Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика. Дополнительные главы

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
1.56 Mб
Скачать

Определение. Ряд называют условно сходящимся, если он сходится и не сходится абсолютно.

Отметим также, что для знакоположительных рядов с действительными членами понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Для рядов с комплексными членами

 

 

 

an Re an i Im an

 

n 1

n 1

 

абсолютная сходимость ряда an эквивалентна одновремен-

n 1

 

 

 

ной абсолютной сходимости рядов Re an

и Im an соот-

n 1

n 1

ветственно из действительных и мнимых частей общего члена ряда.

Это следует из цепочки неравенств Rea a , Ima a , a Rea Ima и теоремы сравнения, доказываемой ниже.

Достаточные признаки сходимости могут быть сформулированы как в терминах абсолютной сходимости, так и в терминах сходимости знакоположительных рядов с действительными членами.

Признак сравнения. Этот признак имеет непредельную (конечную) и предельную формы.

Непредельная форма признака сравнения. Пусть имеется

 

 

два ряда an

(1) и bn (2). Если, начиная с некоторого но-

n 1

n 1

мера выполняются неравенства an bn , то из абсолютной схо-

димости ряда (2) следует абсолютная сходимость ряда (1) и из абсолютной расходимости ряда (1) следует абсолютная расходимость ряда (2).

Доказательство. Не умаляя общности можно считать, что

неравенство

 

an

 

 

 

bn

 

выполняется, начиная с n 1 . Действи-

 

 

 

 

тельно, отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, поэтому отбросив члены, для которых это нера-

31

венство не выполнено и перенумеровав, получаем для новых двух рядов, что соответствующее неравенство выполняется с номера n 1 . Пусть ряд (2) абсолютно сходится, то есть сходит-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ся ряд

 

bn

 

. Обозначим

 

через

Sn частичные суммы ряда

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

, а через n

частичные суммы ряда

 

bn

 

. В силу выпол-

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

нения неравенства

 

an

 

 

 

bn

 

имеем

Sn

 

ak

 

 

 

bk

 

n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

k 1

где через обозначена сумма ряда bn . Таким образом, по-

n 1

следовательность Sn частичных сумм ряда an является воз-

n 1

растающей ограниченной сверху последовательностью и поэто-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

му имеет предел. То есть ряд

 

an

 

 

сходится. С другой сторо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ны, если ряд

 

an

 

 

расходится,

то,

в силу положительности его

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

членов,

lim Sn

и так как

 

 

Sn

 

ak

 

 

 

bk

 

n , то и

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n . Следовательно, ряд

 

 

bn

 

 

 

расходится. Теорема до-

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

казана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предельная форма признака сравнения. Пусть имеется два

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряда an (1) и bn (2). Если lim

 

 

 

K , K 0 , K , то

 

 

b

n 1

 

 

n 1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

либо оба ряда абсолютно сходятся либо абсолютно расходятся.

32

Доказательство. Так как lim

 

an

K , то для любого

0

b

n

 

 

 

 

n

 

 

существует номер N ( ) такой, что для всех n N ( ) выполне-

но неравенство

an

K

, или

 

an

K , следователь-

 

bn

bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но

K

K . Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

bn

 

 

 

 

an

 

K

 

bn

 

(4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальнейшее следует из теоремы сравнения в непредельной (конечной) форме. Действительно, если ряд (2) абсолютно схо-

дится, то используя правую часть an K bn неравенства

(4), заключаем, что и ряд (1) абсолютно сходится. Далее, если абсолютно сходится ряд (1), то используя левую частьK bn an неравенства (4) заключаем, что и ряд (2) абсо-

лютно сходится. Аналогично, если ряд (2) абсолютно не сходится, то используя левую часть K bn an неравенства (4),

заключаем, что и ряд (1) не является абсолютно сходящимся. Далее, если ряд (1) абсолютно не сходится то используя правую часть an K bn неравенства (4) заключаем, что и ряд (2)

абсолютно не сходится. Теорема доказана.

Отметим, что также как и в несобственных интегралах 1- го рода удобно в качестве эталонного ряда применять обоб-

 

1

 

щённый гармонический ряд

который при 1 расхо-

n

n 1

 

дится, а при 1 сходится.

Интегральный признак (Коши). Пусть для ряда an

n 1

удаётся подобрать монотонную действительнозначную функцию f действительного аргумента так, что f (n) an . Тогда

33

из сходимости интеграла f (x)dx следует абсолютная сходи-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мость ряда an ,

а их расходимости интеграла

f (x)dx сле-

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дует, что ряд an

не является абсолютно сходящимся.

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Обозначим через S n

частичную сумму ря-

 

 

 

 

 

 

 

да

 

an

 

.

Так как f

монотонная и

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

f (x) 0 ,

то

имеет

место

оценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Sn

 

a1

 

f (x)dx Sn .

Пусть

инте-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

грал f (x)dx сходится. Тогда из левой части Sn

 

a1

 

f (x)dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

полученной оценки следует, что ряд

 

an

 

сходится, то есть из

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

сходимости интеграла следует абсолютная сходимость исходного ряда. Если исходный ряд сходится абсолютно, то есть схо-

 

 

 

n

 

дится ряд

 

an

 

, то из правой части f (x)dx Sn оценки полу-

 

 

 

 

n 1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

чаем сходимость интеграла

f (x)dx . Аналогично, если инте-

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

n

грал f (x)dx расходится, то из правой части

f (x)dx Sn по-

1

 

 

 

 

 

1

лученной оценки следует, что ряд an расходится, то есть из

n 1

расходимости интеграла следует, что исходный ряд не сходится абсолютно. Если исходный ряд не сходится абсолютно, то есть

34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

не сходится ряд

 

 

an

 

, то из левой части

 

 

Sn

 

a1

 

 

f (x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оценки получаем

 

расходимость

 

интеграла

f (x)dx . Теорема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Признак Даламбера в непредельной форме. Если начиная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с некоторого номера

 

 

 

 

 

q 1 , то ряд an

абсолютно схо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дится, если

an 1

 

 

q 1 , то ряд расходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Если

 

 

an 1

 

q 1 , то

 

a

n 1

 

q

 

a

n

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

an 1

 

, …,

 

a2

 

 

a1

 

. Соединяя вместе, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

q

 

a

 

q2

 

a

 

... qn

 

a

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд qn 1

 

a1

 

 

 

есть сумма членов геометрической прогрес-

 

 

 

 

 

 

n 1

сии с первым членом a1 и знаменателем 0 q 1 , следова-

тельно, сходится. Поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится абсолютно.

Если

an 1

q 1 , то

 

a

 

 

 

a

 

и поэтому lim

 

a

 

0 и из-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

n 1

 

 

 

n

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

за нарушения необходимого признака сходимости ряд расходит-

ся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Признак

Даламбера

в

предельной форме. Если

 

an 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

q

, то при q 1

ряд

an абсолютно сходится, при

 

n

a

n

 

 

 

n 1

q 1 ряд расходится (при q 1

lim

 

an

 

0 ), при q 1 признак

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

35

Даламбера ответа не даёт, то есть имеются как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q 1 .

Доказательство.

Так как

 

lim

 

 

an 1

 

 

q ,

то то для любого

a

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

0 существует номер

N ( )

 

такой,

что для всех n N ( )

выполнено неравенство

 

an 1

 

q

 

,

или

 

 

an 1

 

q ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно q

 

an 1

 

q . Если

q 1 , то можем взять

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 таким, чтобы q было меньше 1. Тогда по признаку

Даламбера в непредельной (конечной) форме ряд абсолютно сходится. Если q 1 , то можем взять 0 таким, чтобы

q было больше 1. Тогда по признаку Даламбера в непре-

дельной (конечной) форме ряд расходится.

