Математика. Дополнительные главы

b

a

n

n

Докажем, что ряды

n

и

n

сходятся. Действитель-

n 1

n 1

A2

B2

2

но, из неравенства A B

0

следует оценка

AB

.

2

A a

, B

1

Положив в этом неравенстве

получаем оценку

n

n

n

2

an

1

a 2

из которой следует сходимость ряда

an

n

2

n

n 1

n

n

так как ряд

a 2 сходится в силу условия замкнутости для

результат.

Следствие 1. Пусть функция

f (x)

непрерывна на [l,l] и

кусочно дифференцируема на

[l,l] .

Пусть,

кроме

того,

f ( l) f (l) . Тогда lim ann 0 ,

lim bnn 0 .

n

n

n

n

2 ,

2 сходится в

Доказательство. Так как ряды

a

b

n 1

n 1

a 2

силу условия замкнутости для функции

f (x) , то

lim

0 и

n

n

lim b 2

0

по необходимому признаку сходимости. Следова-

n

n

тельно,

lim a

0

и

lim b 0 . Умножая обе части равенств

n

n

n

n

a

l

b

,

b

l

a

,

n 1,2,... на n получаем требуемое.

n

n

n

n

n

n

Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть периодическая с периодом 2l функция

f (x)

непрерывна вместе с производными до порядка m вклю-

чительно, а

m 1 -я производная кусочно непрерывна. Тогда

lim annm 1 0 ,

lim bnnm 1 0 и ряды

an

bn

nk ,

k 1,2,...,m

n

n

n 1

сходятся.

Доказательство.

Нетрудно показать, что если

f (x) перио-

дическая с периодом 2l функция, то и все её производные, если

они существуют,

тоже периодические с периодом 2l функции.

В

силу

периодичности

f (k ) ( l) f (k ) ( l 2l) f (k ) (l) ,

k 1,2,...,m .

Так

как по условию f (m) (x) непрерывна, а

лее, ряды

an(m)

,

bn(m)

сходятся и

lim an(m 1)n2

0 ,

n

n 1

n 1

lim bn(m 1)n2

0 . Продолжая,

получаем, что

ряды

an

nm ,

n

n 1

Теорема. Если U (G)

- линейное пространство, то оператор

( Af )(s) K (x, s) f (x)dx ,

определённый на этом пространстве,

G

линеен, то есть

Множество G

есть

числовая

прямая,

то есть

G R ( , ) , U (G)

- совокупность абсолютно интегри-

руемых на ( , ) функций.

Ядро преобразования

Фурье

равно

K (x, s)

1

e isx .

2

Преобразование Фурье имеет вид

(s) f (x) s

1

f (x)e isxdx .

2

Функция (s)

называется также спектральной функцией

или спектральной плотностью,

(s)

называется амплитудным

спектром, arg (s) называется фазовым спектром.

Обратное преобразование Фурье имеет вид

x

1

(s)eisxds .

2

получаем конструкцию

x

1

ds

1

f t e

dt e

isx

f t e

dt ds ,

ist

is( x t )

2

2

Имеет место следующий результат.

Теорема. Если f x

абсолютно интегрируемая на

гладкая на каждом конечном отрезке функция, то

f x 0 f x 0

1

f t e

(x)

is( x t )

dt ds .

2

2

f x 0 f x 0

f x .

2

1

( ( f g))(s)

f (x) g(x) e isxdx

2

1

1

f (x)e isxdx

g(x)e isxdx

2

2

( f )(s) ( g)(s) (s) (s) ,

1

1

( ( f ))(s)

f (x)e isxdx

f (x)e isxdx

2

2

f ( x) (s)

1

s

.

Доказательство. Действительно, если 0 , то

f ( x) (s)

1

f ( x)e isxdx

2

1 1

i

s

x

1

s

f ( x)e

d x

.

2

Если

0 ,

то

сделав

замену

t x

имеем dt dx ,

lim t , lim

t и тогда dx

dt

,

x

x

1

1

s

f ( x) (s)

f (t)e i

t dt

2

1 1

i

s

t

1

s

f (t)e

dt

.

2

Соединяя вместе, получаем требуемое.

3.

Запаздывание. Если (f )(s) (s) , то

f x s e is (s) .

Доказательство. Действительно,

f x s

1

f (x )e isxdx

2

1

f (x )e is( x )dx

2

1

f (x )e is( x )e is d (x ) e is (s) .

2

4.

Дифференцирование

функции. Если

(f )(s) (s) ,

f (x)

дифференцируема на всей числовой оси и f (x) бесконеч-

но малая при x , то

f x s is f x s .

Доказательство. Действительно,

f x s

1

f (x)e isxdx .

2

1

Преобразуем интеграл

f (x)e isxdx

с помощью фор-

2

мулы интегрирования по частям с u e isx ,

dv f (x)dx . Тогда

du ise isxdx , v f (x) и

1

1

f (x)e isxdx f (x)e isx

is

f (x)e isxdx

2

2