Электродинамика и распространение радиоволн
..pdfра (6.4). В кристалле кубической симметрии диагональные элементы тензора равны друг другу, остальные обращаются в нуль. Поэтому в отношении своих оптических свойств кубические кристаллы вообще не отличаются от изотропных тел.
Итак, для кубических кристаллов
|
ε |
0 |
0 |
|
|
|
|
εˆ = |
|
0 |
ε |
0 |
|
. |
(6.8) |
|
|
||||||
|
|
0 |
0 |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В одноосных кристаллах |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
ε2 |
0 |
|
(6.9) |
||
εˆ = |
0 |
. |
|||||
|
0 |
0 |
ε2 |
|
|
||
|
|
|
И наконец, в двухосных кристаллах
|
ε |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
ε2 |
0 |
|
(6.10) |
εˆ = |
0 |
. |
|||
|
0 |
0 |
ε3 |
|
|
|
|
|
Более подробно рассмотрим распространение электромагнитных волн в одноосных кристаллах.
6.2.2. Электромагнитные волны в одноосных кристаллах
Рассмотрим немагнитный одноосный кристалл, например исландский шпат. Именно он чаще всего используется в оптических экспериментах.
Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд имеют вид
rot Hm = jωεˆ Em ,
(6.11)
rot Em = − jωμ0 Hm.
131
Заменим векторные уравнения скалярными, при этом будем полагать, что плоская электромагнитная волна распространяется
вдоль оси z, т.е. в соотношениях (6.11) положим ∂∂x = ∂∂y = 0 :
∂Hm y |
|
= − jωε E |
|
; |
|
∂Em y |
= jωμ |
H |
|
|
; |
|
|
||||
|
|
mх |
|
|
mх |
|
|
||||||||||
|
∂z |
1 |
|
|
∂z |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.12) |
|||
|
∂Hm x |
|
|
|
|
∂Em x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= jωε |
E |
|
; |
= − jωμ |
|
H |
mу |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂z |
2 |
mу |
|
|
∂z |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть
Em = (x0 Emx − y0 Emy )e− jkz ;
(6.13)
Hm = (x0 Hmx + y0 Hmy )e− jkz .
Подставим значения проекций из (6.13) в (6.12). Получим новую систему уравнений:
k H |
my |
= ωε E |
; |
|
|
k E |
|
= −ωμ |
0 |
H |
mx |
; |
|
|||||
|
|
1 mx |
|
|
|
|
0 y |
|
|
|
|
|
(6.14) |
|||||
k Hmx = −ωε2 Emy ; |
k E0x = ωμ0 Hmy . |
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = − ωμ0 |
H |
0x |
; E = ωμ0 |
H |
0 y |
. |
|
|
||||||||||
|
my |
k |
|
|
mx |
k |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Этот результат подставляем в (6.14) и после сокращений полу- |
||||||||||||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
= ω2ε μ |
0 |
; |
k 2 |
= ω2ε |
μ |
0 |
. |
|
|
|
|
(6.15) |
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Это дисперсионные соотношения, устанавливающие связь волнового числа с частотой и макроскопическими параметрами среды:
k1 = ω ε1μ0 , |
|
k2 = ω ε2μ0 . |
(6.16) |
|||||
Из (6.16) находим два разных значения фазовой скорости: |
|
|||||||
ϑ |
= |
ω |
, |
ϑ |
ω |
. |
(6.17) |
|
k |
|
|||||||
ф1 |
|
|
ф2 k |
2 |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
132
Если вдоль оси z одноосного кристалла распространяется плоская электромагнитная волна произвольной линейной поляризации, то она разлагается на две волны, имеющие ортогональные линейные поляризации и различные фазовые скорости ϑф1 , ϑф2 .
