Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-3-й семестр(курс лекций)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

dv sin

dx . Тогда

du dx ,

cos

. И для вто-

рого интеграла получаем

2 x 2

x 2 sin

cos

2 2

cos 0

cos

sin

2n2

sin 0

cos

sin

2n2

cos

sin

2n2

Третий интеграл также вычисляем с применением формулы

интегрирования по частям. Положим u 1 x ,

dv sin

dx .

du dx ,

Тогда

cos

. И для третьего интеграла

получаем

2 1 x

x 1 sin

cos

cos 0

sin

2n2

sin 0

sin

2n2

Для четвёртого интеграла имеем

2 n

sin

cos

cos n cos

cos

Окончательно, для коэффициентов bn имеем

171

			1												n											n								1				2								n					1	4
b						4						1						cos																								cos
b						4						1						cos																								cos
n			2																															2			n									2					2 n
			2																							2								2			n									2					2 n
		1							4							n											1		2						1							4						n
													sin																																	sin
						2n2							sin																										2n2							sin
		2				2n2															2						2			n 2									2n2									2
					1							2									n												n					1									n	1 .
														cos														1																			1
														cos														1																			1
					2																2																	n
					2						n										2																	n
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид
				5												4														n												2					n						n x
f (x)																							1 cos																						sin						cos
f (x)															2								1 cos																						sin						cos
				4											2			n			2																				n						2							2
				4						n 1								n												2											n						2							2
																					1				1 n					1 sin						n x
																									1 n					1 sin
																				n																		2
Амплитудный спектр равен

				4																n									2								n							2				1					n			2
An										1			cos																				sin																		1				1		,
An				2						1			cos																				sin															2		2	1				1		,
				2		n	2													2										n								2										2	n	2
						n														2										n								2											n
																										n 1,2,....
Фазовый спектр равен
																													1
																													1								n
																																1								1
																													n			1								1
	n				arctg
	n				arctg																4													n										2				n
																					4													n										2				n
																										1 cos																					sin
																			2					2		1 cos																					sin
																			2			n		2							2												n					2
																						n									2												n					2

																					n 1 n									1
																					n 1 n									1																	, n 1,2,....
arctg
arctg																	n																			n
																	n																			n
								4 cos															1							2 nsin
																			2																					2
																			2																					2

Частотный спектр равен 2n .

Для чётных функций коэффициенты (8.8), (8.9) разложения функции в ряд Фурье приобретают вид

172

2 l

n x

f (x)cos

dx , n

0,1,2,...,

(8.10)

bn 0 ,

n 1,2,....

(8.11)

Аналогично, для нечётных функций имеем

an 0 ,

n 0,1,2,...,

(8.12)

2 l

n x

f (x)sin

dx , n 1,2,.... (8.13)

Функции, заданные на половине периода, можем продолжить на другую половину периода любым образом. Продолжая чётным образом, получаем разложение по косинусам

	a0		n x
f (x)		an cos		,	(8.14)
			l
2		n 1

коэффициенты которого находятся по формулам (8.10), (8.11).

Продолжая нечётным образом, получаем разложение по синусам

	n x
f (x) bn sin		,	(8.15)
	l
n 1

коэффициенты которого находятся по формулам (8.12), (8.13).

Пример 2. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье по косинусам.

Продолжая функцию, заданную на половине периода чётным образом, получаем разложение по косинусам

173

2				l
2				l
f (x)	a0		a cos	n x	. Так как функция задана на отрезке
f (x)			a cos		. Так как функция задана на отрезке
			n
		n 1

[0,3] , то коэффициенты нужного нам разложения находятся по

					3		3
формулам		an			2	3	f (x)cos	n x	dx ,	n 0,1,2,...,
формулам		an				0	f (x)cos		dx ,	n 0,1,2,...,
						0
n 1,2,....
Переходя к аналитическому заданию, получаем
							x 1,			0 x 1,
										1 x 2,
							f (x) 1,			1 x 2,
										2 x 3.
							x 2,			2 x 3.
		3
Имеем	a		2	3	f x dx . Так как подынтегральная
Имеем	a				f x dx . Так как подынтегральная
	0
				0

положительна, то f x dx есть площадь под кривой

bn 0 ,

функция

f x , ко-

торая легко вычисляется и равна 3 . Поэтому a0 2 . Далее,

f (x) cos

n x

(x 1) cos

cos

(x 2) cos

dx .

Вычислим каждый интеграл отдельно. Для вычисления пер-

n x

вого интеграл (x 1) cos

dx применим формулу интегриро-

вания

по частям.

Полагая

u x 1 ,

dv cos

n x

dx , имеем

du dx , v

sin

n x

. Тогда

174

1			n x																		3					n x			1			3			1		n x
1																													1						1
(x 1) cos							dx (x 1)																sin												sin				dx
(x 1) cos							dx (x 1)													n			sin									n			sin				dx
0					3															n						3			0			n			0	3
																													0

(x 1)								3			sin			n x					1					3 3				cos		n x			1
								3						n x										3 3						n x
								n															n2 2
															3				0												3		0
															3				0												3		0
	6						n						0				9										n				9
				sin																			cos
				sin																			cos							n2 2
		n						3							n2 2											3				n2 2
					6							n					9											n
								sin															cos							1 .
						n		sin									n2 2						cos							1 .
						n							3				n2 2											3
													2					n x
Для второго интеграла cos																		n x						dx получаем
Для второго интеграла cos																								dx получаем
													1								3
													1
2	n x									3						n x						2			3						2n						n
2	n x									3						n x						2			3						2n						n
cos					dx								sin															sin						sin				.
cos					dx				n				sin												n			sin						sin				.
1	3																3					1										3					3
	3																3					1										3					3

3	n x
Для вычисления третьего интеграла (x 2) cos		dx , так-
	3
2

же как и для вычисления первого, применим формулу интегри-

рования по частям. Полагая														u x 2 ,								dv cos								n x		dx , имеем
рования по частям. Полагая														u x 2 ,								dv cos										dx , имеем
																													3
du dx , v	3			sin		n x				dx . Тогда
du dx , v		n		sin						dx . Тогда
		n		3
3					n x												3		n x				3			3			3			n x
3																							3						3
(x 2) cos							dx (x 2)											sin											sin				dx
(x 2) cos							dx (x 2)									n		sin								n			sin				dx
2				3												n				3			2			n			2		3
																							2

		(x 2)							3		sin		n x		3			3 3			cos			n x			3
									3				n x					3 3						n x
									n									n2 2
												3			2										3		2
												3			2										3		2
	3											9								9							2n
			sin n 0											cos n											cos
			sin n 0											cos n								2			cos
	n										n2 2									n2		2						3
								9							n				2n
												( 1)					cos						.
								n2 2				( 1)					cos						.
								n2 2												3
Окончательно, для коэффициентов an																						имеем

175

						2			6						n		2				9			n
			an									sin										cos				1
			an			3				n		sin								n2 2		cos		3		1
						3				n					3 3					n2 2				3
	2		3				2n									n		2			9				n			2n
				sin							sin												( 1)			cos
				sin							sin										n2 2		( 1)			cos
	3		n					3								3		3			n2 2							3
6					n				( 1)				n	1 cos					2n				2				2n	sin	n
		cos																						sin							.
n2	2	cos																					n	sin							.
n2	2				3															3			n				3			3

Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид


					6					n				n				2n
					6					n				n				2n
f (x) 1								cos			( 1)				1 cos
f (x) 1					2	2		cos			( 1)				1 cos
					2	2				3								3
	n 1		n							3								3
	2						2n					n				n x
				sin					sin				cos				.
				sin					sin				cos				.
		n						3								3
		n						3				3				3

Пример 3. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье по синусам.

