Математика-3-й семестр(курс лекций)

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

- частотным спектром,

n 1,2,... - фазо-

вым спектром.

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

g( 1), g( 2 ),..., g( n ) T . Скалярное произведение этих n - мерных векторов имеет вид

( f , g)n f ( k )g( k )

f ( 1 )g( 1 ) f ( 2 )g( 2 ) ... f ( n )g( n ) .

Увеличивая число точек разбиения, скорее всего, получим,

что ( f , g)n стремится к . Например, взяв	f (x) g(x) 1
для всякого x из [a,b] , получаем, что	f ( k )g( k ) 1 ,

( f , g)n f ( k )g( k ) n . Поэтому подправим это скаляр-

k 1

ное произведение рассмотрением скалярного произведения с весом, взяв в качестве веса xi . Тогда имеем

( f , g)n f ( k )g( k ) xk

f ( 1)g( 1) x1 f ( 2 )g( 2 ) x2 ... f ( n )g( n ) xn .

Врезультате получилась интегральная сумма. Переходя к

пределу по всевозможным разбиениям, имеем

( f , g) f (x)g(x)dx

Аналогичная конструкция может быть реализована и для комплекснозначных функций.

Назовём две функции ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Семейство функций 1, 2 ,..., n ,... назовём ортогональ-

ным, если каждые две функции из этого семейства ортогональны между собой.

Ортогональной системой функций является так называемая тригонометрическая система функций

1,cos	n x	,sin	n x	,	n 1,2,...,	(8.3)
	l		l

161

которая ортогональна на отрезке [l,l] . Частным случаем этой системы функций является система

1,cosnx,sin nx , n 1,2,...,

(8.4)

ортогональная на отрезке [ , ] .

Также являются ортогональными системы комплексно-

n x

значных функций ei l , n 0, 1, 2,... на отрезке [l,l] и einx , n 0, 1, 2,... на отрезке [ , ] .

Доказывается просто. Необходимо вычислить скалярное произведение между элементами этих систем.

Конкретные ортогональные семейства функций, отличные от тригонометрической системы, можно найти в [2931] и других книгах.

Пусть 1, 2 ,..., n ,... - множество попарно ортогональ-

ных функций. Пусть далее функция f (x)	представлена в
виде

f (x) n n (x) .	(8.5)
n 1

Это представление называется разложением функции в обобщённый ряд Фурье. Вычислим при некотором k скалярное произведение f (x), k (x) от левой и правой частей данного разложения. В результате получаем

		b

f (x), k (x)	n n (x), k (x)		n n (x) k (x) dx .
n 1		a n 1

Если ряд n n (x) k (x) можно интегрировать почленно,

n 1

то

162

n n (x) k (x) dx n n (x) k (x)dx

a n 1

n 1

n n (x), k (x) k k (x), k (x) k

k (x)

n 1

Следовательно, f (x),

(x)

и получаем коэф-

фициенты разложения функции

f (x)

по ортогональной

системе функций 1, 2 ,..., n ,...

( f (x), n (x))

(8.6)

n (x)

Чем хороши ряды Фурье? Для ответа на этот вопрос рассмотрим так называемые полиномы по ортогональной системе 1, 2 ,..., n ,... , содержащие не более чем n слагаемых, то есть всевозможные линейные комбинации

1 1

2 2 ... n n k k

k 1

элементов 1, 2 ,..., n . Оценим

квадрат

нормы

разности

элементов f и . Имеем

f , f f k k , f k k

k 1

f , f 2 k f , k

k k , k k

k 1

f , f 2 k f , k k p k , p .

k 1

k 1 p 1

Так как 1, 2 ,..., n ,... является семейством ортогональных функций, то

		k	2	, если k p,
			2

k , p	0,			если k p.
	0,			если k p.

