Электродинамика и распространение радиоволн
..pdf∂Emz |
|
− |
|
∂Emy |
|
= − jω(μx Hmx − ja Hmy ); |
|
∂y |
|
|
|
||||
|
|
|
∂z |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
∂Emx |
|
− |
|
∂Emz |
|
= − jω(μx Hmy + ja Hmx ); |
|
|
|
||||||
∂z |
|
|
|
∂x |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
∂Emy |
|
|
|
∂E |
|||
|
|
− |
|
mx |
= − jωμ0 Hmz . |
||
∂x |
|
|
|||||
|
|
|
∂y |
||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Из этой системы сразу следует, что электромагнитная волна носит поперечный характер, так как Emz = 0 и Hmz = 0:
∂Hmy |
|
|
|
∂Emy |
|
|
||
|
= − jωεEmx ; |
|
= jω(μx Hmx − ja Hmy ); |
|
||||
|
|
∂z |
|
|||||
|
∂z |
|
|
(6.60) |
||||
|
∂Hmx |
|
∂Emx |
|
|
|||
|
= jωεEmy ; |
= − jω(ja Hmx −μx Hmy ). |
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
∂z |
|
∂z |
|
|
Запишем проекции Em и Hm для плоской волны (рис. 6.6):
Hmx = Hmxe− jk z ; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hm y = Hm ye |
− jk z |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(6.61) |
||||
|
= E e− jk z = Z |
|
|
|
|
|
||||
E |
x y |
H |
m y |
e− jk z ; |
|
|||||
mx |
mx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
e− jk z |
|
|
|
|
|
|
||
E |
= E |
= Z |
yx |
H |
mx |
e− jk z . |
|
|||
m y |
m y |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (6.61) в (6.60), получим:
kHmy = ωεZxy Hmy ; |
|
|
|
|
|||||||||||
kH |
|
|
= ωεZ |
|
H |
|
|
; |
|
|
|
|
|||
mx |
yx |
mx |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.62) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z yx Hmxk = ω(μx Hmx − jaHmy ); |
|
||||||||||||||
Z |
|
|
H |
|
k = ω(μ |
|
|
H |
|
+ jaH |
|
|
|
||
xy |
my |
x |
my |
mx |
). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
151
Подставляем Z yx = Zxy = |
|
k |
|
в уравнения системы (6.62), вы- |
||||||||
ωε |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ражаем Hmx или Hmy : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(k |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−ω εμx )Hmx = − jω εa Hmy ; |
|
|
(6.63) |
|||||||
( |
k2 −ω2εμ |
x ) |
H |
|
= jω2εa H |
|
. |
|
||||
my |
mx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из второго уравнения (6.63) выражаем Hmx |
и подставляем в |
|||||||||||
первое. В результате получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
k2 − ω2εμx |
= ±ω2εa , |
|
|
|
(6.64) |
||||
откуда волновое число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k1,2 = ω ε0 (μx ± a) . |
|
|
|
(6.65) |
Выражения (6.65) и есть дисперсионные соотношения. Их оказалось два — для k1 и k2 . Сразу видно, что при продольном распро-
странении возникают две волны, характеризующиеся различными постоянными распространения.
x
Em Emx
Hm
Emy |
Hmy |
o |
y |
Рис. 6.6. Продольное распространение электромагнитной волны в намагниченном феррите
Подставим поочередно k1 и k2 в уравнения (6.63). Получим:
Hmy1 = jHmx1 ; Hmy2 = − jHmx2 . |
(6.66) |
152
Причем волновые сопротивления Z1,2 для каждой из волн различны:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1,2 |
= |
|
|
|
μx ± a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом (6.66) из (6.61) получаем для одной волны: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
H |
|
= H |
|
|
|
e− jk1 z ; H |
|
|
|
|
= H |
|
− j k1z−π |
|
|
|
|
||||||||||||
mx1 |
|
|
|
m y1 |
|
e |
|
|
|
2 ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
= Z H |
|
|
− j k1z− |
2 |
|
|
|
|
E |
|
= Z H |
|
|
e− jk1 z . |
|
||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
mx1 |
|
1 |
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m y1 |
|
1 |
m1 |
|
|
|
|
|||||
Для другой волны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− jk2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− j k2 z+ |
π |
|
|
||||||
Hmx2 = Hm2e |
; Hm y2 = Hm2e |
|
|
|
2 |
; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
= Z |
|
|
H |
|
|
− j k2 z+ |
2 |
|
|
|
|
= Z |
|
H |
|
e− jk2 z . |
|||||||||||
|
2 |
m2 |
e |
|
|
|
|
|
; E |
|
2 |
m2 |
|||||||||||||||||
|
mx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m y2 |
|
|
|
|
|
|
Перейдем к реальным частям комплексных векторов:
Hx1 = Hm1 cos(ωt − k1z); |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
y1 |
= H |
m1 |
sin (ωt − k z); |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Ex1 = Z1Hm1 sin (ωt − k1z); |
|
|||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
y1 |
= −Z H |
m1 |
cos(ωt − k z); |
||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
Hx2 = Hm2 cos(ωt − k2 z); |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H y2 = −Hm2 sin (ωt − k2 z); |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex2 = −Z2 Hm2 sin (ωt − k2 z);
Ey2 = −Z2 Hm2 cos(ωt − k2 z).
(6.67)
(6.68)
153
Видно, что плоская линейно поляризованная электромагнитная волна, попадая в намагниченный феррит, может быть разложена на две волны с круговой поляризацией с противоположным направлением вращения векторов. Одну из них описывает система уравне-
ний (6.67), другую — (6.68).
У этих волн будут различны фазовые скорости:
ϑ |
= |
|
ω |
= |
1 |
; |
(6.69) |
||
|
|
||||||||
ф1 |
|
|
k1 |
ε(μx + a) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
ϑ |
= |
ω |
= |
1 |
|
. |
(6.70) |
||
|
|
|
|||||||
ф2 |
|
k2 |
ε(μx − a) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Видим, что феррит — среда дисперсионная, в нем фазовая скорость зависит от частоты, так как μx и a являются функциями час-
тоты.
Рассмотрим случай, когда в феррите существуют обе описанные волны. Пусть Hm1 = Hm2 = Hm . Вычислим напряженность ре-
зультирующего магнитного поля:
|
|
|
|
|
k +k |
2 |
|
|
|
k |
2 |
−k |
|
|
|
|
||||||
Hx =Hmx1 |
+Hmx2 =2Hm cos ωt − |
|
1 |
|
|
z cos |
|
|
|
1 |
|
z |
|
; |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k |
+k |
2 |
|
|
k |
−k |
2 |
|
|
|
(6.71) |
|||||
H y =Hmx2 |
+Hm y2 |
=2Hm cos |
ωt − |
|
1 |
|
|
|
z sin |
|
1 |
|
|
z |
. |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Фазовый |
|
|
|
|
|
Амплитудный |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
множитель |
|
|
|
|
|
множитель |
|
|
|
|
Согласно соотношениям (6.71) проекции вектора Нx и Нy изменяются в фазе. Отсюда следует, что магнитное поле результирующей волны является линейно поляризованным. Его напряженность
H = |
Hx2 + H y2 |
|
ωt − |
k + k |
|
|
= 2Hm cos |
1 |
2 |
z . |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
Угол наклона вектора Н в любой точке оси z (рис. 6.7) определяется из соотношения
154
tg θ = H y = tg k2 − k1 z,
Hx 2
откуда θ = k2 2− k1 z .
Налицо угловая зависимость положения результирующего вектора Н от координаты z. Изменение положения плоскости поляризации при распространении плоской волны в гиротропной среде называется эффектом Фарадея. Величина эффекта определяется как
θ′ = k2 2− k1 .
Электрическое поле суммарной волны, в отличие от магнитного, не будет линейно поляризованным. Из-за различия волновых сопротивлений для волн левого и правого направлений вращения амплитуды напряженности электрического поля этих волн будут различны. Сложение двух волн круговой поляризации с разными амплитудами дает эллиптически поляризованную волну.
x |
H |
H x
θ
o |
|
|
y y |
H |
Рис. 6.7. К расчету угла поворота вектора H при распространении электромагнитной волны в продольно-намагниченном феррите
Величина θ′, характеризующая угол поворота вектора Н на единицу длины пути, называется постоянной Фарадея. Она зависит от свойств феррита, величины подмагничивающего поля и частоты. Среды, в которых проявляется эффект Фарадея, носят название гиротропных (вращающих) сред.
155
При изменении направления постоянного магнитного поля на противоположное изменяется знак компоненты a и постоянной Фарадея. Вращение векторов поля в этом случае будет совершаться против часовой стрелки (рис. 6.8). Поэтому поле в гиротропной среде не подчиняется принципу взаимности.
Из рис. 6.8 видно, что распространение в прямом и обратном направлениях является невзаимным. На этом принципе строятся невзаимные СВЧ-устройства, например ферритовый вентиль. Кроме явления Фарадея, в намагниченном феррите наблюдают явление резонансного поглощения одной из двух волн (с правой поляризацией).
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
H |
0 |
|
|
z |
|
|
|
H |
0 |
|
|
|
θ |
z |
|||
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H |
H |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
θ |
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
||||
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
o |
|
|
y |
o |
|
б |
|
y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.8. К определению направления вращения вектора H при распространении электромагнитной волны
в продольно-намагниченном феррите
Рассмотрим условия резонансного поглощения. Из формулы для волнового числа k1,2 = ω ε0 (μx ± a)
получаем волновое число для волны с левойкруговойполяризацией:
|
|
|
|
|
|
ω ω |
|
|
ω ω |
|
|
|
|
|||
k = ω ε μ |
1 |
− |
|
m 0 |
+ |
0 |
|
= |
|
|
||||||
|
ω2 −ω2 |
ω2 −ω2 |
|
|
||||||||||||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
||||
= ω ε μ |
|
|
− |
ω0 (ωm −ω) |
|
= ω ε μ |
|
1+ |
ω0 |
. |
||||||
0 |
1 |
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ω −ωm |
|
|
|
|
|
|
ω+ ωm |
156
Для волны с правой круговой поляризацией волновое число
k2 |
= ω ε0μ0 |
|
− |
ω0 |
|
1 |
|
. |
|||
ω−ω |
|||||
|
|
|
|
m |
Для волны с правой поляризацией на частоте ω = ωm k → ∞ , ϑф → 0 , следовательно, наблюдается явление продольного
гиромагнитного резонанса. Эта волна распространяться не может. Практически всегда в среде имеются потери, поэтому при резонансе волна правого направления вращения претерпевает сильное поглощение. На выходе феррита в этом случае будет волна с левой круговой поляризацией.
Исходя из принципа перестановочной двойственности можно утверждать, что распространение электромагнитных волн в намагниченной плазме сопровождается теми же явлениями, что и в намагниченном феррите.
Эти эффекты учитываются при исследовании распространения радиоволн в ионосфере.
6.6. Поперечное распространение электромагнитных волн в феррите
Пусть постоянное магнитное поле приложено вдоль оси z, волна распространяется вдоль оси x.
Определим все основные характеристики электромагнитной волны: скорость, волновое сопротивление, поляризацию. Как и ранее, будем рассматривать плоскую волну. Запишем систему уравнений Максвелла для комплексных амплитуд в скалярной форме.
В соответствии с принятым выше приближением плоских волн, распространяющихся вдоль оси x, положим
∂ |
= |
∂ |
= 0 . |
(6.72) |
|
∂y |
∂z |
||||
|
|
|
157
Система уравнений значительно упростится:
∂Hmz |
= − jωεE |
; |
|
||
|
|
|
|||
∂x |
my |
|
|||
|
|
|
|||
∂Emy |
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
= − jωμ0Hmz ; |
|||
∂x |
|||||
|
|
|
|||
Emx = 0; |
|
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Hmy |
= jωεE ; |
|
||
|
|
|
||
|
|
|||
∂x |
mz |
|
||
|
||||
∂Emz |
|
|
|
|
|
= jω(ja Hmx +μx Hmy ); |
|||
∂x |
||||
|
|
|||
μx Hmx = ja Hmy . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.73)
(6.74)
Обратим внимание на то, что системы уравнений (6.73) и (6.74) являются независимыми. В систему (6.73) входят проекции Emx ,
Emy , Hmz , в (6.74) — только Hmx , Hmx , Emz .
Найдем решение этих систем уравнений в виде плоских волн:
Emx = Emxe− jkx ; Emy = Emye− jkx ;
Emz = Emze− jkx ;
H |
mx |
= H |
mx |
e− jkx |
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Hmy = Hmye |
− jkx |
|
|
(6.75) |
||||
|
; |
|||||||
H |
|
= H |
|
e− jkx . |
|
|
||
|
mz |
|
mz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим значения проекций в системы уравнений (6.73) и (6.74):
kH |
mz |
= ωεE |
my |
; |
|
|
|
|
|
||
kEmy = ωμ0 Hmx ; |
(6.76) |
||||
Emx = 0; |
|
|
|
||
|
|
|
158
kHmy = −ωεEmz ; |
|
|
|
|
(6.77) |
kEmz = −ω(jaHmx +μx Hmy ); |
||
μx Hmx = jaHmy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из системы уравнений (6.76) получаем:
kоб2 = ω2εμ0 ; |
|
|
||||
ϑ |
= |
ω |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
||||
об |
|
kоб |
εμ0 |
Эта система описывает обыкновенную волну, то есть волну без дисперсии с нулевой продольной составляющей. Поперечные составляющие в этой волне связаны соотношением
Emy = ωεk Hmz .
Обыкновенная волна линейно поляризована.
По-иному ведет себя волна, описываемая системой (6.77). В отличие от обыкновенной, эта волна имеет продольную составляющую магнитного поля. Как вытекает из третьего уравнения системы (6.77), продольная составляющая Нmx сдвинута по фазе на
π2 относительно поперечной составляющей Нmy .
Следовательно, вектор напряженности магнитного поля вращается в плоскости xoy, описывая своим концом эллипс (рис. 6.9). Подобная волна получила название необыкновенной.
Определим из (6.77) волновое число и фазовую скорость необыкновенной волны:
|
|
|
μ2 |
− a2 |
|
|
|
μ2 |
− a2 − |
1 |
|
k |
|
= ω ε |
; ϑ |
ε |
2 |
(6.78) |
|||||
но |
x |
|
= |
x |
|
. |
|||||
|
|
|
μx |
но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μx |
|
|
Фазовая скорость необыкновенной волны зависит от величины приложенного поля. При μх = 0 необыкновенная волна распростра-
няться не может. В этом случае наблюдается продольный гиромагнитный резонанс.
159
|
|
y |
|
Частота поперечного гиромаг- |
|||
|
|
Hmx |
|
нитного резонанса определяется |
|||
|
|
|
|
|
|
формулой: |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
H |
|
ωп = ωm (ω0 + ωm ). |
|||||
|
|
o Hmy |
|
||||
|
|
x |
При наличии потерь необыкно- |
||||
|
|
0 |
|
венная волна испытывает в окрест- |
|||
H |
|
||||||
z |
|
ностях этой частоты резонансное по- |
|||||
Рис. 6.9. Поляризационная |
глощение. |
||||||
В заключение заметим, что |
|||||||
структура необыкновенной |
распространение электромагнитных |
||||||
волны в поперечно- |
|
волн в намагниченной плазме сопро- |
|||||
намагниченном феррите |
|||||||
вождается теми же эффектами, что и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
в феррите. Поскольку, как уже упоминалось, тензоры магнитной и диэлектрической проницаемостей симметричны, все решения уравнений Максвелла для намагниченной плазмы можно получить исходя из принципа перестановочной двойственности.
Контрольные вопросы
1.В чем состоит явление двойного лучепреломления и как оно объясняется?
2.Как можно с помощью одноосного кристалла преобразовать поляризацию волны из линейной в круговую и обратно?
3.Какие среды называются анизотропными, а какие — гиротропными? Если среда гиротропная, то является ли она анизотропной, и наоборот? Приведите примеры.
4.Что такое спин электрона и как он себя ведет в постоянном магнитном поле? Какую роль при этом играет механический момент движения электрона?
5.Что такое прецессия спина? Почему она оказывает влияние на распространение волн в феррите, если время прецессии так мало? Проведите аналогию с вращением электрона в постоянном магнитном поле.
160