Электродинамика и распространение радиоволн
..pdfH 0 |
H − |
|
|
ϕ |
ϕ |
|
|
E0 |
α |
E− |
|
ϕ |
|
|
|
|
ϕ′ |
|
|
o |
|
H + |
y |
|
|
|
|
|
|
θ |
|
θ |
E+ |
z′ |
|
z |
|
|
|
Рис. 7.9. Выбор направлений векторов E и H падающей, отраженной и преломленной волн при наклонном падении горизонтально поляризованной волны
Переходя к основным координатам (x, y, z) и учитывая, что x′ совпадает с x, запишем поле падающей волны при значениях
направляющих |
|
|
косинусов |
l = cos π 2 = 0, |
m = cos(π 2 −ϕ) = sin ϕ, |
||||||||||||||
n = cos ϕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
= А(y cos ϕ− z |
|
sin ϕ)e |
− jk (ysin ϕ+z cos ϕ) |
|
|
|||||||
H |
|
|
|
||||||||||||||||
m |
0 |
1 |
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.22) |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
− jk1 |
(ysin ϕ+z cos ϕ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= АZ1x0e |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Напряженность магнитного поля отраженной волны |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
= B(y cos α − z |
|
sin α)e− jk1(ysin α−z cos α). |
(7.23) |
||||||||||
|
|
H |
0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем в (7.23) замену углов в соответствии с рис. 7.9:
α = π−ϕ′;
cos α = cos(π−ϕ′)= −cos ϕ′; sin α = sin (π −ϕ′)= sin ϕ′.
В результате получим:
|
|
|
|
− |
|
− jk1(ysin ϕ′−z cos ϕ′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Hm = B(y0 cos ϕ′− z0 sin ϕ′)e |
|
; |
(7.24) |
|||||
|
|
|
− |
= BZ x e− jk1(ysin ϕ′−z cos ϕ′). |
|
|
||
|
E |
|
|
|
||||
|
|
m |
1 0 |
|
|
|
171
Аналогично действуя для преломленных волн, получим:
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− jk2 (ysin θ+z cos θ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Hm = C (y0 cos θ− z0 sin θ)e |
|
; |
(7.25) |
|||||||
|
|
|
+ |
= CZ |
|
e− jk2 (ysin θ+z cos θ) . |
|
|
||
|
E |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
Ввиду того что граничные условия нужно выполнять вдоль всей оси y, все три волны — падающая, отраженная и преломленная — должны иметь одинаковую зависимость от координаты у. Следовательно, коэффициенты при y должны быть равны:
|
|
k1 sin ϕ = k1 sin α α = ϕ; |
|
|
|
|||||
|
|
k sin ϕ = k |
2 |
sin θ sin θ = |
k2 |
sin ϕ. |
(7.26) |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
k1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда вытекают известные законы Снеллиуса: |
|
|||||||||
1) угол отражения равен углу падения — |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α = ϕ; |
|
|
(7.27) |
2) |
углы падения и преломления связаны зависимостью |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
sin θ = n12 sin ϕ, |
|
|
(7.28) |
|
где n |
= k2 = |
ε2μ2 |
= |
n1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
k1 |
ε1μ1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения коэффициентов отражения и прохождения проведем так называемое сшивание решений для полей в первой среде и во второй среде на границе раздела. Поле в первой среде представляет сумму полей падающей (7.22) и отраженной (7.24) волн. Поле во второй среде — это поле преломленной волны (7.25). На границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляющие векторов E и H непрерывны, т.е.
E1τ = E2τ ; |
|
z = 0 . |
(7.29) |
|
|||
H1τ = H2τ ; |
|
||
|
|
|
С учетом выражений (7.27), (7.28) формулы (7.22), (7.24) и (7.25) можно переписать. Для падающей волны:
172
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= A(y0 cos ϕ− z0 sin ϕ)e |
− jk1(ysin ϕ+z cos ϕ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Hт |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= AZ x e− jk1(ysin ϕ+z cos ϕ). |
|
||||||||
|
|
|
E |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
1 0 |
|
|
|
|
|
|||||
Для отраженной волны: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
= B(−y cos ϕ− z |
|
sin ϕ)e− jk1(ysin ϕ−z cos ϕ) ; |
||||||||||
H |
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− = BZ x e− jk1(ysin ϕ−z cos ϕ). |
|
|
|
|||||||||
|
E |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
1 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
Для преломленной волны: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− jk2 (ysin θ+z cos θ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Hm = C (y0 cos θ− z0 sin θ)e |
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
= CZ |
x e− jk2 (ysin θ+z cos θ). |
|
||||||
|
|
|
E |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
2 0 |
|
|
|
|
|
Поле в первой среде:
Ет(1) = Ет0 + Ет−;
Нт(1) = Нт0 + Нт−.
