Математика-3-й семестр(курс лекций)

сят от x . Тогда система первого приближения (4.10) есть система с постоянными коэффициентами. В этом случае справедлив следующий результат.

Теорема 4.4. Если вещественные части всех собственных чисел матрицы A системы первого приближения автономной системы дифференциальных уравнений отрицательны, то точка покоя автономной системы асимптотически устойчива. Если хотя бы одно собственное число матрицы A системы первого приближения автономной системы дифференциальных уравнений имеет положительную вещественную часть, то точка покоя автономной системы неустойчива.

Доказательство этой теоремы опустим. Желающие могут ознакомиться с ним в [10, 13, 14].

Отметим, что если часть собственных чисел матрицы A системы первого приближения автономной системы дифференциальных уравнений имеет вещественную часть равную нулю, то исследовать на устойчивость автономную систему дифференциальных уравнений по системе первого приближения нельзя.

Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

Исследуем точку покоя на устойчивость с помощью системы первого приближения. Составляем матрицу системы первого приближения. Она состоит из частных про-

танных в точке покоя системы. Имеем:

101

2 3 13 . Собственные числа матрицы системы первого

2

приближения вещественны и различны. Так как 3 13 , то1 0 , 2 0 . Следовательно, точка покоя данной системы

неустойчива и является седлом.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

dx y x3 ,dt

dy x y3.

dt

Исследуем точку покоя на устойчивость с помощью системы первого приближения. Составляем матрицу системы первого приближения. Она состоит из частных про-

уравнений исходной системы, посчитанных в точке покоя системы. Имеем:

102

Тогда матрица системы первого приближения имеет вид:

Составляем характеристическое уравнение:

Находя корни уравнения, получаем 1,2 i . Действитель-

ная часть собственных чисел нулевая, следовательно, исследовать точку покоя данной системы на устойчивость по первому приближению нельзя. Но, если взять функцию

Ляпунова V (x, y) x2 y2 и составить функцию:

W Vx f1 Vy f2 2x y x3 2y x y3 2 x4 y4 0 ,

причем, W 2x4 6y4 0 тогда и только тогда, когда обе координаты нулевые, то есть x y 0 , то видим, что точка

покоя данной системы асимптотически устойчива.

Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

dx y x3 ,dt

dy x y3.

dt

Исследуем точку покоя на устойчивость с помощью системы первого приближения. Составляем матрицу системы первого приближения. Она состоит из частных про-

уравнений исходной системы, посчитанных в точке покоя системы. Имеем:

103

Тогда матрица системы первого приближения имеет вид:

Составляем характеристическое уравнение:

Находя корни уравнения, получаем 1,2 i . Действитель-

ная часть собственных чисел нулевая, следовательно, исследовать точку покоя данной системы на устойчивость по первому приближению нельзя. Но, если взять функцию

Ляпунова V (x, y) x2 y2 и составить функцию:

W Vx f1 Vy f2 2x y x3 2 y x y3 2 x4 y4 0 ,

то видим, что точка покоя данной системы неустойчива.

104

5. Уравнения с частными производными первого порядка

Уравнение вида

дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Если, кроме того, функция F – линейна относительно u , то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. В этих случаях уравнение записывается, соответственно, в виде

в случае линейного уравнения.

Функция u называется решением уравнения (5.1) (соответственно (5.2), (5.3)) если при подстановке её в это уравнение она обращает его в тождество.

Если u(x) – решение дифференциального уравнения (5.1), то поверхность u u(x) называется интегральной поверхностью.

105

Займёмся уравнением (5.2). Предположим, что хотя бы один из коэффициентов ak x1 , x2 ,..., xn , u , k 1,2,..., n отличен от нуля. Последнее требование эквивалентно условию

Определение. Система уравнений (5.4) называется характеристикой уравнения (5.2).

Если функции ak (x, u), b(x, u) дифференцируемы, то система уравнений (5.4) удовлетворяет условиям теоремы

106

существования и единственности. Из предыдущих рассуждений следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 5.1 Если гладкая поверхность S , определённая уравнением u u(x) является интегральной поверхностью уравнения (5.2) и x x(t) – характери-

С другой стороны, имеет место и обратный результат. Теорема 5.2 Если гладкая поверхность S , опре-

делённая уравнением u u(x) такова, что для всякой точки (x0 , u0 ) принадлежащей поверхности S характеристика уравнения (5.2) проходящая через точку (x0 , u0 ) касается S в этой точке, то S является инте-

гральной поверхностью уравнения (5.2).

Таким образом, любая интегральная поверхность уравнения (5.2) состоит из характеристик.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение y xz x yz 0 . Составляем систему уравнений характери-

ножая числитель и знаменатель первой дроби на x , а второй дроби на y и складывая результаты, получаем

Легко проверить, что эти первые интегралы независимы.

107

Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения будет иметь вид F(x2 y 2 , z) 0 , где F – некоторая дифференцируемая функция.

108

6. Разностные уравнения

6.1 Понятие разностного уравнения

Для скалярной функции скалярного переменного

называется разностным уравнением первого порядка. Зная y(t) , можем последовательно найти y(t h) , y(t 2h) , …,

y(t kh) . Обычно в разностных уравнениях берут t 0 , h 1. Вводя обозначение yk y(kh) , приведённое выше разностное уравнение первого порядка, можем записать в виде yk yk 1 f ( yk 1 ) .

Расчетные формулы численного решения дифференциальных, в том числе и формула метода Эйлера, представляют собой разностные уравнения, к более подробному изложению которых мы и переходим.

Для упрощения изложения будем считать, что отрезок [a,b] разбит на части равноотстоящими точками (равномерной сеткой). В общем случае, то есть при произволь-

109

ном разбиении отрезка [a,b] , проделать приведённые ниже

рассуждения не сложно, только формулы будут более громоздкими. Приблизить первую производную можно не

разностное уравнение второго порядка. В общем виде, приведённое выше разностное уравнение второго порядка,

y f (t, y, y ) . По определению второй производной можем записать

Поэтому вторую производную заменяют конечной разно-

обозначениях дифференциальное уравнение y f (t, y, y )

перепишется в виде yk 2 2yk 1 yk f ( yk , yk 1 ) . Таким образом, разностное уравнение первого порядка может быть записано в виде yk ( yk 1 ) , а уравнение второго

порядка в виде yk 2 ( yk , yk 1 ) . Ясно, что для получения

110