Продолжая нечётным образом, получаем разложение по си-

			n x
нусам f (x) bn sin			n x	, коэффициенты которого находятся
нусам f (x) bn sin			l	, коэффициенты которого находятся
	n 1		l
	n 1
по формулам
a 0 ,	n 0,1,2,..., b					2	l	f (x)sin	n x	dx ,	n 1,2,....
a 0 ,	n 0,1,2,..., b					l		f (x)sin		dx ,	n 1,2,....
n				n		l			l
n				n
							0
Переходя к аналитическому заданию, получаем
				x 1,				0 x 1,
					1,			1 x 2,
		f (x)			1,			1 x 2,
								2 x 3.
				x 2,				2 x 3.

Имеем,

176

																b				2	3				f (x)sin										n x					dx
																b			3						f (x)sin															dx
																n			3																3
																n
																					0
		2		1							n x								2		2								n x										2			3															n x
		2		(x 1)sin							n x				dx				2		sin								n x				dx						2				(x 2) sin														n x				dx .
				(x 1)sin											dx						sin												dx										(x 2) sin																		dx .
		3		0								3							3		1							3											3			2																	3
				0																	1																					2
	Вычислим каждый интеграл отдельно. Для вычисления пер-
								1										n x
вого интеграл (x 1)sin																		n x						dx					применим формулу интегриро-
вого интеграл (x 1)sin																								dx					применим формулу интегриро-
								0											3
								0
вания			по частям.											Полагая											u x 1 ,															dv sin												n x				dx ,							имеем
вания			по частям.											Полагая											u x 1 ,															dv sin																dx ,							имеем
																																																					3
du dx , v								3		cos				n x			. Тогда
du dx , v								n		cos							. Тогда
								n				3
		1							n x																			3									n x						1				3				1							n x
		1																																									1								1
		(x 1) sin											dx (x 1)																		cos																					cos										dx
		(x 1) sin											dx (x 1)																		cos																n					cos										dx
		0								3																	n								3								0				n				0								3
																																											0

							(x 1)									3		cos				n x						1					3 3					sin						n x					1
																3						n x											3 3											n x
																n																n2 2
																									3			0																	3				0
																									3			0																	3				0
	6				n			3				9									n														3							6								n					9									n	.
			cos															sin											0																cos																sin
			cos													2		sin											0																cos														2		sin
	n				3 n							n2				2					3													n							n										3					n2			2					3
																			2							n x
	Для второго интеграла sin																									n x					dx получаем
	Для второго интеграла sin																														dx получаем
																			1									3
																			1
				2			n x									3							n x							2					3											2n														n
				2			n x									3							n x							2					3											2n														n
				sin					dx									cos																					cos														cos										.
				sin					dx							n		cos																		n			cos														cos										.
				1		3																			3					1																	3												3
						3																			3					1																	3												3

																																						3																n x
	Для вычисления третьего интеграла (x 2) sin																																														dx	, также						n x
	Для вычисления третьего интеграла (x 2) sin																																														dx	, также
																																						2																	3
																																						2

как и для вычисления первого, применим формулу интегриро-

вания по частям.			Полагая u x 2 ,			dv sin	n x	dx , имеем
вания по частям.			Полагая u x 2 ,			dv sin		dx , имеем
						3
du dx , v	3	cos		n x	dx . Тогда
du dx , v	n	cos			dx . Тогда
	n		3

177

3						n x																					3									n x						3						3						3			n x
3																																										3												3
(x 2)sin										dx (x 2)																					cos																								cos				dx
(x 2)sin										dx (x 2)																n					cos																		n						cos				dx
2							3																			n												3				2							n					2		3
																																										2

			(x 2)											3			cos					n x				3							3 3						sin				n x							3
														3								n x											3 3										n x
															n																	n2 2
																							3			2																				3				2
																							3			2																				3				2
			3																				9															9													2n
					cos n 0																				sin n																					sin
					cos n 0																				sin n												n2 2									sin
			n																n2 2																		n2 2																	3
														3			1 n											9						sin					2n						.
														n			1 n								n2 2									sin											.
														n											n2 2													3
Окончательно, для коэффициентов bn имеем
				bn					2					3									6								n							9															n
																								cos																							sin
									3													n		cos							3							n2 2									sin							3
									3					n								n									3							n2 2																3
									2										3								2n														n
																					cos														cos
																					cos														cos
									3									n												3
									3									n												3												3
									2						3								n								9									2n
																							1													sin
																							1						n2 2							sin
									3						n														n2 2													3
	2						n											2n													n								6															n				2n
		1 cos								cos																		1																		sin										sin				.
		1 cos								cos																		1									n2 2									sin										sin				.
	n						3													3																	n2 2																	3					3
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид
													2											n													2n																		n
													2											n													2n																		n
																																												1
		f (x)														1			cos											cos														1
							n 1 n																	3														3
							6													n										2n														n x
														sin									sin														sin															.
							2				2			sin									sin														sin															.
							2				2									3											3															3
								n												3											3															3
Разложение (8.7) можно также записать в виде
																																			n x
																f (x) cnei																				l																						(8.16)
																							n
коэффициенты которого находят по формулам
																					l												n x
																		2l
																		1					f (x)e i																			n 0, 1, 2,... (8.17)
												cn											f (x)e i											l		dx ,						n 0, 1, 2,... (8.17)

178

Разложение (8.16) называют рядом Фурье в комплексной форме.

Соответственно l cn есть амплитудный спектр,

l			n
arg	cn	- фазовый спектр,		- частотный спектр.

			l

Пример 4. Разложить функцию в ряд Фурье в комплексной форме. Найти амплитудный, фазовый и частотный спектры.

							f (x)		1,			2 x 0,
							f (x)							0 x 2.
									3,					0 x 2.
Найдём коэффициенты разложения. Так как l 2 , то
				2			in x		4			0		in x				2	in x
			4						4							4
	c		1		f (x)e		2 dx			1			2e		2 dx		1		3e 2 dx
	c				f (x)e		2 dx						2e		2 dx				3e 2 dx
	n
				2								2						0
					0			in x			2
	1	in x			0		3	in x			2			i		e0 ein 3 e in e0
	1	e 2					3	e 2						i
	2in	e 2				2in		e 2						2n
	2in					2in								2n
					2						0
					2						0

2ni 1 ein 3 e in 1

2ni 1 (cosn i sin n ) 3 (cosn i sin n ) 1

i	1 ( 1)n 3 ( 1)n 1	i	( 1)n 1 ,	n 0, 1, 2,...
2n		n

Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид

		i	( 1)n 1 e
f (x)		i
f (x)	n
n	n
n		( 1)n 1
Амплитудный спектр –

			n
			n

in x

Фазовый спектр –

			n			0,
	i
arg		( 1)		1
						,
n					2

если n 2k

если n 2k 1

179

Частотный спектр -	n	.

2
Интересна функция Хэвисайда, или что то же самое,
единичная функция h(t)			0,если t 0,		. С помощью этой
				0
			1,если t

функции удобно записывается ступенька на отрезке [t1,t2 ]

задаваемая

формулой

1,еслиt [t1,t2 ],

так

как

f (t)

0,если t [t1,t2 ]

f (t) h(t t1) h(t t2 ) .

Запишем

условие замкнутости

k 2

для

k 1

тригонометрической системы 1,cos

n x

,sin

n x

n 1,2,...

и функции f (x) с рядом Фурье

n x

f (x)

an cos

bn sin

n 1

для неё.

Имеем

a 2 b 2

f 2 (x)dx .

n 1

Из этого

соотношения

сразу

получаем,

что

ряды

2 bn 2 сходятся,

an 2 ,

bn 2 и

следовательно,

n 1

lim an 0

и lim bn 0 .

Пусть g(x) другая функция и

n x

g(x)

cos

sin

n 1

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб10Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб6Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб4Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf