Электромагнитные поля и волны

41

График зависимости H r представлен на рис. 2.4.

Рис. 2.4. К задаче №6

Результат численного расчёта: H 1 0,16 Ам , H 2 15,9 Ам .

Задача №7

Анизотропный диэлектрик имеет диэлектрическую проницаемость

К нему приложено электрическое поле E x0 Ex z0 Ez . Найдите

выражение для вектора электрического смещения D . Определите угол между векторами E и D .

Решение:

Так как диэлектрик имеет анизотропную диэлектрическую проницаемость, то вектор электрического смещения D будет определен следующим выражением:

Перемножая строку на столбец, получим проекции вектора смещения:

DX 1EX , DY EX , DZ 0 EZ .

Из них составим вектор смещения D

D x0 1Ex y0 Ex z0 0 Ez .

42

Для определения угла между векторами D и E запишем скалярное произведение векторов

D, E Dx Ex Dz Ez Dx2 Dy2 Dz2 Ex2 Ez2 cos D, E ,

откуда

Задача №8

Определить полный ток, если известно, что напряженность магнитного

поля H x0 5z sin t .

Решение:

Воспользовавшись первым уравнением Максвелла, находим:

Из полученного соотношения следует, что плотность полного тока jполн имеет только одну составляющую, направленную по оси y . Таким

образом:

jполн y0 5sin t.

Задача №9

Задано электрическое поле E E0 (x0 y y0 x) cos t . Определить

магнитное поле H .

Решение:

Используем 3-е уравнение Максвелла:

rot E Bt .

Найдем rot E :

43

Вектор В определим интегрированием полученного выражения для rot E по времени

Задача №10

В некотором объеме свободного пространства имеется электрическое

Сила электрического поля, воздействующая на заряд равна:

FЭ qE 10 9 10 y0 10 10 9 y0 .

Сила магнитного поля, воздействующая на заряд равна при В 0 Н (0 4 10 7 Гнм ), определяется как векторное произведение скорости движения заряда и вектора магнитной индукции:

Задача №11

Определить электродвижущую силу ( ЭДС ), возбуждаемую в квадратной рамке потоком вектора B H0 cos t . Направление вектора H относительно плоскости рамки показано на рис. 2.5.

45

a

a

a

Рис. 2.5. К задаче №11

Решение:

Поток вектора магнитной индукции определяется выражением

BdS ,

S

где S – площадь рамки.

Запишем значение для потока , проделав необходимые преобразования:

BdS Bn0dS cos 45 BdS cos 45 B dS

S S S S

Задача №12

a – радиус рамки) много меньше площади полюсов электромагнита S и L – периметр рамки (рис. 2.6). Определить напряженность электрического поля, циркулирующую вдоль рамки и электродвижущую силу Э , наведённую в

Как изменятся E и Э , если рамку повернуть на угол 60 относительно первоначального положения? Диэлектрик – воздух.

45

Рис. 2.6. К задаче №12

Решение:

Для решения этой задачи используется закон электромагнитной индукции (второе уравнение Максвелла в интегральной форме (2.2)).

По условиям задачи, поток вектора индукции, пронизывающий рамку, можно считать однородным и определяемым в виде

BdS Bn S1 cos .

S1

Здесь Bn – проекция вектора B на нормаль n к поверхности S1 . Согласно закону электромагнитной индукции, циркуляция вектора E по

Напряженность электрического поля, циркулирующая вдоль рамки Еl равна отношению Э к периметру рамки L :

El Э / L Э / 2 a 1 (3,14) 0,5 10 2 2 400

sin 2 400t / (2 0,5 10 2 ) 0, 25 10 2 sin t Вм.

46

При повороте плоскости рамки на угол относительно магнитного

поля, E и Э уменьшаются в cos раз.

Ответ:

1) Максимальная Э , наводимая в контуре при перпендикулярной

Задача №13

Определить электродвижущую силу ( ЭДС ) в замкнутом контуре, образованном равнобедренным треугольником, если известен вектор H H0 sin t . Направление вектора H показано на рис. 2.7 и =600.

Рис. 2.7. К задаче №13

Решение:

Запишем выражение для потока вектора B H0 sin t :

0 sin t HdS ..

S

Скалярное произведение векторов HdS H0 cos S .

Учитывая (1.35), получим выражение для потока, пронизывающего треугольную площадку:

0 H0 sin t a2 . 2 2

Электродвижущая сила определяется соотношением

48

B2 x0 0 Hx2 H y 2 y0 H x2 0 H y 2x0 0 Hx1 0 H y 2 y0 H x1 0 H y 2 .

Задача №15

Два диэлектрика, обладающие относительными диэлектрическими проницаемостями r1 и r 2 имеют плоскую границу раздела (рис. 2.9).

Рис. 2.9. К задаче №15

Вектор E электрического поля в первой среде образует угол 1 с осью

X .

Найти вектора E и D во второй среде и угол преломления 2 .

Численный ответ привести для r1 1, r 2 4, E1 1 Вм, 1 30 .

Решение:

49

1. Найдем вектора E и D во второй среде. Запишем для первой среды

второй среды легко определяется первым граничным условием ( E 1 E 2 ).

Нормальная составляющая электрического поля второй среды определяется из второго граничного условия и материального уравнения:

r1En1 r 2 En2 , откуда En2 ( r1 / r 2 )En1 .

Подставляя численные значения, получим:

E 1 E 2 E1 sin 1 0,5 Вм , En1 E1 cos 1 0,87 Вм ,

En2 ( r1 / r 2 )En1 ( r1 / r 2 )E1 cos 1 0, 2275 Вм .

Величина напряженности электрического поля во второй среде равна

E2 0,52 0, 222 0,546 Вм , тогда

D2 2 E2 4 0,546 2,184 Клм2 .

2. Найдем угол преломления 2 . Для этого составим систему уравнений

E1 sin 1 E2 sin 2 ,r1E1 cos 1 r 2 cos 2 .

Поделив первое уравнение на второе, получим r 2tg 1 r1tg 2 , которое позволяет определить угол преломления 2 :

Задача №16

Относительная диэлектрическая проницаемость среды изотропного диэлектрика r 4 . Чему равна электрическая восприимчивость Э ?

. Задача №17

Напряженность магнитного поля в среде, обладающей r 161, H 0,1 Ам . Чему равен вектор намагниченности среды M ?