Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Дополнительные главы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Также являются ортогональными системы комплекснознач-

n x

ных функций ei l , n 0, 1, 2,... на отрезке [l,l] и einx , n 0, 1, 2,... на отрезке [ , ] .

Доказывается просто. Необходимо вычислить скалярное произведение между элементами этих систем.

Конкретные ортогональные семейства функций, отличные от тригонометрической системы, можно найти в [4-6] и других книгах.

Пусть 1, 2 ,..., n ,... - множество попарно ортогональных функций. Пусть далее функция f (x) представлена в виде


f (x) n n (x) .	(3.5)

n 1

Это представление называется разложением функции в обоб-

щённый ряд Фурье. Вычислим при некотором k скалярное про-

изведение

f (x), k (x) от левой и правой частей данного раз-

ложения. В результате получаем

f (x), k (x)

n n (x), k (x)

n n (x) k (x) dx.

n 1

a n 1

Если ряд n n (x) k (x) можно интегрировать почленно, то

n 1

n n (x) k (x) dx n n (x) k (x)dx

a n 1

n 1

n n (x), k (x) k

k (x), k (x) k

k (x)

n 1

Следовательно, f (x), (x)

(x)

2 и получаем коэффици-

енты разложения

функции f (x)

по

ортогональной

системе

функций 1, 2 ,..., n ,...

( f (x), n (x))

(3.6)

n (x)

Чем хороши ряды Фурье? Для ответа на этот вопрос рассмотрим так называемые полиномы по ортогональной системе

1, 2 ,..., n ,..., содержащие не более чем

n слагаемых, то есть

всевозможные линейные комбинации

1 1

2 2 ... n n

k k

k 1

элементов 1, 2 ,..., n .

Оценим квадрат нормы разности эле-

ментов f и . Имеем

k k , f k

f , f f

k 1

f , f 2 k f , k

k k , k k

k 1

n n

f , f 2 k f , k k p k , p .

k 1

k 1 p 1

Так как 1, 2 ,..., n ,... является семейством ортогональных функций, то

если

k p,

k , p

если

k p.

n n

Поэтому k p k , p k 2 k , k . Таким образом,

k 1 p 1

k 1

2 f , f 2 k

f , k k 2 k , k .

k 1

Далее, так как ,

2 , f ,

(x)

2 , то последнее

k k

соотношение можно переписать в виде

2 2 k k

k 2

2 .

k 1

Вычитая и прибавляя в правой части полученного соотношения

k 2 k 2 имеем

k 1

2 k 2

k 1

k 2

2 k k

k 2

2 ,

k 1

2 k 2

k k 2

2 .

k 1

В последнем соотношении слагаемые

k 2

2 по-

k 1

стоянны, а слагаемое

k k 2

достигает наименьшего

k 1

значения и обращается в нуль при

k k .

Таким образом,

2 достигает минимума, когда

1 1

2 2 ... n n

k k ,

k 1

то есть является n -ой частичной суммой ряда Фурье. Таким образом, частичные суммы ряда Фурье осуществляют наилучшее среднеквадратичное приближение к исходной функции. Кроме

того, так как f 2 0 , то k 2 k 2 f 2 . Устремляя n к

k 1

бесконечности, получаем неравенство Бесселя

k 2 k 2 f 2 .

k 1

Из неравенства Бесселя сразу же следует, что ряд

k 2 k 2 является сходящимся.

k 1

Отметим несколько понятий в пространствах со скалярным произведением.

Назовём семейство ортогональных функций 1, 2 ,..., n ,...

полным в пространстве со скалярным произведением H , если

не существует в этом пространстве функции ортогональной к каждой из функций семейства 1, 2 ,..., n ,....

Если семейство элементов 1, 2 ,..., n ,... является полным в

H , то каждый элемент из

H представим своим обобщённым

рядом Фурье.

Если в неравенстве Бесселя k 2

2 имеет место

k 1

равенство, то есть k 2

2 для каждого элемента из

k 1

H , то система элементов 1, 2 ,..., n ,... называется замкнутой в

H , а равенство k 2

2 называется условием замк-

k 1

нутости или равенством Парсеваля-Стеклова.

