Электромагнитные поля и волны

Уравнения

Максвелла

в Уравнения

Максвелла

в

дифференциальной форме

интегральной форме

rotH j

Hdl

I

L

(4.10)

divB 0

0

B H

BdS

(4.11)

S

2 M 0 .

(4.13)

В тех случаях, когда в рассматриваемой области имеется ток ( j 0 )

магнитостатический потенциал M становится неоднозначной функцией.

Разность значений между точками K1 и K2

зависит от контура, по которому

выполняется интегрирование в формуле

K2

1M 2M Hdl

(4.14)

K1

,

а именно, при каждом обходе контура

вокруг тока I

в положительном

создающим его

постоянным током.

Для

определения

магнитного поля

обычно вводят

векторный потенциал

с вектором

A , связанный

B

соотношением

B rotA

(4.15)

Векторный потенциал стационарного поля удовлетворяет векторному

уравнению Пуассона

2

A j

.

(4.16)

Если токи сосредоточены в ограниченной области V , на

поверхности S

или протекают по контуру L , то решение уравнения (4.16)

можно получить из соответствующей формулы для:

объемных токов

поверхностных

линейных токов

токов

I

j

jS

d

A

dV

A

dS

A

4 V R

4 S

R

4 L R

(4.17)

(4.18)

(4.19)

где R - расстояние от элементов dv, dS

или dl

до точки, в которой вычис-

Для

объемных

Для поверхностных

Для

линейных

токов

токов

токов

1

j, r0

1

jS

, r0

I

d , r0

H

dV

H

dS

H

4

R2

4

R2

4

R2

V

S

L

(4.20)

(4.21)

(4.22)

Дифференциальная форма закона Био – Савара для

линейных токов представляется в виде

I

dH

dl , r0 .

4 R2

(4.23)

В таком виде закон Био-Савара определяет магнитное поле

dH в точке

1

1

W M

BHdV

H 2dV

2

2

V

V

,

(4.24)

с плотностью энергии

wì

BH

H 2

2

2

(4.25)

С учетом (4.15) и (4.16) выражение (4.24) приводится к виду

1

W M

AjdV

2

V

,

(4.26)

W M

J

A d .

(4.27)

2

L

Применим к интегралу в (4.27) теорему Стокса (1.26), получим

A d

rot AdS Bd S Ф ,

(4.28)

L

S

S

WМ I Ф / 2 .

(4.29)

В случае N N контуров выражение для WМ записывается:

1

N

W M

InÔn

2 n 1

,

(4.30)

где Фn - поток магнитной индукции, пронизывающий контур Ln , In -

ток в контуре Lп .

4.4. Индуктивность и взаимная индуктивность

Так как поток магнитной индукции

Ф L I

(4.31)

пропорционален L –индуктивности контура, то

W М I Ф / 2 LI 2 / 2

(4.32)

В случае N контуров поток Фnk пропорционален току Ik :

Фnk Mnk Ik

(4.33)

Коэффициент пропорциональности M nk при k n называют взаимной

индуктивностью контуров Lk и Ln , а

коэффициент Mkk

-собственной

84

индуктивностью контура

Lk

Взаимная индуктивность определяется

следующим выражением

M

d ln d lk

nk

4 Ln Lk

r

(4.34)

Фkn M kn In ,

(4.35)

Mnk Mkn .

(4.36)

V

Плотность тока переноса n .в уравнениях Максвелла равна n

,

В процессе протягивания заряженной ( ) тонкой пленки со скоростью

создается поверхностная плотность тока

и по аналогии запишем .

Замыкаться они будут вне пленки (рис. 4.5).

Определим величину магнитного поля. Для определения

Н

надо

перпендикулярно поверхности пленки поставить плоскость

и

Отсюда получаем

или

.

2

2

По

двум параллельным,

прямолинейным проводникам

текут

токи

I1 2A

и I 2 1A . Расстояние

между проводниками l ( рис.

4.6 ).

Где

86

I1

I 2

поля на расстоянии

r

от постоянного прямолинейного тока I

определяется из

соотношения Hdl

2 rH , а циркуляция вектора Н , согласно (4.30), равна

L

току I. Следовательно, для первого и второго провода запишем уравнения

H

I1

;

H

I2

.

(4.34)

1

2 r

2

2 (l r)

из которого определим r .

I1

I2

;

2

1

;

2 (l r)

2 r

2 r

2 (l r)

Y

4

I

а

x

M(x,y)

2

1

y

3

а

X

Рис. 4.7

(4.34), найдем поле Н от каждой пары

H M 1

I

; H

I

.

Ì 2

2 (a x)

2 x

Аналогично

H M 3

I

; H Ì

I

;

2 y

4

2 (a

y)

Суммарное поле

4

I 1

1

1

1

H H Mi

.

i 1

2 x

a x y

a y

dH

I

1

1

Ищем экстремум по Х

0

.

dx

2

X

2

(a x0 )

2

0

Отсюда

x02 a2 2ax02 x02 ;

2x02 a;

x0 a / 2 .

Ответ: H

4

I

4I

.

макс

a

a

2

2

W M H

dV 1 I 2 L

2

2

2

Поскольку магнитное поле существует внутри и

снаружи проводника, то магнитную энергию и

индуктивность можно разделить на внутреннюю и

внешнюю. Определим в этой задаче только

внутреннюю индуктивность, поскольку для решения

Рис. 4.7

внешней задачи не хватает данных –не задан внешний

I

4.7. Для этого воспользуемся законом полного тока.

Hd I , в котором

внутри трубы (r R1) будет

равно нулю, поскольку

нет тока,

пронизывающего контур в этой области. Внутри проводника

(R1 r R2 )

контур радиуса r будет пронизываться частью полного тока.

I r r 2 R2 .

1

Очевидно, что величина I (R2 ) дает полный ток в трубе. Магнитное

поле внутри проводника определится как

H r

I r

j r 2 R2

1

2 r

2 r

.

(4.36)

Подставим полученное выражение в формулу для магнитной энергии

(3.16) и будем интегрировать по объему проводника длиной l. Поскольку

подынтегральная функция Н (r) зависит только от

r , то элемент объема

удобно представить в виде dV 2 rdr .

Определим магнитную энергию поля внутри проводника трубы

2

R2

2

j l 2

r

j

l

1

1

R4 ln

R2

1

W M

(r 2

R2 )2 dr

R4

R4 R2 R2

R4

I 2 L.

2

4

R r 2

1

4

4 2

4 1

1 2

1

1

R1

2

1

Откуда получаем L в виде следующего соотношения:

l

3

R2

L

1

R4

R4 R2 R2

R4 ln

.

2 (R22 R12 )2 4

2

4 1

1 2

1

R1

Из этой формулы при R1 0 находится внутренняя индуктивность

проводника длиной

L

μ

8π

(4.37)

Задача №5

Два

концентрических

проводящих

кольца с радиусами

R1 R2

лежат в

одной

плоскости.

Поле

там,

где

R1

расположено малое кольцо, однородно

и равно B2

I 2 (2 R ) .

Определить,

R2

2

как изменится взаимная индуктивность

М12 колец, если радиус R1 уменьшить

вдвое, а R2

вчетверо (рис. 4.8).

Рис. 4.8

Решение:

Взаимная индуктивность М12

определяется равенством

Ф12 М12I2 ,

(4.38)

Ф12 S1B2 .

(4.39)

Здесь S R 2

- площадь, ограниченная малым кольцом, а величина

1

1

Подставляя значения В2

и S1

в (4.39), вычислим поток Ф12

ф B S I2

R2

12

2

1

2R2

1

,

(4.40)

тогда взаимная индуктивность контуров будет равна

M12

Ф

R2

1

I2

2R2

И если теперь применить условия, требуемые в задаче, то получим, что

взаимная индуктивность не изменится, т.е.

R

2

1

Ответ:

M12/

.

/

2

M

12

;

1

2(R2

4)

M12

кольцевых

линий, пронизывающих

N

витков

намотанного на нем провода. На основании закона

полного тока,

запишем это

магнитное

поле

H NI / 2 r ,

где

r - расстояние от

оси. Для

Рис. 4. 9

определения

индуктивности

L ,

следует

LI

(4.41)

Ф

dS

dS

; т.к. B параллелен dS .

1

S

S

b a a

I

dzdr Ia ln

b a

Ф

,

т.к. dS dz dr

1

2 r

2

b

.

(4.42)

b 0

Поток, проходящий через все N витков

NФ INa

n

b a

1

2

b

;

(4.43)

Согласно (4.16), индуктивность катушки определится как отношение

потокосцепления к току

L

N 2 a

n

b a

I

2

b .

(4.44)

b a I

2

a dr

I

2

a

b a

ln

12

2 r

2

b

.

(4.45)

b

N

I2 aN

ln

b a

12

12

2

b .

(4.46)

Величина взаимной индуктивности будет равна

M1,2

a

b

ln

l a

.

2

l

12

12

aN

ln

b a

L

.

(4.47)

I

2

2

b

N

По

двум параллельным, прямолинейным проводникам

текут

токи

I1 2A

и I2 1A . Расстояние между проводниками

(рис.

4.10).