163

Поэтому k p k , p k 2

k , k . Таким образом,

k 1

p 1

k 1

2 f , f 2 k f , k

k 2 k , k .

k 1

Далее, так как

, f ,

(x)

, то послед-

нее соотношение можно переписать в виде

2 2 k k

2 k 2

2 .

k 1

Вычитая и прибавляя в правой части полученного соотно-

шения k 2

имеем

k 1

k 2

k 1

k 2

2 k k

2 k

2 ,

k 1

2 k

2 k k 2

2 .

k 1

В последнем соотношении слагаемые

и k 2

k 1

постоянны, а слагаемое k k 2 k 2 достигает наи-

k 1

меньшего значения и обращается в нуль при k k . Таким образом, f 2 достигает минимума, когда

1 1 2 2 ... n n k k ,

k 1

то есть является n -ой частичной суммой ряда Фурье. Таким образом, частичные суммы ряда Фурье осуществляют наилучшее среднеквадратичное приближение к исходной

164

функции. Кроме того, так как		f				2 0 , то

k 2 k 2 f 2 . Устремляя n к бесконечности, получа-

k 1

ем неравенство Бесселя

k 2 k 2 f 2 .

k 1

Из неравенства Бесселя сразу же следует, что ряд

k 2 k 2 является сходящимся.

k 1

Отметим несколько понятий в пространствах со скалярным произведением.

Назовём семейство ортогональных функций1, 2 ,..., n ,... полным в пространстве со скалярным произ-

ведением H , если не существует в этом пространстве функции ортогональной к каждой из функций семейства

1, 2 ,..., n ,... .

Если семейство элементов 1, 2 ,..., n ,... является пол-

ным в H ,

то каждый элемент из H

представим своим

обобщённым рядом Фурье.

Если в

неравенстве Бесселя k 2

2 имеет

k 1

место равенство, то есть k 2

для каждого

k 1

элемента из H , то система элементов 1, 2 ,..., n ,... называ-

ется замкнутой в H , а равенство k 2 k 2 f 2 назы-

k 1

вается условием замкнутости или равенством ПарсеваляСтеклова.

Если система элементов 1, 2 ,..., n ,... замкнута в H , то она полна в H .

165

Доказательство у Магазинникова Л.И.[30, 32] или других книгах по рядам Фурье.

Применяя формулы вычисления коэффициентов ряда

Фурье

( f (x), n (x))

тригонометрической

системе

n (x)

(3.3), получаем разложение

n x

f (x)

an cos

bn sin

(8.7)

n 1

коэффициенты которого находятся по формулам

1 l

n x

f (x) cos

dx,

n 0,1,2,...,

(8.8)

1 l

n x

f (x)sin

dx ,

n 1,2,....

(8.9)

Преобразуем слагаемое

cos

n x

b sin

n x

в (8.7). Име-

ем

a cos

n x

b sin

n x

a 2

cos

sin

Положим

cos n

sin n .

An ,

b 2

a 2 b 2

С учётом этих обозначений имеем

n x

an cos

bn sin

cos n cos

sin

n sin

n x

An cos

Поэтому ряд (8.7) может быть записан в виде

166

		a				n x
	f (x)	0	An cos				n .
	f (x)	2	An cos				n .
		2		n 1		l
	n x
Функция	An cos			n		является периодической с
Функция	An cos			n		является периодической с
		l
наименьшим периодом				2l	и представляет собой гармони-
наименьшим периодом					и представляет собой гармони-
				n

ческое колебание. Поэтому разложение функций в ряд Фурье называют гармоническим анализом. Величина An на-

зывается амплитудой гармоники,	n	частотой гармони-
	l

ки, n отклонением от начального положения.

Величины An , n 1,2,... называют амплитудным спек-

Заметим, что зная амплитудный, частотный и фазовый спектры, можно восстановить исходную функцию, так как имеет место следующий результат.

Теорема (Дирихле). Всякая кусочно непрерывная и ограниченная на отрезке [l,l] функция (сигнал) f (x) может быть разложена в ряд Фурье (8.7) который сходится к периодической с периодом 2l функции S (x) заданной на числовой прямой и в точках отрезка [l,l] принимающей значения

S(x) f (x 0) f (x 0) . 2

167

Пример 1. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье. Найти амплитудный, фазовый и частотный спектры.

Записывая функцию в аналитической форме, получаем

		2,	2 x 1,
		2,	1 x 0,
x
f (x)	1	x,	0 x 1,

		1,	1 x 2.

