Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

Получили матрицу размера 3 ´ 2.

В рассмотренном примере произведение матриц B × A не определено, так как размеры матриц B è A не согласованы.

Из определения произведения матриц следует, что если размеры матриц A, B è B, A согласованы, то в общем случае AB ¹ BA. Åñëè æå A — квадратная, а E — единичная матрица того же порядка, что и A, òî AE = EA = A.

Операции над матрицами обладают следующими свойствами:

Свойства (6.3) справедливы для любых действительных чисел l1 è l2 и любых матриц A, B è C, для которых определены соответству-

ющие операции.

П р и м е р 3. Найти матрицу (2A + 3B)C, åñëè

Решение. Используя правила умножения матрицы на число

и сложения матриц, находим:

По правилу умножения матриц получаем:

173

6.2. Определители порядка N

Перестановки. Всякое расположение чисел 1, 2, ..., n в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел. Перестановку будем обозначать (α1,α2,...,αn ). Здесь каждое из αk (k = 1,2,...,n) является одним из чисел 1, 2, ..., n и среди αk нет одинаковых. Число всевозможных перестановок из n чисел равно

n ! = 1 × 2L n.

Выберем в перестановке (α1,α2,...,αn ) два числа αi,αj. Если большее из чисел αi è αj расположено левее меньшего, то говорят, что числа αi è αj образуют инверсию, или беспорядок. Перестановка

называется четной, если в ней имеется четное число инверсий, и нечетной, если это число нечетно.

Например, перестановка (4, 3, 1, 5, 2) является четной, так как в ней 6 инверсий: единица образует две инверсии (с четверкой и тройкой), двойка образует три инверсии (с четверкой, тройкой и пятеркой), тройка — одну инверсию (с четверкой), числа 4 и 5 инверсий не образуют. Всего имеем 2 + 3 + 1 = 6 инверсий. Перестановка (3, 4,

1, 5, 2) нечетна. В ней имеется 5 инверсий (подсчитайте самостоятельно).

Можно доказать, что если в перестановке поменять местами два любых элемента, оставив все остальные на месте, то четность перестановки изменится на противоположную.

Понятие определителя порядка N. Пусть дана квадратная матрица порядка n:

Рассмотрим произведение n элементов матрицы A, взятых по

одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца:

так как при перестановке двух сомножителей каждая из перестановок (α1,α2,...,αn ) è (β1,β2,...,βn ) перейдет в перестановку противо-

положной четности.

поскольку перестановки (1, 2, 3), (2, 3, 1) и (3, 1, 2) — четны, (3, 2, 1), (2, 1,3) и (1, 3, 2) — нечетны, а перестановка (1, 2, 3) инверсий не имеет.

Сумма D построена по правилу «треугольников»: первое слагае-

мое есть произведение элементов, расположенных на главной диагонали, второе и третье — произведение элементов, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, четвертое слагаемое является произведением элементов, расположенных на побочной диагонали, а два последних состоят из элементов, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали. Три последних слагаемых взяты со знаком «минус».

Решение. D = 13 + 17 + 49 + 91 + 17 − 7 = 180.

Свойства определителей. Отметим без доказательства свойства определителей. Предлагается самостоятельно проверить их для определителей второго и третьего порядка.

1.При транспонировании матрицы ее определитель не меняет своего значения, т.е. det A = det Aí .

Из этого свойства следует, что любое свойство, доказанное для строк, справедливо и для столбцов (и наоборот).

2.Свойство антисимметрии. При перестановке двух строк матрицы ее определитель меняет знак.

3.Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки, равен нулю.

4.Линейное свойство. Если все элементы i-й строки матрицы A

представлены в виде aji = λbj + μcj, ãäå j = 1, 2, ..., n; i — фиксирова-

íî, òî

det A = λ det B + μ det C,

где матрица B получена из A заменой i-й строки числами bj, à C — числами cj.

Заметим, что det(λA) = λn det A.

