Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

211

Произвольная точка M(x,y) (ее радиус-вектор обозначим r(x,y)) лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда r − r0 l, ò.å. åñëè r − r0 tl, èëè

есть параметрическое уравнение прямой в векторной форме. В координатной форме уравнение (7.9) имеет вид

mn

Это каноническое уравнение прямой. В частности, если прямая проходит через точки M0(x0,y0) è M1(x1,y1), то в качестве вектора l можно взять вектор (x1 − x0,y1 − y0 ) и уравнение (7.11) записать

â âèäå

П р и м е р 1. Найти расстояние от точки (2,3) до прямой 3x + 4y + 10 = 0.

З а д а ч а 4. Охарактеризовать взаимное расположение прямых, заданных своими общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 è

З а д а ч а 5. Найти угол между прямыми. Пусть прямые пересекаются, т.е. A1B2 − A2B1 ≠ 0 . В качестве угла ϕ между прямыми при-

мем угол между их нормалями. Поэтому

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом y = k1x + b1 è y = k2x + b2 , то тангенс одного из углов между прямыми

можно найти по формуле

tgϕ = k2 − k1 .

1+ k1k2

П р и м е р 2. На отрезке [1,4] задана функция, график которой приведен на рис. 7.6. Записать аналитическое выражение этой функции.

Решение. Для решения задачи необходимо найти уравнения прямых AB, BC è AD. Будем искать их в виде y = k1x + b1 . На прямой ÀÂ лежат точки A(1,0) è B(2,4). Поэтому

0 = k1 + b1, 4 = 2k1 + b1.

Отсюда k1 = 4, b1 = 4. Уравнение ÀÂ имеет вид y = 4x − 4. Прямая ÂÑ имеет уравнение y = 4. Уравнение прямой CD также ищем в виде

y = k2x + b2 .

214

7.4.Уравнение плоскости

Çа д а ч а 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через

точку M0(x0,y0,z0) с радиусом-вектором r0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N(A,B,C). (Вектор N называется вектором нормали плоско-

ñòè.)

Как и при решении задачи 1 из подразд. 7.3, получаем

т.е. векторную форму уравнения плоскости, где r = (x,y,z) — радиус-

вектор произвольной точки плоскости. В координатной форме (7.13)

можно записать в виде A(x − x0 ) + B(y−y0 ) + C(z− z0 ) =0 или, обозначая −Ax0 − By0 −Cz0 = D , получим общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0.

З а д а ч а 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точ- ку M0(x0,y0,z0) параллельно векторам l1 = (m1, n1, p1) è l2 = (m2, n2, p2 ) ,

l1 l2.

Âэтом случае можно положить N = [l1, l2 ] , из (7.13) получить

искомое уравнение в векторной форме

В частности, если плоскость проходит через точки M0(x0,y0,z0),

M1(x1,y1,z1) è M2(x2,y2,z2), то можно в (7.14) и (7.15) положить l1 = M0M1 , l2 = M0M2 , ò.å. m1 = x1 − x0, n1 =y1 −y0, p1 =z1 −z0;

m2 = x2 − x0, n2 = y2 − y0 , p2 = z2 − z0 .

З а д а ч а 3. Охарактеризовать взаимное расположение трех раз-

личных плоскостей Aix + Biy + Ciz = Di, i = 1,2,3 .

Три плоскости пересекаются в одной точке, если их векторы нормалей Ni (Ai, Bi,Ci ), i = 1,2,3, компланарны, т.е. (N1, N2, N3 ) ≠ 0. Åñëè æå (N1, N2, N3) = 0 и среди векторов Ni нет параллельных,

то эти плоскости пересекаются либо по трем параллельным прямым, либо по одной прямой.

Предлагается самостоятельно охарактеризовать случай, когда среди векторов Ni есть параллельные.

З а д а ч а 4. Найти расстояние от точки M1(x1,y1,z1) до плоскости

Ax + By + Cz + D = 0.

215

Совершенно аналогично, как и при выводе формулы (7.12), получаем

7.5.Уравнение прямой в пространстве

Çа д а ч а 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точ-

êó M0(x0,y0,z0) с радиус-вектором r0 параллельно вектору l(m,n,p).

(Вектор l называют направляющим вектором прямой.) Пусть r —

радиус-вектор произвольной точки прямой. Тогда r − r0 l, поэтому

r = r0 + tl

есть параметрическое уравнение прямой в векторной форме. Выражая через координаты, получаем параметрические уравнения прямой в координатной форме

Воспользовавшись условием параллельности двух векторов (их координаты пропорциональны), находим

x − x0 = y − y0 = z − z0 , m n p

т.е. каноническое уравнение прямой. Если прямая проходит через точки M0(x0,y0,z0), M1(x1,y1,z1), то в качестве вектора l можно взять вектор M0M1(x1 − x0,y1 −y0, z1 − z0 ) , ò.å. m1 = x1 − x0, n1 =y1 −y0,

p1 = z1 − z0.

Прямую линию можно задать так же, как линию пересечения двух плоскостей:

если векторы N1 = (A1,B1,C1) è N2 = (A2,B2,C2) непараллельны. Соот-

ношения (7.16) называют общими уравнениями прямой.

Чтобы перейти от общих уравнений прямой (7.16) к канониче- ским и параметрическим, нужно найти направляющий вектор и точ- ку M0(x0,y0,z0), лежащую на прямой. В качестве l можно принять вектор, параллельный [N1,N2], а точку M0(x0,y0,z0) определить из

системы (7.16), найдя ее частное решение.

216

r0 r1

O

Ðèñ. 7.8

Искомое расстояние, очевидно, равно высоте M1H параллелограмма, построенного на векторах r1 − r0 и l, а потому

З а д а ч а 3. Найти расстояние d между двумя непараллельными прямыми r = r1 + tl1, r = r2 + tl2, l1 l2 (ðèñ. 7.9).

Ðèñ. 7.9

Искомое расстояние, очевидно, равно высоте M3H параллелепипеда, построенного на векторах r2 − r1, l1, l2, а потому

З а д а ч а 4. Охарактеризовать взаимное расположение прямых

217

Если векторы l1, l2 параллельны, то прямые (7.18) либо параллельны, либо совпадают. Если прямые совпадают, то вектор r2 − r1

параллелен общему направляющему вектору этих прямых. Если l1 l2 , то прямые либо пересекаются, либо являются скрещивающимися. Если прямые пересекаются, то расстояние d между ними равно

нулю. Из (7.17) получаем условие пересечения прямых

(r2 − r1, l1, l2 ) = 0, l1 l2.

Если прямые скрещиваются, то d ≠ 0, ò.å.

(r2 − r1, l1, l2 ) ≠ 0

является условием того, что прямые (7.18) скрещиваются.

Как видим, прямые и плоскости задаются линейными уравнениями относительно декартовых координат. В последующих подразделах изучим кривые, задаваемые уравнением второго порядка относительно декартовых координат:

ãäå aik — константы. Такие кривые называются кривыми второго

порядка. К ним относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола. К изучению этих кривых мы и переходим.

7.6. Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Получим уравнение эллипса.

Пусть F1 è F2 — фокусы (рис 7.10). Положим F1F2 = 2c. Декартову систему координат выберем следующим образом: ось Ox направим по прямой F1F2, а начало поместим в середину отрезка F1F2. Тогда F1(−c,0), F2(c,0). Пусть M(x,y) — произвольная точка эллипса.

218

т.е. получили каноническое уравнение эллипса. Можно доказать, что при возведении в квадрат мы получили уравнение, эквивалентное исходному.

Îñè Ox è Oy являются осями симметрии, а точка O(0,0) — центром симметрии. Точки A1(−a,0), A2(a,0), B1(0,b) è B2(0,−b) называют-

Число a в уравнении (7.20) называют большой, а b — малой полу-

осью эллипса. Прямую, на которой расположены фокусы эллипса, называют фокальной осью.

aa

ñà. Òàê êàê c < a, òî ε < 1.

Прямые x = ± aε называют директрисами эллипса. Предлагается

доказать, что r1 = ε , ãäå d — расстояние от точки Ì эллипса до бли- d

жайшей от фокуса F1 директрисы x = − aε , è ÷òî rd2 = ε , ãäå d —

219

расстояние от точки Ì эллипса до директрисы x = aε , à r1 = a + εx ,

П р и м е р. Доказать, что уравнение x2 + 4x + 4y2 −16y− 4=0 îïðå-

деляет эллипс. Найти координаты его центра и эксцентриситет. Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квад-

ðàòû: (x + 2)2 + 4(y − 2)2 = 4 + 4 + 16 = 24 . Введем новые переменные

7.7. Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 è F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина посто-

янная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Точки F1 è F2 называют фокусами гиперболы.

Получим уравнение гиперболы.

Положим F1, F2 = 2c . Систему координат выберем так же, как и в случае эллипса. Тогда F1(−c,0), F2(c,0). Åñëè M(x,y) — произволь-

ная точка гиперболы, то

(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = 2a,

a = const, c > a. Последнее уравнение и определяет гиперболу. Проведя его упрощение, как и в случае эллипса, обозначив b2 = c2 − a2, ïî-

лучим каноническое уравнение гиперболы

x2 − y2 = 1. a2 b2

Гипербола — кривая, симметричная относительно осей координат (рис. 7.12). Точки A1(−a,0), A2(a,0) называются вершинами гиперболы. Так как x ≥ a , то гипербола находится вне полосы, ограниченной прямыми x = ±a. Îñü Oy называют мнимой осью гиперболы,

220

à îñü Ox — действительной. Прямые y = ± b x являются асимптота- a

ми гиперболы. Число a называют действительной полуосью гиперболы, а число b — мнимой полуосью.

y

b

Ðèñ. 7.12

Величина ε = c называется эксцентриситетом гиперболы, ε > 1, a

а прямые x = ± aε — ее директрисами. Они обладают теми же свой-

ствами, что и для эллипса.

П р и м е р. Доказать, что уравнение 4x2 − 24x − 9y2 + 36y = 36

определяет гиперболу. Найти ее центр симметрии и асимптоты. Решение. Выделяя полные квадраты, данное уравнение можно

гипербола с центром в точке x1 = x − 3 = 0, y1 = y − 2 = 0, т.е. в точке

(3,2). Уравнение асимптот гиперболы имеет вид y − 2 = ± 2 (x − 3) , èëè

3

2x − 3y = 0 , 2x + 3y − 12 = 0 .

Итак, мы рассмотрели кривые второго порядка: эллипс, эксцентриситет которого меньше единицы, гиперболу, эксцентриситет которой больше единицы. Кривая второго порядка, эксцентриситет которой равен единице, является параболой (рассмотрена в подразд. 7.1).