Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

2 1

3. Даны множества:

À = {1, 3, 7}; Â = {1, 2, 5, 7}; Ñ = {1, 2, 4}; I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Найдите элементы множеств, заданных следующими аналитиче- скими выражениями (сначала рекомендуется каждое аналитическое выражение упростить):

à) (ÅÌÀ) Ä I Ç I ë U Ä I Ç I C U Ä I B I ë U Ä I B I C U A I Ç I ë; á) (ÞÊÓ) Ä I Ç I C U Ä I B I C U Ä I B I C U A I B I C U A I B I C;

â) (ÏËÎ)

ÄI ÇICU ÄI BIC U ÄI BICU AI BICU AI BIC U AI BIC;

ã) (ÁÓØ)

ÄI BIC U ÄI BICU AI BIC U AI BICU AI BIC U AI BIC;

ä) (À34) ÄI BICU AI BICU AI BIC U AI BIC.

4. Найдите элементы множества P, åñëè

À = {0, 2, 3, 7, 8}; Â = {1, 3, 6, 7, 9}; Ñ = {0, 1, 4, 7, 8, 9}; I = {0, 1, 2, …, 9}.

1.(ÇÅÐ) P= AIC U AI BU BIC. 10. (256) P= B I C U AI C U A I B.

2.(ÇÀÃ) P= B I C U AI C U A I B. 11. (ÇÀÉ) P= B I C U BI C U A I B.

3.(830) P= BIC U AIC U AI B. 12. (ËÓÐ) P= AICU AIC U BI C.

4.(039) P = B I C U A I CU A I B. 13. (977) P= BIC U AICU AI B.

5.(ÅËÎ) P = B I C U A I CU A I B. 14. (332) P= BIC U AICU AI B.

6.(ÂÎÂ) P = B I C U AI CU A I B. 15. (ÝÃÎ) P= BICU AICU AI B.

7.(ÒÎ×) P = B I C U AI C U A I B. 16. (154) P= BIC U AICU AI B.

8.(537) P = B I C U A I C U A I B. 17. (296) P= BICU AI BU AI B.

9.(ÐÈÔ) P= BI C U AI B U A I C. 18. (ÂÀÍ) P= BIC U AICU AI B.

1.10.Бесконечные множества

Существует два подхода к понятию бесконечности. Основой первого является актуальная бесконечность, второго — потенциальная. В первом случае бесконечность рассматривается как множество, содержащее бесконечно много элементов, но предполагается, что оно задано в готовом, сформированном виде и его можно рассматривать как некоторый объект. Именно так представлял себе бесконечное множество Г. Кантор. Потенциальная же бесконечность рассматривается не как нечто завершенное, а как процесс, у которого нет последнего шага, как процесс непрерывного увеличения числа элементов. Нам при дальнейшем изложении материала вполне достаточно представления о бесконечности как о множестве, число элементов которого больше любого наперед заданного числа.

В подразделе 1.1 сказано, что конечное множество в общем слу- чае может быть задано двумя способами — прямым перечислением

2 2

и описанием свойств его элементов. В случае бесконечных множеств прямое перечисление элементов исключено, поэтому задавать их можно только описанием признаков, характерных для элементов данного множества. Например:

A = {x | x > 1, x — натуральное число,

делящееся только на себя и на единицу}.

Согласно этой записи элементами множества A являются простые числа. Так как их количество не ограничено, то A — бесконеч-

ное множество.

Свойства конечных множеств хорошо согласуются с нашей интуицией и приобретенным опытом. Например, нам кажется совершенно очевидным, что всякое собственное подмножество множества À не является эквивалентным множеству A. В случае сомнений можно поставить «эксперимент» — взять множество À, для каждого его подмножества найти кардинальное число и сравнить его с числом A .

Если не обнаружится ни одного случая равенства сравниваемых кардинальных чисел, то мы получим экспериментальное подтверждение того, что среди подмножеств данного множества A нет ни одного

эквивалентного ему подмножества.

Иное дело, когда мы переходим к бесконечным множествам. Никакого эксперимента здесь поставить не удастся. При изучении бесконечных множеств нашим инструментом могут служить только логически правильные рассуждения, и если результаты этих рассуждений придут в противоречие со здравым смыслом, то нам придется выполнить определенную психологическую работу, принимая истинным то, что интуитивно кажется ложным.

1.11.Сравнение бесконечных множеств

Âслучае сравнения конечных множеств A è B достаточно знать

их кардинальные числа. Если кардинальные числа найти не удается, то можно выяснить, нет ли между элементами множеств A è B âçà-

имно однозначного соответствия. Например, какое множество больше — множество A кресел в зале театра или множество B зрителей

в этом зале? В данном случае нет необходимости находить числа A

èB . Если все кресла заняты, в проходах нет ни одного зрителя

èкаждое кресло занимает лишь один зритель, то ясно, что между множествами A è B существует взаимно однозначное соответствие,

а это доказывает, что A = B , т.е. множества A è B эквивалентны.

Так как понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определить, являются ли заданные множества эквивалентными, то Г. Кантор предложил распространить это понятие и на бесконеч-

2 3

ные множества: если найдется способ показать, что каждому элементу бесконечного множества A соответствует вполне определенный элемент бесконечного множества B и каждому элементу множества B

соответствует вполне определенный элемент бесконечного множества A, то бесконечные множества A è B являются эквивалентными. Если же взаимно однозначное соответствие между элементами множеств A è B не установлено, то нет оснований считать, что эти множества эквивалентны. Например, пусть A — множество всех натуральных чисел, делящихся без остатка на 50, B — множество всех четных

натуральных чисел. Эквивалентны ли эти множества?

Представим множества A è B в виде (напомним, что число 0

не является натуральным):

À = {50, 100, 150, 200, 250, …}; Â = {2, 4, 6, 8, 10, …}.

Из этих записей видно, что множество A составляет часть элементов множества B, т.е. является его подмножеством: A B.

Но с другой стороны, если элементы множеств A è B записать в

порядке возрастания, то эквивалентность множеств устанавливается очень легко, так как между их элементами хорошо просматривается взаимно однозначное соответствие:

Элементу 2 B соответствует элемент 50 A, элементу 4 B соответствует элемент 100 A, элементу 6 B соответствует элемент 150 A и т.д. Следовательно, множества A è B эквивалентны. Говоря

языком конечных множеств, четных натуральных чисел ровно столько же, сколько натуральных чисел, делящихся без остатка на 50. Таким образом, положение «часть меньше целого», справедливое для конечных множеств, в случае бесконечных множеств перестает быть безусловно верным.

Важной характеристикой конечного множества является понятие кардинального числа. Аналогичную характеристику Г. Кантор предложил и для бесконечных множеств, введя понятие мощности множества. Представление о содержании этого понятия можно полу- чить из следующего утверждения. Два бесконечных множества A è B

имеют одну и ту же мощность, если между их элементами существует взаимно однозначное соответствие. Очевидно, что для конечных множеств кардинальное число и мощность — одно и то же.

Рассмотрим три примера.

П р и м е р 1. Являются ли эквивалентными множество A простых чисел и множество B нечетных чисел?

2 4

Запишем в порядке возрастания простые числа и каждому из них поставим в соответствие элемент из множества B следующим об-

разом:

откуда видно, что между элементами множеств A è B существует

взаимно однозначное соответствие и, следовательно, бесконечные множества A è B эквивалентны.

П р и м е р 2. Пусть дано: N = {x | x — натуральное число}; M = {x | x > 8, x — натуральное число}.

Являются ли эти множества эквивалентными?

В множестве M отсутствуют семь элементов, которые есть в множестве N. Остальные числа 8, 9, 10, 11, … являются элементами обоих множеств. Следовательно, M N. Чтобы выяснить, эквивалентны

ли эти множества, запишем их элементы один под другим:

Между элементами хорошо просматривается взаимно однознач- ное соответствие, следовательно, множества A è B равномощны, т.е.

эквивалентны.

П р и м е р 3. Найти элементы множества N I M, ãäå M è N —

множества, указанные в примере 1.

Очевидно, что множество N I M образуют те числа множества N, которые отсутствуют в множестве M, ò.å.

N I M = {1,2,3,4,5,6,7}.

Упражнения

1. Укажите элементы множества A I B, åñëè

(ßØÎ) A = {x | x = 0, 1, 2, 3, 4, …}, B = {x | x = 1, 2, 3, 4, 5, …}; (3ÀÌ) A = {x | x > 28, x — натуральное число}, B = {x | x ≥ 30,

x — натуральное число};

(ÒÎÍ) A = {x | x = n2, n — натуральное число}, B = {x | x — натуральное число, x > 9}.

2. (КИЛ) Укажите элементы множества A I B, åñëè

A = {x | x > 10, x — натуральное число}, B = {x | x ≤ 14, x —

натуральное число}.

2 5

3. (236) Укажите номера множеств, являющихся бесконечными:

1)A = {x | x < 100, x — натуральное число};

2)B = {x | x < 100, x — целое отрицательное число};

3)Ñ = {x | 20 < x ≤ 120, x — целое неотрицательное число};

4)D = {x | x = nn, n — натуральное число};

5)E = {x | x — число, при котором выполняется равенство x2 +

+2x + 1 = (x + 1)2};

6)F = {x | x — число, при котором выполняется равенство x2 = 2x};

7)K = {x | x = n1000, n — натуральное число, n < 1000}.

4.(303) В упр. 3 укажите множества, эквивалентные множеству {1, 2, …, 100}.

5.(723) Укажите номера множеств, эквивалентных множеству натуральных чисел (см. упр. 3):

6.(ОЙР) Найдите элементы множества A I D (ñì. óïð. 3).

7.(ОЯР) Найдите кардинальное число множества A I E (ñì.

óïð. 3).

1.12.Счетные множества

Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счетным. Согласно этому определению всякое бесконеч- ное множество является счетным, если найдется способ показать, как нумеровать его элементы.

Мощность счетного множества обозначается символом 0 , читается: алеф нуль (ударение на букву à). Алеф — первая буква фини-

кийского (древнесемитского) алфавита. В подразд. 1.1 сказано, что кардинальное число конечного множества A обозначается A . Ýòî

обозначение будем использовать и в случае бесконечных множеств. Например, если E — счетное множество, то E = 0.

Приведем некоторые теоремы о счетных множествах.

Теорема 1. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Докажем это утверждение. Пусть задано некоторое бесконечное множество E. Выберем среди его элементов, например, элемент e1. В множестве E останется еще бесконечно много элементов. Выберем из них элемент e2. Останется по-прежнему бесконечно много элементов. Выберем элемент e3 и т.д. до бесконечности. Выбранные элементы образуют подмножество B, причем это подмножество счетно,

поскольку, выбирая его элементы, мы тем самым их нумеруем.

2 6

Таким образом, для всякого бесконечного множества справедливо: B E, ãäå B — счетное подмножество, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Для доказательства теоремы запишем натуральный ряд и каждому натуральному числу поставим во взаимно однозначное соответствие элементы заданного счетного множества K. Отметим какимлибо способом элементы бесконечного множества T K. Очевидно,

что отмеченные элементы можно пронумеровать, следовательно, множество T K является счетным, что и доказывает теорему.

Теорема 3. Множество всех целых чисел счетно.

Чтобы доказать это утверждение, целые числа расположим следующим образом:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, K

−1, −2, −3, −4, −5, −6, −7, K

В этой матрице бесконечное число колонок. Нумеруя ее элементы по колонкам сверху вниз и переходя от колонки к колонке слева направо, мы каждому целому числу поставим во взаимно однознач- ное соответствие натуральное число, что и доказывает теорему.

Теорема 4. Объединение счетного множества A и конечного множества B счетно.

Для доказательства достаточно пронумеровать элементы множества B, а остальные натуральные числа поставить во взаимно одно-

значное соответствие элементам счетного множества.

Теорема 5. Объединение конечного множества счетных множеств счетно.

Пусть дано конечное множество {A, B, …, L}, ãäå A, B, …, L — счетные множества. Найдем их объединение: Q = A U B U K U L.

Запишем элементы множеств A, B, …, L один под другим:

A = {a1, a2, a3, a4, K}; B = {b1, b2, b3, b4, K};

L L L L L

L = {l1, l2, l3, l4, K}.

Получилась матрица с конечным числом строк и бесконечным числом колонок. Пронумеруем элементы первой колонки, затем продолжим нумерацию элементов второй колонки, третьей и т.д. до бесконечности. При такой нумерации каждый элемент множества Q получит порядковый номер, следовательно, множество Q счетно, что

и требовалось доказать.

2 8

2.(ЖАО). Укажите номера конечных множеств в предыдущем упражнении.

3.(УШС). Укажите элементы множества A I B I C, если множе-

ñòâà A, B, C являются счетными и имеют вид A = {1, 2, 3, …}; B = {6, 7, 8, …}; C = {11, 12, 13, …}.

4.(96). Укажите элементы множества A I B I C, ãäå A, B, C —

множества, указанные в предыдущем упражнении.

5.(Е46). Найдите элементы множества {x | x — число, без остатка делящееся на 23, x — простое число}.

1.13.Несчетные множества

Åñëè A — конечное множество, то A < B(A) , т.е. булеан всякого конечного множества A содержит больше элементов, чем множество A, òàê êàê

B(A) = 2A .

Всякое бесконечное множество также имеет подмножества, и можно говорить о мощности его булеана. Пусть дано счетное множество E. Чтобы найти все его подмножества, поставим в соответствие каждому элементу множества E двоичный разряд. Тогда всякому подмножеству множества E будет соответствовать двоичное число бес-

конечной длины. Пусть единица в записи двоичного числа обознача- ет вхождение в подмножество соответствующего элемента e E,

а нуль говорит о том, что соответствующий элемент в подмножество не входит. Тогда по аналогии с конечными множествами можно утверждать, что мощность булеана B(E), т.е. множество всех двоич-

ных чисел бесконечной длины, представится кардинальным числом

B(E) = 1 = 2 0.

Теорема 1. Мощность булеана бесконечного множества E превышает мощность множества E. (Доказательство можно найти в [29].)

Åñëè E — счетное множество, то согласно приведенной теореме

B(E) > E ,

ò.å. 1 > 0.

Множество B(E) несчетно, и его мощность равна мощности континуума (лат. continuum — непрерывное). Примером континуума

может служить множество точек отрезка.

Несчетным является и множество всех действительных чисел x, ãäå 0 ≤ x < 1. (Напомним, что действительным числом называется

всякая десятичная дробь.) Для доказательства этого сначала допус-

2 9

тим, что действительные числа можно пронумеровать. Запишем одна под другой бесконечные десятичные дроби:

KKKKKKKKKKKKK

Получили матрицу, содержащую счетное множество строк, в каждой из которых бесконечное число десятичных цифр. (Для строгости изложения десятичные цифры следовало бы заменить символами Кенига [29, с. 48], однако для простоты мы пожертвуем этой строгостью.) Допустим, что в матрице нет ни одной пары равных между собой чисел. Все ли действительные числа окажутся в матрице? Нет, не все. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся диагональным методом, разработанным Г. Кантором, и найдем число, которое отсутствует в матрице, т.е. оказалось не занумерованным. Суть метода Г. Кантора состоит в следующем. Если в первом числе первая после запятой цифра (цифра a1) не равна, например, 3, то в искомое число после запятой записываем цифру 3. Если же a1 = 3, то записываем, допустим, 2. Переходим ко второму числу матрицы. Если b2 ≠ 3, то записываем на втором месте искомого числа цифру 3. Если b2 = 3, то записы-

ваем 2, и т.д. Очевидно, что получившееся число отличается от первого числа первой цифрой (после запятой), от второго — второй цифрой, от третьего — третьей и т.д. Таким образом, полученное число отсутствует в списке, но принадлежит множеству действительных чисел интервала 0 ≤ x < 1.

Полученное число не является единственным, отсутствующим в списке. Достаточно вместо цифр 3 и 2 взять другие, и мы получим еще одно число.

Булеан B(E) и множество всех действительных чисел интервала 0 ≤ x < 1 эквивалентны. Они являются несчетными и оба характеризуются кардинальным числом 1 . Такие множества условимся называть 1 -множествами.

Мощность континуума — не самая большая мощность среди бесконечных множеств. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся двоич- ными числами так же, как и в случае счетных множеств. Поставим в соответствие каждому элементу 1 -множества двоичный разряд.

Если единица обозначает вхождение элемента в подмножество, а нуль — отсутствие в подмножестве данного элемента, то каждому двоичному числу будет соответствовать некоторое подмножество

3 0

1 -множества. Мощность множества всех таких подмножеств обозначим буквой 2 :

2 = 2 1 ,

откуда следует, что мощность булеана 1 -множества (т.е. мощность множества всех подмножеств 1 -множества) превышает мощность

1 -множества: 2 > 1 .

Точно так же можно утверждать, что

3 = 2 2 , 4 = 2 3 , 5 = 2 4 , K , n = 2 n−1 , K ,

откуда следует, что множества с наибольшей мощностью не существует.

Приведем без доказательства еще одну теорему о несчетных множествах.

Теорема 2. Объединение множества мощности континуума и счетного множества имеет мощность континуума.

Упражнения

1. (ВУК). Какие выражения являются кардинальными числами несчетных множеств:

2. (178). Укажите множества мощности континуума:

1)объединение счетного и несчетного множеств;

2)объединение счетных множеств, множество которых счетно;

3)разность несчетного и счетного множеств;

4)A − B, ãäå A è B — несчетные множества;

5)A U B, ãäå A — счетное множество, B — множество мощности

континуума;

6)A − B, ãäå A — несчетное множество, B — счетное множество;

7)A − B, ãäå A = 1, B = 0.