6.Определитель матрицы, содержащей две пропорциональные строки, равен нулю.

7.Если к элементам одной из строк матрицы A прибавить соот-

ветствующие элементы другой строки, умноженной на некоторое число, то получим матрицу с тем же определителем.

8.Если все элементы некоторой строки матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.

9.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц:

det(A × B) = det A × det B.

Понятия алгебраического дополнения и минора. Вычисление

определителей произвольного порядка. С ростом порядка матрицы очень быстро возрастает число членов ее определителя. Так, при n = 4 это число равно 24, при n = 5 — 120, ïðè n = 6 — 720 è ò.ä. Ïî ýòîé

причине вычислять определитель порядка выше третьего исходя из определения затруднительно. Используются другие приемы. Одним из них является метод понижения порядка определителя. Дадим определения следующих важных двух понятий.

Дан определитель матрицы порядка n. Определитель матрицы (n − 1)-го порядка, полученной из данной вычеркиванием ее строки с номером j и столбца с номером i, называется минором (n − 1)-ãî

порядка и обозначается Mij.

Например, для определителя третьего порядка имеем:

Как видим, алгебраическое дополнение может отличаться от минора лишь знаком.

Справедливы следующие теоремы, легко проверяемые для определителей второго и третьего порядков.

Теорема 1. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы:

ãäå j — фиксировано.

Теорема 2. Сумма всех произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Используя свойство 7 и формулы (6.5) и (6.6), вычисление определителя порядка n можно свести к вычислению одного определителя порядка n - 1, для чего в какой-либо строке (или столбце) следует получить n - 1 нулей, а затем разложить определитель по этой

строке или столбцу. Проиллюстрируем сказанное на примере.

тью, умноженную на 2, а из первой вычли третью, умноженную на 2). Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

178

6.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Матрица A−1 называется обратной к заданной квадратной матрице A, åñëè

Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее определитель det A ¹ 0.

Из равенства (6.7) и по свойству 9 определителей находим: det A−1 × det A = 1. Следовательно, det A ¹ 0. Таким образом, только

D = det A.

Матрицу A = Ai j , ãäå Ai j матрицы A.

Доказательство единственности матрицы A−1 опустим, проверим лишь справедливость формулы (6.8). Через cqp обозначим элементы матрицы AB. По определению произведения матриц (см. форму-

лу (6.2)) находим

Âформуле (6.9) записана сумма произведений элементов строки

ñномером q определителя det A на алгебраические дополнения соответствующих элементов строки с номером p. Åñëè p ¹ q, то по теоре-

ме 2 из подразд. 6.2 эта сумма равна нулю, т.е. cqp = 0 ïðè p ¹ q. Åñëè p = q, то по формуле (6.6) сумма (6.9) равна определителю D = det A, следовательно, cpp = 1. Таким образом:

Решение. Находим сначала определитель этой матрицы:

Матрица A не вырождена, а потому имеет обратную матрицу. Находим элементы присоединенной матрицы A*:

Используя формулу (6.8), записываем обратную матрицу:

Для проверки правильности вычисления матрицы A−1 нужно перемножить матрицы A è A−1. Если в результате получится единич-

ная матрица, то обратная матрица найдена верно.

180

Пусть матрица A является невырожденной. Найдем матрицы X è Y из следующих уравнений:

Аналогично из равенства (6.11) находим

Y = BA−1.

Заметим, что в силу некоммутативности операции умножения матриц решения матричных уравнений (6.10) и (6.11) различны. Если матрица A не вырождена, то каждое из уравнений имеет единствен-

ное решение.

П р и м е р 2. Дано матричное уравнение AX = B, ãäå

Найти матрицу X. Решение. Находим

det A = 1 ¹ 0.

Так как матрица A не вырождена, то X = A−1B.

Для отыскания A−1 находим элементы присоединенной матрицы:

Предлагаем самостоятельно убедиться в правильности решения, найдя произведение матриц A è X. В результате должна получиться матрица B.