(7.30)
(7.31)
(7.32)
(7.33)
Поле во второй среде:
|
|
|
|
|
(2) |
= |
|
|
+; |
|
|
|
|||
|
|
Е |
Е |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
т |
|
|
(7.34) |
|||||
|
|
|
|
|
|
т(2) = Н |
т+. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Н |
|
|
|
||||||||||
Тангенциальные составляющие векторов можно выразить через |
|||||||||||||||
их проекции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е(1) |
= Е0 |
+ Е−; |
Нτ(1) |
= Ну0 + Еу−; |
|
||||||||||
τ |
х |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е(2) |
= Е+; |
Н(2) |
= Н+. |
|
|||||||||||
τ |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
у |
|
||
При z = 0 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A − B = C |
cos θ |
; |
(7.35) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ |
|
|||||
|
|
A − B = C |
Z2 |
. |
|
(7.36) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
173
Определим коэффициенты отражения ρг и прохождения τг как
отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде падающей волны на границе раздела сред:
|
|
|
|
|
Е− |
(z = 0) |
|
|
B |
|
||
ρ |
г |
= |
|
т |
|
|
= |
|
|
|
; |
|
Em0 (z = 0) |
|
A |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(7.37) |
|||||
|
|
|
|
|
Е+ |
(z = 0) |
|
C |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
τ |
г |
= |
|
т |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
Em0 (z = 0) |
|
A |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Подставив (7.37) в (7.35), (7.36), получим систему
|
|
Z |
cos θ |
|
|
1 |
−ρг = τг |
1 |
|
; |
|
Z2 |
cos ϕ |
||||
|
|
(7.38) |
|||
|
+ρг = τг . |
|
|
||
1 |
|
|
Отсюда следуют формулы Френеля для горизонтально поляризованной волны:
ρ |
г |
= |
|
Z2 cos ϕ− Z1 cos θ |
; |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
Z |
2 |
cos ϕ+ Z cos θ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
(7.39) |
||
|
|
|
|
|
|
|
2Z2 cos ϕ |
||
τг |
= |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
. |
|||||
Z |
2 |
cos ϕ+ Z cos θ |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
7.5. Формулы Френеля для вертикально поляризованных волн
Вывод требуемых формул аналогичен предыдущему (рис. 7.10), поэтому без подробного обсуждения приведем значения комплексных амплитуд.
Для падающей волны:
|
|
|
|
0 |
− jk1 |
(ysin ϕ+z cos ϕ) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Hm = Ax0e |
|
|
|
|
|
(7.40) |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
− jk |
(ysin ϕ+z cos ϕ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
Em = AZ1 (y0 cos ϕ+ z0 sin ϕ)e |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
. |
|
174
Для отраженной волны:
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− jk1 |
(ysin ϕ−z cos ϕ) |
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Hт = Bx0e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.41) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
(y cos ϕ+ z |
|
|
sin ϕ)e |
− jk |
(ysin ϕ−z cos ϕ) |
|
||||||||
|
|
E |
|
= BZ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
т |
|
|
0 |
1 |
|
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для преломленной волны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
= Cx0e |
− jk2 (ysin θ+z cos θ) |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Hm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.42) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
= CZ |
|
(−y |
cos θ+ z |
|
|
sin θ)e− jk2 |
(ysin θ+z cos θ) |
|
||||||||||||
|
E |
2 |
0 |
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H 0 |
H − |
ϕ |
ϕ |
ϕ |
ϕ |
E 0 |
E − |
o |
y |
θ |
H + |
|
|
||
z |
θ |
|
E + |
||
|
Рис. 7.10 Выбор направлений векторов E и H падающей, отраженной и преломленной волн
при наклонном падении вертикально поляризованной волны
Воспользуемся граничными условиями (7.29) и получим систему уравнений
A − B = C |
Z2 |
cos θ |
; |
|
Z1 |
cos ϕ |
|||
|
(7.43) |
|||
A + B = C. |
|
|
Введем коэффициенты отражения ρв и прохождения τв:
ρ |
в |
= |
Нm− |
(z = 0) |
= |
B |
; |
|
Нm0 |
(z = 0) |
A |
||||||
|
|
|
|
τ |
в |
= |
Нт+ (z = 0) |
= |
C . |
|
Нm0 (z = 0) |
||||||
|
|
|
A |
175
Подставив их в (7.43), получим формулы Френеля для вертикально поляризованной волны:
τв = |
2Z1 cos ϕ |
; |
||
Z cos ϕ+ Z |
2 |
cos θ |
||
|
1 |
|
(7.44) |
|
|
|
|
|
ρв = − Z2 cos θ− Z1 cos ϕ. Z1 cos ϕ+ Z2 cos θ
7.6. Полное отражение от границы двух диэлектриков
Предположим, что электромагнитная волна падает из более плотной в оптическом отношении диэлектрической среды на границу с менее плотной, т.е. имеет место неравенство
n1 > n2 . |
|
|
|
|
Из второго закона Снеллиуса |
sin θ = |
n1 |
sin ϕ следует, что |
|
n |
||||
|
|
|
||
|
2 |
|
θ > ϕ. Если угол ϕ увеличивать, то при некотором угле, называемом критическим, — ϕкр, угол преломления θ окажется равным π2 , то есть волна начинает распространяться вдоль границы раздела. Это явление полного внутреннего отражения:
|
|
|
ϕ = arcsin n2 . |
|
(7.45) |
|
|
|
|
кр |
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем волновую природу этого явления. При ϕ > ϕкр ве- |
||||||
личина cos θ мнимая, так как |
|
|
|
|||
cos θ = |
1−sin2 θ = 1 −(n |
n |
)2 sin2 ϕ |
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
и при ϕ > ϕкр величина |
|
n1 |
sin ϕ >1. |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Из формул Френеля для коэффициентов отражения следует:
176