Это приводит, во-первых, к эффекту двойного лучепреломления, так как разные скорости соответствуют разным углам преломления (рис. 6.1); во-вторых, к изменению вида поляризации. Действительно, если векторы напряженности полей с линейной поляризацией имеют вид
ϑф1ϑф2
Рис. 6.1. Разложение плоской волны на две волны, имеющие различные фазовые скорости
E1 = x0 E0 cos(ωt − k1z), E2 = y0 E0 cos(ωt − k2 z),
то фазовый сдвиг между этими волнами определяет вид поляриза-
ции (рис. 6.2).
x |
z = 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
z = (2n −1)π |
||
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ex |
|
|
|
|
z = |
|
|
|
2(k1 −k2 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
α |
|
|
|
|
k1 |
−k2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
o |
|
|
|
y |
o |
|
|
|
y |
o |
|
y |
Ey |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г
Рис. 6.2. Поляризационная структура поля в различных плоскостях вдоль оси z
При ϕ = (k1 − k2 )z = nπ поляризация линейная.
133
При |
Δϕ = (k |
− k |
2 |
)z = (2n −1)π |
имеем эллиптическую поляри- |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
зацию.
Если начальный угол α = 45° (z = 0, рис. 6.2,а), то поляризация круговая, так как в этом случае проекции вектора напряженности электрического поля на оси x и y равны. На рис. 6.2,б и 6.2,в показаны виды поляризации в различных плоскостях вдоль оси z: рис. 6.2,б — поляризация линейная; рис 6.2,в — поляризация эллиптическая. Рис. 6.2,г иллюстрирует постепенный переход от поляризации линейной к эллиптической и вновь к линейной.
Заметим, что если бы волна распространялась вдоль оси x, эффект двойного лучепреломления и изменение вида поляризации не наблюдались бы. Это направление называется оптической осью кристалла.
6.3. Электромагнитные волны в гиротропных средах
6.3.1. Общие свойства феррита
Ферритами называют особую группу веществ, которые одновременно обладают магнитными свойствами ферромагнетиков и электрическими свойствами диэлектриков (ε = 5−20). В отличие от ферромагнитных металлов, ферриты имеют весьма малую удельную проводимость (σ =10−4 −10−6 См / м), и электромагнитные волны распространяются в них с небольшим затуханием. Совокупность целого ряда ценных свойств обусловливает широкое применение ферритов в радиотехнике.
В ненамагниченном состоянии феррит, как и любой другой ферромагнетик, представляет собой конгломерат большого числа областей, магнитные моменты которых ориентированы в различных направлениях. Под воздействием переменного электромагнитного поля магнитные моменты этих областей отклоняются от первоначального положения в направлении вектора H . В результате этого появляется суммарный магнитный момент единицы объема
134
(т.е. вектор магнитной поляризации), совпадающий по направлению с вектором напряженности внешнего поля. Так как магнитная восприимчивость и связанная с ней магнитная проницаемость (см. п. 1.1.3) являются скалярными величинами, свойства ненамагниченного феррита для переменных полей любого направления оказываются одинаковыми и распространение электромагнитных волн в нем происходит точно так же, как и в любой другой изотропной среде.
6.3.2. Феррит в постоянном магнитном поле
Под действием постоянного магнитного поля феррит приобретает анизотропные свойства. Его магнитная проницаемость для переменных электромагнитных полей становится тензорной величиной. В связи с этим рассмотрим процессы в намагниченном феррите.
Как известно, электроны в атомах любого вещества обладают так называемым орбитальным и собственным (спиновым) магнитными моментами. Установлено, что свойства ферромагнитных веществ связаны главным образом со спиновым магнитным моментом. На этом основании упрощенную модель атома с некомпен-
сированным электронным спином можно представить в |
виде |
||||
|
|
|
|
|
|
«волчка», обладающего спиновым магнитным моментом M |
|
s |
и соб- |
||
ственным механическим моментом количества движения |
|
|
(появ- |
||
Ls |
ление которого объясняется вращением массы электрона вокруг собственной оси). Как показывает теория, моменты Ms и Ls имеют
противоположные направления (рис. 6.3) и связаны между собой гиромагнитным отношением γ:
|
|
|
|
|
|
M |
s = −γLs . |
(6.18) |
Для спина электрона γ = 2,21 105 (А/м с)–1.
Знак минус указывает на то, что механический и магнитный моменты антипараллельны из-за отрицательного заряда электрона.
135
Рассмотрим поведение магнитного момента под действием постоянного магнитного поля.
z
|
|
|
|
H |
|
M s |
|
|
|||
|
|
|
|||
|
M sz |
|
M sy |
||
|
|
|
|
y
M sx |
|
ϕ |
x |
|
M syx |
|
||
Ls |
Рис. 6.3. К определению прецессии магнитного момента атома феррита в постоянном магнитном поле
|
|
Пусть |
на электрон действует |
|
|
магнитное |
постоянное поле |
|||||||||||||||||||||
|
|
= z0 H0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
H |
(см. рис. 6.3). Под его действием электрон приобретает |
|||||||||||||||||||||||||||
вращающий момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(6.19) |
||
|
|
|
|
|
T |
|
= M |
s |
, H |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
dL |
s |
. |
|
|
|
(6.20) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Подставляя в формулу (6.19) |
|
|
|
|
|
|
|
из (6.20), с учетом равенства |
||||||||||||||||||
|
|
|
T |
|
|
|||||||||||||||||||||||
(6.18) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
dM |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= −γ M |
s |
, H |
0 |
. |
(6.21) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть Ms — произвольно ориентированный вектор (см.
рис. 6.3):
|
|
s = x0M s x + y0M s y + z0M s z . |
|
M |
(6.22) |
136
Тогда уравнение (6.21) можно заменить тремя скалярными:
dM |
sx |
|
+(γH0 )2 |
Msγ = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
dt |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
dMs y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−(γH0 ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Msγ = 0; |
(6.23) |
||
dt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
dMsz |
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совместное решение первых двух уравнений дает
Ms x = Ms xy cos(γH0 )t;
(6.24)
Ms y = Ms xy sin (γH0 )t,
где Ms xy = M 2s x + M 2s y .
Так как тангенс угла ϕ между осью x и проекцией Мsxy равен
tg ϕ = Ms y = tg γH0t , то ϕ =γH0t.
Ms x
Из этих рассуждений следует, что вектор Ms вращается относительно оси z с угловой частотой
ωm = γ H0 , |
(6.25) |
которая называется частотой гиромагнитного резонанса.
Таким образом, векторы магнитных моментов атомов начинают прецессировать вокруг оси z с угловой частотой ωm . Если бы не
было затухания, прецессия магнитного момента продолжалась бесконечно долго. За счет тепловых потерь конец вектора движется по
спирали и через очень короткое время (t ≈10−8 с), называемое временем релаксации, все магнитные моменты выстраиваются вдоль поля. (Напомним, что прецессия — вращательное движение конца вектора при закрепленном другом его конце.)
Физическая причина прецессии заключается в том, что на электрон действует одновременно магнитный вращательный момент
137
Ms , H , связанный с магнитным полем, и механический враща-
тельный момент dLdts , с полем не связанный. Другими словами, со
стороны магнитного поля действуют вращающие силы, а механические силы стремятся сохранить прежнее положение электрона и его магнитного момента.
6.3.3. Намагниченный феррит в переменном магнитном поле
Рассмотрим теперь явления, которые возникают при одновременном воздействии на атом постоянного магнитного поля H0 = z0 H0 и не совпадающего с ним по направлению переменного
магнитного поля H = Hm cos ωt (рис. 6.4).
|
|
|
|
|
|
|
z |
ωM |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
ωM |
|
|
|
z |
ωM |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
||
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
H |
|
|
|
M |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
s |
|
|
H |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H = α |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
o |
τ |
y τ |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
o |
|
y |
|||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
a |
|
|
x |
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
в |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.4. К определению прецессии магнитного момента атома феррита при одновременном воздействии постоянного и переменного магнитных полей
Для упрощения предположим, что вектор H направлен вдоль оси ox, а круговая частота ω ≈ ωм . Момент вращения, созданный
переменным полем, определяется формулой
|
|
|
|
|
|
(6.26) |
τ = M |
|
, H . |
||||
s |
|
|
|
|
138
Пусть в начальный момент времени вектор M s лежит в плос-
кости xoz, а вектор напряженности переменного магнитного поля направлен вдоль оси ox и имеет максимальную величину. Как вытекает из формул (6.19), (6.26) и рис. 6.4,а, при t = 0 момент вращения τ направлен противоположно моменту T и стремится увеличить угол прецессии α.
Через время, равное половине периода Tт = 2πωт , магнитный
момент повернется на угол π, а вектор H будет вновь иметь максимальную величину, но противоположную ориентацию. Из
рис. 6.4,б следует, что и в момент t = T2т вектор τ будет стремиться
увеличить угол прецессии.
В моменты времени t = Tт4 и t = 3Tт4 , когда вектор Ms ле-
жит в плоскости yoz, напряженность переменного магнитного поля равна нулю и оно на угол прецессии влияния не оказывает.
Таким образом, при одновременном воздействии несовпадающих по направлению постоянного и переменного магнитных полей магнитный момент атома феррита будет прецессировать относительно направления H0 , описывая своим концом эллипс
(рис. 6.4,в). Вектор магнитной поляризации (т.е. магнитный момент единицы объема феррита), а значит, и вектор магнитной индукции не будут совпадать по направлению с вектором напряженности переменного магнитного поля.
Повторяя рассуждения, позволившие получить соотношение (6.21), нетрудно убедиться в том, что уравнение движения магнитного момента атома в случае одновременного воздействия переменного и постоянного магнитных полей будет иметь вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dM |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= −γ M |
|
s |
, H |
, |
(6.27) |
||||||
|
|
|
|||||||||
dt |
|
|
|
|
Σ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где результирующее поле HΣ = H0 + H .
Намагниченная ферритовая среда представляет собой совокупность одинаково вращающихся магнитных моментов. Поэтому, умножая обе части уравнения (6.27) на число атомов в единице
139
объема, мы получим уравнение движения суммарного магнитного момента единицы объема
|
|
|
|
|
|
|
|
dM |
|
|
|
|
, |
(6.28) |
|
= −γ M |
, H |
||||||
dt |
|
Σ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
где М — магнитный момент единицы объема или вектор магнитной поляризации (намагниченности, см. п.1.1.3).
Если векторы H и H0 параллельны, то переменное магнитное
поле не будет влиять на общую картину ориентации магнитных моментов, установившихся по направлению постоянного магнитного поля. Векторы магнитной поляризации и магнитной индукции, в отличие от предыдущего случая, будут параллельны вектору напряженности поля. Отсюда следует вывод о том, что свойства намагниченной постоянным полем ферритовой среды оказываются разными для переменных полей различного направления.
Чтобы найти магнитную проницаемость феррита, необходимо установить связь между напряженностью магнитного поля и магнитной индукцией. Это можно сделать с помощью уравнения
(6.28). |
|
|
||
|
|
Пусть |
на феррит наряду с |
постоянным магнитным полем |
|
|
0 = z0 H0 |
|
|
H |
действует переменное |
поле с произвольно ориентиро- |
ванным вектором напряженности H = Hme jωt . Результирующее поле выражается векторной суммой
|
|
|
|
me jωt , |
(6.29) |
H |
Σ = z0 H0 + H |
а уравнение для вектора магнитной поляризации согласно (6.28) принимает вид
|
|
|
,(z0 H0 |
|
|
me jωt ) . |
|
dM |
= −γ M |
|
|
(6.30) |
|||
+ H |
|||||||
dt |
|
|
|
|
|
Допустим, что феррит намагничен постоянным магнитным полем до насыщения, т.е. магнитные моменты всех атомов параллельны между собой и направлены вдоль поля H0 . Следовательно,
в отсутствие переменного поля вектор магнитной поляризации М будет направлен так же, как и вектор H0 :
140