Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

201

4) три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

П р и м е р 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на

Решение

S = [a, b] = [2p + r, p + 3r] = 2[p, p] + [r, p] + 3[r, r] = = 5 [p, r] = 5 pr sin j,

òàê êàê [p, p] = [r, r] = 0, [r, p] = −[p, r].

202

Упражнения

1. В треугольнике ABC äàíî: AB = 2p + 5q, AC = 8p − 7q, ãäå p

и q — произвольные неколлинеарные векторы. Выразите через p и q вектор BC.

Ответ: 6p − 12q.

2. В треугольнике ABC сторона BC точками M1, M2, M3 разделена на четыре равные части так, что BM1 = M1M2 = M2M3 = M3C, ïðè

ýòîì AM1 = a, AM2 = b. Выразите через a и b векторы AB, BC, AC.

Ответ: AB = 2a − b, BC = 4(b − a), AC = 2b − 2a.

3. Найдите числа α è β, если известно: AB = αp + 4q, BC = 2p − βq,

AC = βp + αq, где p, q — неколлинеарные векторы.

Ответ: 1; 3.

4. Вектор a = (2, −4, 3) отложен от точки A(3, −5, −2). Найдите координаты точки B — его конца.

Ответ: B(5, − 9, 5).

5. Найдите скалярное произведение векторов a = 2p + 3q,

6. Найдите квадрат длины вектора a = 2p + 3q + 4r, ãäå p, q, r —

единичные векторы, составляющие между собой углы, равные 32 π.

Ответ: 37.

7. Найдите косинус угла между векторами a = (3, 3, 1),

b = (3, 1, − 3).

Ответ: 9/19.

8. Найдите координаты орта вектора a = 6i − 3j − 2k.

Ответ: (67, −37, −27).

9. Найдите проекцию вектора a = 4i + 5j − 6k на ось, определяемую вектором b = 6i − 2j − 2k.

203

7. Приложение линейной алгебры к задачам аналитической геометрии

7.1. Уравнение линии на поверхности

Возможность характеризовать положение точки на плоскости и в пространстве с помощью пары или тройки чисел позволяет применять для изучения кривых и поверхностей аппарат линейной алгебры и математического анализа.

Пусть на плоскости задана некоторая кривая L, выбрана декартова система координат (0,x,y).

Уравнение F(x,y) = 0 называется уравнением кривой L в выбранной системе координат, если координаты (x,y) любой точки кривой L удовлетворяют этому уравнению и любое решение (x,y) уравнения F(x,y) = 0 определяет точку M(x,y), принадлежащую L.

Совершенно аналогично можно определить уравнение поверхности S относительно декартовой системы координат: уравнением поверхности S относительно данной декартовой системы координат называется уравнение F(x,y,z) = 0, которому удовлетворяют коорди-

наты любой точки, лежащие на этой поверхности, но не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на поверхности.

Кривую L в пространстве можно задать как линию пересечения

двух поверхностей, т.е. в виде системы двух уравнений:

F1(x,y, z) = 0,F2(x,y,z) = 0,

где уравнения F1(x,y, z) = 0 è F2(x,y,z) = 0 определяют некоторые поверхности, проходящие через кривую L.

Задание кривой в виде системы двух уравнений не всегда удобно ввиду неоднозначности этой системы. Часто более удобным оказыва-

при котором положение точки на кривой характеризуется значением некоторого параметра t (в физике в качестве парааметра t, êàê ïðà-

вило, принимается время).

Параметрические уравнения кривой можно записать в векторной форме:

r = r(t) = ϕ(t)i + ψ(t)j + η(t)k,

204

или в матричной:

x ϕ(t)y = ψ (t) .z η(t)

Параметрически можно также задать и поверхность:

x = ϕ(u,v),y = ψ(u,v),

z = η(u,v),

или, что то же самое,

r = r(u,v) = ϕ(u,v)i + ψ(u,v)j + η(u,v)k,

x ϕ(u,v)y = ψ (u,v) .z η(u,v)

При этом положение точки на поверхности определяется значе- нием двух параметров: u è v.

Задачи аналитической геометрии:

1)по известным геометрическим свойствам кривой L или поверхности S записать их уравнения;

2)исходя из известных уравнений кривых или поверхностей, изучить геометрические свойства кривых или поверхностей.

Рассмотрим примеры задания некоторых кривых и поверхностей уравнениями.

Окружность. Запишем уравнение окружности с центром в точке C(a,b) радиуса R.

Как известно, окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки этой плоскости.

Точка M(x,y) лежит на данной окружности тогда и только тогда, когда CM = R , ò.å.

есть уравнение окружности с центром в точке C(a,b) радиуса R. Óðàâ-

нение (7.1) можно переписать в виде

Параметрически окружность (7.1) можно задать в виде системы

Мы решили первую задачу аналитической геометри: по известным свойствам кривой получили ее уравнение.

205

Выясним, в каких случаях произвольное уравнение второго порядка

ãäå aik = const, относительно декартовых координат точки определя-

ет окружность, найдем ее центр и радиус.

Сравнивая (7.2) и (7.3), видим, что уравнение (7.3) может определять окружность, если a12 = 0, a11 = a22 ≠ 0. В этом случае уравнение

(7.3) можно записать в виде

æå a012 + a022 − a00a11 < 0 , то уравнению (7.4) не удовлетворяют коор-

динаты ни одной точки плоскости. Говорят, что в этом случае уравнение (7.4) определяет мнимую окружность. Таким образом, уравнение (7.3) является уравнением окружности и только в том случае,

åñëè a12 = 0, a11 = a22 ≠ 0, a012 + a022 − a00a11 > 0 .

Частично мы решили и вторую задачу аналитической геометрии: зная уравнение (7.3), выяснили, при каких условиях оно определяет окружность. Полное решение этой задачи, т.е. исследование случаев, когда a12 ≠ 0, a11 ≠ a22, будет произведено позднее, после изучения

эллипса, гиперболы и параболы.

П р и м е р 1. Найти центр и радиус окружности

206

Сравнивая (7.1) и (б), видим, что центр имеет координаты (−1,2), а радиус R = 3.

Парабола. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F и данной прямой этой же

плоскости.

Данная точка F называется фокусом параболы, а данная пря-

точку, равноудаленную от фокуса и дирек-

Fтрисы. Обозначим расстояние между фоку-

параболы. Тогда по определению параболы имеет место равенство

èëè y2 = 2px . Это соотношение равносильно условию AM = FM, òàê

как мы не совершали операций, которые могли бы привести к потере решений и к появлению других решений. Таким образом, мы полу- чили искомое уравнение параболы y2 = 2px, называемое канониче-

ñêèì.

Легко доказать, что уравнение (7.3) может определять параболу,

åñëè a11a22 − a122 = 0 . При выполнении условия a11a22 − a122 = 0 êðè-

вая, задаваемая уравнением (7.3), может распасться на пару параллельных или совпавших прямых.

207

П р и м е р 2. Доказать, что уравнение y2 − 6y + 6 + x = 0 определяет параболу. Найти значение ее параметра p и координаты вер-

øèíû.

Решение. Выделяя полный квадрат, получаем (y − 3)2 + x − 3 = 0 . Если положить y1 = y − 3, x1 = −x + 3, то уравнение приводится к виду y12 = x1 . Сравнивая последнее уравнение с каноническим уравне-

нием параболы, находим, что 2p = 1 è p = 21 . Вершина параболы на-

ходится в точке (3,3).

Сфера. Запишем уравнение сферы с центром в точке C(a,b,c) радиуса R.

Как известно, сферой называется множество всех точек пространства, равноудаленных от данной фиксированной точки.

Åñëè M(x,y,z) — произвольная точка сферы, то MC = R , следо-

вательно,

есть уравнение сферы.

Аналогично тому как это сделано для окружности, можно доказать, что произвольное уравнение второго порядка

Åñëè a012 + a022 + a032 − a00a11 = 0 , то уравнению (7.6) удовлетворя-

ют только координаты точки Ñ. Ïðè a012 + a022 + a032 − a00a11 < 0 óðàâ-

нению (7.6) не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства — имеем так называемую мнимую сферу.

Цилиндрическая поверхность. Пусть дана некоторая кривая L

и ненулевой вектор l. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, паралельными вектору l и пересекающими кривую L. При этом кривую L называют

208

направляющей, а соответствующие прямые — образующими цилиндрической поверхности. Покажем, что уравнение F(x,y) = 0 в простран-

стве определяет цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является кривая в координатной плоскости Oxy, определяемая уравнеием F(x,y) = 0. Действительно, если координаты точки M0(x0,y0) удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0, то этому уравнению удовлетворяют координаты точки M(x0,y0,z) при любом z, т.е. все точки прямой, проходящей через точку M(x0,y0,0) параллельно оси Oz. Например, уравнение x2 + y2 = 1 в пространстве определяет круговой цилиндр, а уравнение y2 = 2px —

параболический цилиндр.

Аналогично уравнение F(y,z) = 0 определяет цилиндрическую по-

верхность с направляющей F(y,z) = 0, и образующей, параллельной

x = 0

îñè Ox.

Коническая поверхность. Пусть дана в пространстве некоторая кривая L и точка M(x0,y0,z0). Поверхность, образованная движением прямой, проходящей через точку M0 и пересекающей кривую L, называется конической поверхностью. Точка M0 называется верши-

ной конической поверхности.

Пусть дано уравнение F(x,y,z) = 0. Функция F(x,y,z) называется однородной степени m (m > 0), если при любом t выполняется усло-

âèå F(tx,ty,tz) = tmF(x,y,z). Соответствующее уравнение F(x,y,z) = 0 также называется однородным. Например, уравнение F(x,y,z) = = x2 + y2− z2 = 0 однородное степени 2. Можно доказать, что однородное уравнение F(x,y,z) = 0 определяет коническую поверхность с вер-

шиной в начале координат. (Докажите самостоятельно после изуче- ния подразд. 7.5.)

Поверхность вращения. Пусть на плоскости xOy задана линия F(x,y) = 0. При вращении кривой вокруг оси Ox мы получим поверхность, называемую поверхностью вращения. Если точка M0(x,y,0) лежит на кривой F(x,y) = 0, то при вращении вокруг оси Ox она опишет окружность с центром в точке C(x,0,0), радиус которой равен y . Пусть M(X,Y,Z) — точка поверхности. Тогда x = X,

y = ± Y2 + Z2 . Поэтому уравнение поверхности вращения будет иметь

âèä F (X,±Y2 + Z2 ) = 0 . Например, вращая параболу y2 = 2px âî-

êðóã îñè Ox, получим поверхность y2 + z2 = 2px, называемую эллип-

тическим параболоидом вращения.

210

Полагая ϕ = 0, 6π , 3π , 2π , 23π , 56π ,π и вычисляя r, построим соответ-

ствующие точки. Соединяя их гладкой кривой, получим дугу кардиоиды, лежащую выше полярной оси. В силу четности косинуса, строим ей симметричную относительно полярной оси часть кардиоиды. Ее вид объясняет название.

Предлагается самостоятельно построить остальные из указанных кривых.

7.3.Уравнения прямой на плоскости

Çа д а ч а 1. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0,y0) перпендикулярно вектору N(A,B).

NПроизвольная точка M (рис. 7.4) лежит

rная форма уравнения прямой.

является координатной формой уравнения прямой, проходящей че- рез точку M0(x0,y0) перпендикулярно вектору N. Обозначим −Ax0 − By0 = Ñ. Тогда (7.7) приводится к виду

Это общее уравнение прямой. Подчеркнем, что в общем уравнении прямой коэффициенты À, Â определяют вектор N, перпендику-

лярный данной прямой, который называется вектором нормальной прямой.

Пусть B ≠ 0. Обозначая k = − A , b = − C , уравнение (7.8) перепи-

BB

øåì â âèäå y = kx + b — уравнение прямой с угловым коэффициентом. Величина k равна тангенсу угла наклона прямой к оси Ox, а величина b по модулю равна длине отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

З а д а ч а 2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) с радиусом-вектором r0 параллельно заданному вектору l(m,n). Вектор l называют направляющим вектором прямой.