Если система элементов 1, 2 ,..., n ,... замкнута в H , то она

полна в H .

Доказательство у Магазинникова Л.И. или других книгах по рядам Фурье.

Применяя формулы вычисления коэффициентов ряда Фурье

( f (x), n (x))

к тригонометрической системе (3.3), получа-

n (x)

ем разложение

n x

f (x)

an cos

bn sin

(3.7)

n 1

коэффициенты которого находятся по формулам

1 l

n x

f (x) cos

dx ,

n 0,1,2,...,

(3.8)

1 l

n x

f (x)sin

dx ,

n 1,2,... .

(3.9)

Преобразуем слагаемое a

cos

n x

b sin

n x

в (3.7). Имеем

a cos	n x	b sin	n x

n	l	n	l

n x

a 2

cos

sin

Положим

cos n

sin n .

2 b 2

b 2

С учётом этих обозначений имеем

n x

an cos

bn sin

An cos n cos

sin n sin

n x

An cos

Поэтому ряд (3.7) может быть записан в виде

n x

f (x)

An cos

n 1

n x

Функция

An cos

является периодической

наи-

меньшим периодом

и представляет собой гармоническое

колебание. Поэтому разложение функций в ряд Фурье называ-


ют гармоническим анализом. Величина						An называется ампли-
тудой гармоники,			n	частотой гармоники,				отклонением
тудой гармоники,				частотой гармоники,			n	отклонением
			l				n
			l
от начального положения.
Величины An , n 1,2,... называют амплитудным спек-
тром,	n	- частотным спектром,				, n 1,2,... - фазовым
тром,		- частотным спектром,			n	, n 1,2,... - фазовым
	l				n
	l

спектром.

Заметим, что зная амплитудный, частотный и фазовый спектры, можно восстановить исходную функцию, так как имеет место следующий результат.

Теорема (Дирихле). Всякая кусочно непрерывная и ограниченная на отрезке [l,l] функция (сигнал) f (x) может быть разложена в ряд Фурье (3.7) который сходится к периодической с периодом 2l функции S(x) заданной на числовой прямой и в точках отрезка [l,l] принимающей значения

S (x) f (x 0) f (x 0) . 2

Для чётных функций коэффициенты (3.8), (3.9) разложения функции в ряд Фурье приобретают вид

2 l

n x

f (x) cos

dx , n 0,1,2,..., (3.10)

bn 0 ,

n 1,2,... .

(3.11)

Аналогично, для нечётных функций имеем

an 0 ,

n 0,1,2,...,

(3.12)

2 l

n x

f (x)sin

dx ,

n 1,2,... .

(3.13)

Функции, заданные на половине периода, можем продолжить на другую половину периода любым образом. Продолжая чётным образом, получаем разложение по косинусам

	a0		n x
f (x)		an cos		,	(3.14)
			l
2		n 1

коэффициенты которого находятся по формулам (3.10), (3.11). Продолжая нечётным образом, получаем разложение по си-

нусам

	n x
f (x) bn sin		,	(3.15)
	l
n 1

коэффициенты которого находятся по формулам (3.12), (3.13). Разложение (3.7) можно также записать в виде

					n x
	f (x) cnei				l	(3.16)
			n
коэффициенты которого находят по формулам
		l		n x
	2l
	1		f (x)e i
c			f (x)e i	l dx , n 0, 1, 2,... (3.17)
n

Разложение (3.16) называют рядом Фурье в комплексной форме.

		l
Соответственно			cn	есть амплитудный спектр,
Соответственно			cn	есть амплитудный спектр,
l					n
arg	cn - фазовый спектр,					- частотный спектр.
arg	cn - фазовый спектр,					- частотный спектр.
					l

Интересна функция Хэвисайда, или что то же самое, еди-

	0,если t		0,
ничная функция h(t)		1,если t	0	. С помощью этой функции

удобно записывается ступенька			на	отрезке [t1,t2 ]		задаваемая
формулой	f (t)	1,если t [t1		,t2 ],	так	как

		0,если t [t1,t2 ]

f (t) h(t t1) h(t t2 ) .

