Математика. Дополнительные главы

z

n

ez

;

n!

n 0

z

2n 1

z2n 1

sin z ( 1)n

( 1)n 1

;

n 0

(2n 1)!

n 1

(2n 1)!

z

2n

cos z ( 1)n

;

(2n)!

n 0

1

zn ;

1 z

n 0

1

( 1)n zn ;

1 z

n 0

z

n

ln(1 z) ( 1)n 1

;

n 1

n

z

2n 1

z

2n 1

arctgz ( 1)n

( 1)n 1

.

2n 1

2n 1

n 0

n 1

Степенной ряд

cn (z z0 )n , коэффициенты которого вычис-

n

ляются по формулам c

1

f (z)

dz , называется рядом

2i

z z n 1

n

C

0

Лорана. Слагаемое cn (z z0 )n называется правильной ча-

n 0

1

стью ряда Лорана, а слагаемое

cn (z z0 )n называется глав-

n

ной частью ряда Лорана.

Степенной ряд

cn zn

, сходящийся в кольце

z

R , назы-

n

cn (z z0 )n , коэффициенты cn

которого вычисляются по

n

формуле

c

1

f (z)

dz ,

2i z z n 1

n

C

0

cn (z z0 )n , то это обязательно ряд Лорана.

n

Кольцо r z z0

R может включать случаи

r 0 и

лора по степеням z z0 имеет вид

f (z) an (z z0 )n .

n k

f

(n)

(z0 )

f

(n)

(z0 )

f (z)

(z z0 )n

(z z0 )n

n 0

n!

n k

n!

так как

f (z

0

) f (z

0

) ... f

(k 1) (z

0

) 0, f

(k ) (z

0

) 0 .

Достаточность. Пусть разложение функции

f (z) в ряд Тей-

лора по степеням z z0

имеет вид f (z) an (z z0 )n . То-

n k

гда f (z

0

) f

(z

0

) ...

f (k 1) (z

0

) 0, f

(k ) (z

0

) 0 . Теорема

доказана.

Теорема 2.5.2. Точка z0 является нулём кратности k функ-

ции f (z) тогда и только тогда,

когда её можно записать в виде

f (z) (z z

0

)k (z) ,

где (z)

- аналитическая в окрестности

точки z0

функция, такая что (z0 ) 0 .

Доказательство. Необходимость. Пусть точка z0 является

нулём кратности k

функции f (z) . Тогда, по теореме 2.5.1, её

разложение по степеням z z0

имеет вид

f (z) an (z z0 )n ak (z z0 )k

ak 1(z z0 )k 1 ...

n k

Вынося за скобки (z z

0

)k , имеем

f (z) (z z0 )k ak

ak 1(z z0 ) ... (z z0 )k an (z z0 )n k .

Положив (z) ak ak 1 (z z0 ) ... an (z z0 )n k ,

полу-

n k

чаем справедливость необходимости.

Достаточность.

Пусть f (z) (z z

0

)k (z) , где (z)

- ана-

литическая в окрестности z0

функция, такая что (z0 ) 0 . Рас-

кладывая (z) в ряд Тейлора по степеням z z0 , получаем

(n)

(z0 ) (z z0 )n (z0 )

(z0 ) (z z0 ) ... .

(z)

n 0

n!

0!

1!

f (z) (z z

0

)k (z) , где

(z)

- аналитическая в окрестности

z

0

функция,

такая что (z ) 0

. Множитель (z z

0

)k

обраща-

0

. По

полнено неравенство

(z) (z0 )

свойствам модуля

(z)

(z0 )

можем записать

(z) (z0 )

,

поэтому для всех

z из U (z0 ) выполнено неравенство

(z)

(z0 )

или, что

имеем

(z0 )

(z)

(z0 )

. Взяв

(z0 )

, что возмож-

2

но так как (z0 ) 0 , получаем, что для

(z0 )

нашлась ок-

2

рестность U (z0 ) точки z0

такая, что для всех

z из U (z0 ) вы-

полнено неравенство

(z)

(z0 )

(z0 )

(z0 )

и поэтому

2

2

(z) 0

для всех z из U (z0 ) . Теорема доказана.

Перейдём теперь к рассмотрению особых точек.

Определение 2.5.3.

Точка

z0

называется

особой точкой

функции

f (z) , если в этой точке нарушается аналитичность

функции f (z) .

Определение 2.5.4.

Точка

z0

называется

изолированной

особой точкой функции

f (z) , если существует окрестность

1

z

,еслиz

0 .

g(z) f (z)

0,еслиz z

0

сом

функции

f (z) ,

следовательно,

lim f (z) . Тогда

z z0

lim

1

lim g(z) 0 ,

поэтому точка

z0 есть нуль функции

f (z)

z z0

z z0

g(z) .

Достаточность. Пусть z0

является нулём функции g(z) , то-

гда

lim g(z) 0 . Поэтому

lim

1

lim f (z) , следова-

g(z)

z z0

z z0

z z0

тельно, точка z0

есть полюс функции f (z) .

Эта теорема позволяет дать более подробную классифика-

цию полюсов аналитической функции.

Определение 2.5.9. Точка z0 называется полюсом порядка

k функции

f (z) , если эта точка есть нуль кратности k функ-

ции

1

z0

,еслиz

g(z) f (z)

0,еслиz z

0

виде f (z)

(z)

, где (z) - аналитическая в окрестности

(z z

0

)k

z0 функция, такая что (z0 ) 0 .

Доказательство. Необходимость. Пусть точка z0 является

полюсом порядка k функции f (z) . Тогда, по определению по-

люса порядка k , точка

z0 есть нуль функции кратности k

функции g(z) . Поэтому, по теореме 2.5.2

функцию g(z)

можно записать в виде g(z) (z z

0

)k (z) . Тогда

1

1

1

1

f (z)

.

g(z)

(z z

0

)k (z)

(z z

0

)k

(z)

Далее, так как функция (z)

аналитическая в окрестности

точки z0 и (z0 ) 0 , то функция

1

также аналитическая в

(z)

некоторой окрестности точки z0

и

1

0 .

Обозначив

1

(z0 )

(z)

через (z) , получаем справедливость необходимости.

f (z)

(z)

Достаточность. Пусть

, где (z) - аналити-

(z z

0

)k

ческая в окрестности z0

функция, такая что (z0 ) 0 . Тогда

1

1

1

1

g(z)

.

f (z)

(z z

0

)k

(z)

(z z

0

)k

(z)

Далее, так как функция (z)

аналитическая в окрестности

точки z0 и (z0 ) 0 , то функция

1

также аналитическая в

(z)

некоторой окрестности точки z0

и

1

0 . Обозначив

1

(z0 )

(z)

имеет вид f (z) cn (z z0 )n .

n 0

Доказательство. Необходимость. Пусть точка z0 является

устранимой особой точкой функции f (z) , тогда lim f (z)

су-

z z0

ществует и конечен. Поэтому существует окрестность точки

z0

тельных степенях разложения

f (z) в ряд Лорана. Имеем

c n

1

C

f (z)

ds

1

C

f (z)

ds

1

C

M

ds ,

2

z z0 n 1

2

z z0

n 1

2

z z0

n 1

тром в точке z

. Тогда

c

1

M n 1ds

1

2 M n M n ,

0

2

n

2

C