Найдем коэффициенты разложения данной функции в ряд

							2
Фурье. Имеем						a		1		2	f x dx .						Так			как	подынтегральная
Фурье. Имеем						a					f x dx .						Так			как	подынтегральная
						0
										2
															2
функция положительна, то															f x dx					есть площадь под кри-
															2
вой f x , которая легко вычисляется и равна 5 . Поэтому
a		5	.
a			.
0	2
	2
	Далее,
							a					1	2	f x cos nx dx
							a		n					f x cos nx dx
									n		2
											2								2
													2
					1	1				nx						1	0				nx
						2 cos							dx				x			2 cos	dx
						2 cos							dx				x			2 cos	dx
					2	2					2					2	1				2
						2											1
				1	1								nx					1	2	nx
						1 x cos									dx				cos		dx .
						1 x cos									dx				cos		dx .
				2	0								2					2	1		2
					0														1

Вычислим каждый интеграл в данном выражении отдельно. Для первого интеграла имеем

168

1		nx				4
		nx				4
	2cos			dx
	2cos	2		dx		n
2		2				n
2
				4
					sin
					sin

			n

nx		1	4			n		2 n

sin				sin			sin


2		2	n			2		2

n					4	n
	sin n					sin	.

2					n		2

Для

вычисления

второго

интеграла

x 2 cos

применим

формулу

интегрирования

по

частям.

Положим

u x 2 ,

dv cos

. Тогда du dx ,

sin

. В

результате получаем

2 x 2

x 2 cos

sin

sin 0

sin

cos

2n2

cos 0

sin

cos

2n2

sin

cos

2n2

Для вычисления третьего интеграла также применим форму-

лу интегрирования

по

частям.

Положим

u 1 x ,

dv cos

dx . Тогда

du dx ,

sin

. В резуль-

тате имеем

2 1 x

1 x cos

sin

sin 0

cos

2n2

cos 0

cos

2n2

169

Для четвёртого слагаемого получаем

2		nx											2				nx							2					2											2 n										n
2																								2

cos					dx										sin																		sin													sin
cos					dx							n			sin													n					sin													sin
1			2									n					2							1				n														2								2
1			2														2							1																		2								2
							2															n															2						n
										sin n sin																														sin								.
						n				sin n sin																										n				sin								.
						n																2														n							2
Окончательно, для коэффициентов an имеем
	1			4							n							2							n												4									4					n
a								sin													sin																												cos
a								sin													sin															2			2						2			2	cos
n	2			n							2								n						2											2		n	2						2		n	2		2
	2			n							2								n						2													n									n			2
						4										n						4									2								n
						4										n						4									2								n
						2			2		cos											2				2								sin
						2		n	2		cos											2	n			2								sin
								n								2							n						n												2
									4												n										2									n
														1		cos																			sin								.
									2			2		1		cos																			sin								.
									2	n		2									2									n								2
										n											2									n								2
Вычислим теперь коэффициенты bn . Имеем,
												b					1	2		f	x sin nx dx
												b						2		f	x sin nx dx
														n		2																2
																2																2
																		2
				1				1						nx								1				0													nx
									2 sin									dx								x 2 sin																		dx
				2					2 sin							2		dx				2				x 2 sin															2			dx
				2			2									2						2			1																2
							2																		1
				1		1											nx										1					2					nx
						1 x sin															dx											sin												dx .
						1 x sin															dx											sin												dx .
				2		0												2									2					1									2
						0																										1

Вычислим каждый интеграл отдельно. Для первого интеграла имеем.

1		nx			4	nx		1		4			n			2 n
1								1


	2sin	dx				cos					cos			cos
2		2			n		2	2	n					2		2
2								2
			4		n					4			n	n
				cos		cos n							1	cos	.
				cos		cos n							1	cos	.
					2
			n		2					n				2
												0			nx
	Для вычисления второго интеграла														nx		при-
	Для вычисления второго интеграла											x 2 sin				dx	при-
												1			2
												1

меним формулу интегрирования по частям. Положим u x 2 ,

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб10Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб6Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб4Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf