Электродинамика и распространение радиоволн
..pdf5.Плоские электромагнитные волны в изотропных неограниченных средах
5.1. Волновой характер электромагнитного поля
Перед изучением электромагнитных волн обсудим содержание понятий «волна», «волновой процесс», получивших широкое распространение в физике и технике. Прообразом здесь служат всем известные волны, возникающие на поверхности воды. Существенно то, что при движении, распространении всякой волны среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате чего происходит передача энергии в пространстве.
Таким образом, электромагнитное поле, возникшее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Волновой характер распространения описывается уравнениями Гельмгольца:
2 |
|
+ k2 |
|
= 0, 2 H |
+ k2 H |
= 0. |
(5.1) |
E |
E |
Важной характеристикой волнового процесса является вид фронта волны. Фронт волны — это поверхность равных фаз. Он может иметь различную форму. Например, если источник волны точечный, то ее фронт представляет сферическую поверхность и волна называется сферической.
5.2. Плоские волны в средах без потерь
Плоская волна — это волна, фронт которой представляет собой плоскость. Рассмотрим, в каком случае может возникнуть плоская волна.
Предположим, что в точке О находится точечный источник (рис. 5.1). Плоскость Р перпендикулярна оси Oz, точки М1, М2 лежат в плоскости Р. Предположим, что источник О так далеко от плоскости Р, что ОМ1 ОМ2. Это означает, что все точки в
111
плоскости Р равноправны. То есть при перемещении в плоскости Р не происходит изменение состояния процесса.
|
|
x |
|
O |
|
M1 |
|
|
M |
z |
|
|
|
M |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
Рис. 5.1. Распространение плоской волны
Так как состояние процесса во всех точках плоскости одинаково, то эту плоскость можно назвать фронтом волны. В этой плоскости при перемещении в перпендикулярном оси z направлении не происходит никаких изменений. Математически это означает следующее:
∂ |
= |
∂ |
= 0. |
(5.2) |
|
∂x |
∂y |
||||
|
|
|
Такое приближение называется приближением плоской волны. В этом случае трехмерные уравнения (5.1) преобразуются в одномерные уравнения:
d 2 Em + k2 Em = 0; dz2
(5.3)
d 2 Hm + k2 Hm = 0. dz2
Решение подобного рода волновых уравнений хорошо известно и имеет вид
E = e0 (Ae j(ωt−kz) + Be j(ωt+kz));
H = h0 (Ce j(ωt−kz) + De j(ωt+kz)).
112
В этих уравнениях e0 , h0 — орты, показывающие направление
векторов электрического и магнитного полей соответственно; A, B, C и D — вещественные константы. Переходя от комплексных векторов к их реальным частям, получим:
E = Re E = e0 (Acos(ωt − kz) + B cos(ωt + kz));
(5.4)
H = Re H = h0 (C cos(ωt − kz) + D cos(ωt + kz)).
Исследуем решения (5.4). Рассмотрим первое слагаемое в первом уравнении (5.4).
Обратим внимание на то, что мы получили решение, описывающее волновой процесс. На рис. 5.2 показано распределение амплитуд электрического поля в моментывремениt и t + t .
E А
t
z |
z |
B
t + t
z1 |
z |
z |
|
Рис. 5.2. Распределение в пространстве амплитуд электрического поля в различные моментывремени
Точки А и В соответствуют максимумам амплитуды поля. Положение максимума сместилось за время t на расстояние z . Следова-
тельно, Acos(ωt − kz) = Acos(ωt + ωΔt − kz − k z).
Равенство значений функций обеспечивается равенством аргументов: ωΔt = k z.
113
Отношение z = |
ω = ϑ |
называется фазовой скоростью и пока- |
|
t |
k |
ф |
|
|
|
зывает скорость распространения волнового фронта электромагнитной волны.
Для вакуума фазовая скорость
ϑ = |
ω |
= |
1 |
. |
ω ε0μ0 |
|
|||
ф |
|
ε0μ0 |
Подставив значения констант, получим:
0 |
|
|
1 |
|
8 м |
|
|
ϑ = |
|
|
|
= 3 |
10 |
|
. |
|
|
|
|
||||
ф |
1 |
10−9 4π 10−7 |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что в вакууме скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света.
Второе слагаемое в первом уравнении (5.4) является вторым частным решением и дает отрицательное значение скорости. Оно соответствует волне, распространяющейся к источнику.
Определим расстояние λ между точками поля с фазами, отличающимися на 360 градусов. Это расстояние называется длиной волны. Так как амплитуда волны на расстоянии длины волны и с изменением фазы на 360 градусов не изменяется, можем записать
cos(ωt − kz) = cos(ωt − k(z + λ) + 2π).
Отсюда
λ = |
2π |
= |
2π |
= |
ϑф |
. |
(5.5) |
|
k |
ω εμ |
f |
||||||
|
|
|
|
|
Длина волны в вакууме
λ0 = |
с |
, |
(5.6) |
|
f |
||||
|
|
|
где c — скорость электромагнитной волны в вакууме (скорость света).
114
Фазовая скорость в остальных средах ϑ = |
c |
|
и соответст- |
||
|
|
||||
|
|
ф |
εr |
μr |
|
|
|
|
|||
венно длина волны λ = |
λ0 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
εr μr |
|
|
|
Как следует из формулы для фазовой скорости, она не зависит от частоты, значит, вакуум — среда не дисперсионная.
Установим связь между направлениями векторов электрического и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла:
rot H = jωεE;
(5.7)
rot E = − jωμH.
Заменяем векторные уравнения скалярными, т.е. приравниваем проекции векторов в (5.7):
∂∂Hyz − ∂∂Hzy = jωεEx ; ∂∂Hzx − ∂∂Hxz = jωεEy ; ∂∂Hxy − ∂∂Hyx = jωεEz ;
Учтем в системе (5.8), что
∂∂x = ∂∂y = 0,
тогда
kH y = ωεEx ;
kHx = −ωεEy ;
Ez = 0;
∂E |
z |
|
|
− |
|
∂Ey |
|
= − jωμHx ; |
|
||
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂Ex |
|
|
− |
|
∂Ez |
|
|
= − jωμH y ; |
(5.8) |
||
∂z |
|
∂x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂Ey |
|
|
− |
|
∂E |
x |
= − jωμHz . |
|
|||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂∂z → − jk ,
kEy = −ωμHx ; |
|
kEx = ωμH y ; |
(5.9) |
Hz = 0. |
|
Из выражений (5.9) видно, что у плоских волн нет продольных составляющих, так как Ez , Hz = 0 .
115
Составим скалярное произведение (E, H ), выразив Еx и Еy из соотношений (5.9):
|
|
|
|
Ex = |
k |
H y ; Ey = − |
k |
Hx ; |
|
|
|||
ωε |
ωε |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
|
|
|
)= (Ex Hx + Ey H y )= |
k |
Hx H y − |
k |
Hx H y = 0. |
|||||
E |
, H |
||||||||||||
ωε |
ωε |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как скалярное произведение векторов равно нулю, векторы E и H в плоской волне перпендикулярны друг другу. Поскольку у них нет продольных составляющих, то E и H перпендикулярны направлению распространения волны. Найдем отношение амплитуд векторов электрического и магнитного полей.
Будем предполагать, что вектор E направлен вдоль оси x. Со-
ответственно Ey = 0, |
Hx = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Из (5.9) следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
= |
|
k |
H y |
; H y = |
k |
Ex. |
||||
|
|
|
ωμ |
|||||||||
|
|
|
ωε |
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
= |
|
k |
|
= Zв, |
(5.10) |
||
|
|
|
|
|
|
ωε |
||||||
|
|
|
|
H y |
|
|
|
|
||||
где Zв — волновое сопротивление среды с макроскопическими па- |
||||||||||||
раметрами ε и μ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина Z0 = |
μ0 |
называется |
волновым сопротивлением ва- |
|||||||||
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
куума. Оно равно 377 Ом. С большой степенью точности эту величину можно считать волновым сопротивлением сухого воздуха.
На основе анализа решения волновых уравнений можно сделать следующие выводы.
1. В вакууме плоские волны распространяются со скоростью света, в остальных диэлектрических средах их скорость меньше в
εr μr раз.
116
2.Векторы электрического и магнитного полей не имеют продольных составляющих и перпендикулярны друг другу.
3.Отношение амплитуд электрического и магнитного полей равно волновому сопротивлению среды, в которой происходит распространение электромагнитных волн.
5.3.Поляризация
электромагнитных волн
Если в любой момент времени в любой точке пространства можно определить положение векторов E и H , то говорят, что излучение поляризованное. Рассмотренная выше плоская волна — линейно поляризованная. Плоскость, проходящая через вектор E и направление распространения, называется плоскостью поляризации. Линейная поляризация не единственно возможная.
Рассмотрим другие виды поляризации в режиме гармонических колебаний. Будем считать, что существуют одновременно две волны одной частоты. Векторы напряженности электрического поля у них взаимно перпендикулярны. Волновые процессы имеют произвольный фазовый сдвиг:
|
|
|
|
|
(5.11) |
E1 = x0 E01 cos(ωt − kz); |
|||||
|
|
2 = y0 E02 cos(ωt − kz −ϕ). |
(5.12) |
||
E |
Общее поле определяется суперпозицией заданных полей. В плоскости z = 0 :
|
|
|
|
|
(5.13) |
E1 = x0 E01 cos(ωt); |
|||||
|
|
2 = y0 E02 cos(ωt −ϕ). |
(5.14) |
||
E |
Векторы каждого из полей имеют только по одной проекции:
|
|
|
|
|
(5.15) |
E1 = x0 Ex ; |
|||||
|
|
2 = y0 Ey . |
(5.16) |
||
E |
117
Освободимся от временной зависимости. Для этого из (5.13) с учетом (5.15) получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
= cos ωt ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.17) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
из (5.14) и (5.16) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ey |
|
= cos(ωt −ϕ) = cos ωt cos ϕ+ sin ωt sin ϕ; |
(5.18) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
E |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
далее из (5.19) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey |
− |
E |
x |
cos ϕ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
E |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
ωt = |
02 |
|
01 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(5.19) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Возведем (5.17) и (5.19) в квадрат и сложим: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E |
x |
2 |
|
|
|
|
|
Ey |
2 |
|
|
|
E |
x |
|
2 |
|
|
|
|
E |
x |
|
Ey |
|
|
|||||||||||
|
|
|
sin2 |
ϕ+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
cos2 |
ϕ−2 |
|
|
|
|
|
cos ϕ=sin2 ϕ; |
||||||||||||||||||
E |
|
E |
E |
|
E |
|
|
|
E |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
01 |
|
|
|
|
|
02 |
|
|
01 |
|
|
|
|
01 |
02 |
|
||||||||||||||||||||||
|
E |
x |
2 |
|
|
Ey |
2 |
|
|
E |
x |
|
|
|
Ey |
|
cos ϕ = sin2 ϕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
E |
|
E |
E |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
01 |
|
02 |
|
|
|
01 |
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Мы получили каноническое уравнение эллипса (рис. 5.3). Та- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ким образом, траекторией конца вектора |
|
|
в плоскости z = сonst |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
является эллипс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
2E01
o x
2E02
Рис. 5.3. К определению волны с эллиптической поляризацией
118
Рассмотрим некоторые частные случаи.
|
|
E |
x |
|
|
Ey |
|
|
E |
|
|
|||
1. |
ϕ = 0 : |
|
|
= |
|
|
|
Ex = |
|
01 |
Ey |
— линейная поляризация |
||
|
|
|
E02 |
|
E02 |
|||||||||
(рис. 5.4,а). |
E01 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
E01 |
|
|
|
|
|
||||
2. |
ϕ = π: |
Ex |
= − |
Ey — |
поляризация также линейная |
|||||||||
E02 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 5.4,б).
3. |
ϕ = |
π : E |
= E |
; E2 |
+ E2 |
= E2 |
; |
E |
x |
= E cos ωt . |
|
|
|
2 |
01 |
02 |
x |
y |
01 |
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае
Ey = E02 cos(ωt − π2) = −E01 cos ωt .
Со временем вектор напряженности электрического поля перемещается по часовой стрелке, если смотреть вдоль распространения волны. Это правая эллиптическая поляризация (рис. 5.4,в).
4. ϕ = − π2 . Этот случай соответствует волне с левой эллипти-
ческой поляризацией.
Рис. 5.4. Вектор напряженности электрического поля суммарной волны в плоскости z = 0
Таким образом, чтобы получить волну с круговой поляризацией, исходные волны должны быть ортогонально линейно поляризо-
ваны, иметь одинаковые амплитуды и фазовый сдвиг, равный ± π2 .
Для волны с круговой поляризацией можно записать:
E = E0 (x0 cos ωt ± y0 sin ωt).
119
В комплексной форме
E = E0 (x0 ± jy0 )e j(ωt−kz).
Легко показать, что две волны с круговой поляризацией могут в сумме образовывать волну с линейной поляризацией.
5.4. Плоские электромагнитные волны в поглощающих средах
5.4.1. Затухание электромагнитных волн
Запишем уравнения Максвелла для электромагнитных волн, распространяющихся в поглощающей среде:
rot |
|
= jωε |
|
|
; |
|
|
E |
E |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(5.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot E = jωμH. |
|
В уравнениях (5.20) диэлектрическая и магнитная проницаемости величины комплексные, следовательно, волновое число также комплексная величина:
k = μ ε = k |
′ |
′′ |
(5.21) |
|
− jk . |
Так как имеет место квадратный корень, k′ и k′′ могут иметь различные знаки. В дальнейшем покажем, что выбранные нами знаки соответствуют принципу физической реализуемости.
Запишем:
|
|
|
|
|
|
′ ′′ |
(5.22) |
|
|
|
|
|
|
||
E = E e j(ωt−kz) = E e jωte− jk ze−k z , |
|||||||
0 |
0 |
|
где k′ = 2λπ — постоянная распространения (фазовая постоянная);
k′′ — постоянная затухания.
Плюс перед k′ соответствует волне, распространяющейся от источника, минус перед k′′ отражает затухание волны при увеличении расстояния от источника. Покажем выражение (5.20) графиче-
120