Запишем условие замкнутости

2 для три-

k 1

гонометрической

системы

1,cos

n x

,sin

n x

n 1,2,... и

функции f (x) с рядом Фурье

n x

f (x)

an cos

bn sin

n 1

для неё.

Имеем

(x)dx .

n 1

Из этого соотношения сразу получаем, что ряды an 2 ,

n 1

сходятся, следовательно,

bn 2 и

an 2 bn 2

lim an 0 и

n 1

lim bn 0 .

Пусть g(x) другая функция и

n x

g(x)

n cos

n sin

n 1

её ряд Фурье. Условие замкнутости для функции

f (x) g(x)

имеет вид

a0 0

an n bn n

f (x)

g(x) dx .

n 1

Аналогично для функции f (x) g(x) условие замкнутости имеет вид

2			1		l
a0 0	2	2	1		2
	an n	bn n			f (x) g(x) dx .
2	an n	bn n		l	f (x) g(x) dx .
	n 1				l

Вычитая из первого соотношения второе и сокращая на 4, получаем соотношение

a0 0				1		l
a0 0		a b		1			f (x) g(x)dx ,
2		a b			l		f (x) g(x)dx ,
2		n n n	n		l
		n n n	n
	n 1					l

которое называется обобщённым условием замкнутости.

Пусть теперь

если x [x1, x2

Тогда

g(x)

если x [x1, x2 ].

g(x)dx

n x

g(x)cos

cos

dx ,

n x

g(x)sin

sin

dx ,

f (x) g(x)dx

f (x)dx.

Подставляя полученные выражения для 0 ,

n ,

n в обоб-

щённое условие замкнутости, получаем

n x

dx an

cos

dx bn sin

f (x)dx ,

n 1

что и означает почленную интегрируемость ряда Фурье для функции f (x) . Таким образом, мы доказали следующий резуль-

тат.

Теорема. Тригонометрический ряд Фурье кусочнонепрерывной функции можно интегрировать почленно независимо от характера сходимости.

Для почленной дифференцируемости удаётся доказать лишь следующий результат.

Теорема. Если функция f (x) дифференцируема, то ряд Фурье для производной f (x) может быть получен почленным дифференцированием ряда Фурье для функции f (x) .

Доказательство опустим.

Отметим, что в сформулированной теореме поточечная сходимость ряда Фурье для производной не гарантируется, хотя в среднеквадратичном ряд сходится обязан.

Интересны также условия равномерной сходимости ряда

Фурье, которые сформулированы в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция	f (x) непрерывна на [l,l]		и ку-
сочно дифференцируема на	[l,l] .	Пусть, кроме	того,
f ( l) f (l) . Тогда ряд Фурье функции		f (x) сходится к	f (x)
равномерно относительно x [ l,l] .

Доказательство. Для доказательства равномерной сходимости достаточно показать сходимость числового ряда

f (x)

так как он является мажорирующим для

n 1

n x

ряда Фурье

f (x)

cos

sin

функции f (x) .

n 1

Пусть a

a ,

коэффициенты ряда Фурье

n x

f (x)

a cos

b sin

n 1

функции

f (x) . Установим связь между коэффициентами an , bn

и a ,

функций

f (x)

(x) . Применяя к коэффициентам a

формулу интегрирования по частям с u f (x) ,

dv cos

n x

dx ,

f (x)dx ,

sin

n x

, получаем

1 l

f (x)cos

n x

dx ,

f (x)

sin

n x

(x)sin

n x

b , n 0,1,2,....

u f (x) ,

dv sin

n x

dx ,

Аналогично

для

полагая

f (x)dx ,

cos

n x

, получаем

1 l

f (x)sin

n x

f (x)

cos

n x

f (x)cos

n x

a , n 1,2,... .

f ( l) f (l) .

Первое слагаемое равно нулю в силу равенства

Таким образом, получили

, n 1,2,... .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб9Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб5Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб3Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf