное (нечеткое) правило вывода modus tollens, где и -

это нечеткие множества, в то время как и - это лингвистические переменные.

Импликация IF это THEN

110

Подобный пример с лингвистическими переменными со скоростью автомобиля и уровнем шума:

Нечеткое множество в выводе схемы (3.195) определяется комбинацией отношений

,

Если -норма имеет тип min, то .

Если или ,

то обобщенное нечеткое правило вывода modus tollens упрощается до классического правила modus tollens.