Радикальный признак Коши в непредельной форме. Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

начиная с некоторого номера n

 

an

 

 

q 1, то ряд an абсо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

q 1, то ряд расходится.

 

лютно сходится, если n

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Если

 

 

n

 

an

 

q 1 , то

 

an

 

qn . Ряд

qn

 

 

 

 

 

 

n 1

есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом

1 и знаменателем 0 q 1 , следовательно, сходится. Поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится абсо-

лютно. Если

n

 

a

q 1, то

 

a

 

qn и поэтому lim

a

0 и

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из-за нарушения необходимого признака сходимости ряд расходится.

Радикальный признак Коши в предельной форме. Если

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n

 

an

 

q , то при

q 1 ряд

an абсолютно сходится, при

 

 

n

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

36

q 1

ряд расходится (при q 1

lim

 

an

 

0 ), при q 1 признак

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Коши ответа не даёт, то есть имеются как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q 1 .

Доказательство. Так как

lim n

 

a

q , то для любого

0

 

n

n

 

 

 

 

 

 

существует номер N ( ) такой, что для всех n N ( ) выполне-

 

 

 

 

q

, или

 

 

 

q , следова-

но неравенство

n

a

n

n

a

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельно q nan q . Если q 1 , то можем взять 0 таким, чтобы q было меньше 1. Тогда по радикальному

признаку Коши в непредельной (конечной) форме ряд абсолют-

но сходится. Если q 1, то можем взять 0 таким, чтобы q было больше 1. Тогда по радикальному признаку Ко-

ши в непредельной (конечной) форме ряд расходится. Следствием признака Дирихле является следующий признак.

 

Признак

Лейбница. Пусть дан

знакочередующийся ряд

 

 

 

 

 

 

( 1)n 1 an ,

an

0 .

Если начиная

с некоторого номера

n 1

 

 

 

 

 

an

an 1 и lim an

0

, то ряд сходится. При этом модуль остат-

 

n

 

 

 

ка не превосходит модуля первого отбрасываемого члена и по знаку совпадает с ним.

Доказательство. Рассмотрим чётные и нечётные частичные суммы

2n

 

 

S2n ( 1)k 1 ak a1

a2 ... a2n 1 a2n

k 1

 

 

и

 

 

2n 1

 

 

S2n 1 ( 1)k 1 ak

a1 a2

... a2n 1 a2n a2n 1 .

k 1

 

 

Так как S2n 1 S2n a2n 1 и a2n 1 0 , то S2n S2n 1 . Далее, в силу монотонности стремления к нулю общего члена ряда

37

a2n 1 a2n 2 0 и поэтому S2n 2 S2n a2n 1 a2n 2 S2n . Сле-

довательно S2n возрастающая последовательность.

S2n 1 S2n 1 a2n a2n 1 S2n 1 (a2n a2n 1) S2n 1 следова-

тельно S2n 1 убывающая последовательность, следовательно

S2n 1 S1 a1 .

Так как S2n S2n 1 , S2n a1 , то следовательно, S2n возрастающая, ограниченная сверху последовательность, поэтому она

имеет предел.

Обозначим его

S . Так как S2n 1 S2n a2n 1 и

lim a2n 1 0

,

то

lim S2n

lim S2n 1 .Следовательно

ряд

n

 

 

n

n

 

n 1

( 1)n 1 a

n

сходится. Рассмотрим остаток ряда. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2n

( 1)k 1 ak a2n 1 a2n 2 a2n 3 ...

k2n 1

a2n 1 (a2n 2 a2n 3 ) ....

Всилу монотонности a2k a2k 1 0 для любого k 1,2,... .

Поэтому, так как мы вычитаем не отрицательные числа,

R2n положительно и R2n a2n 1 . Аналогично,

 

 

R2n 1

( 1)k 1 ak a2n 2 a2n 3 ...

k2n 2

(a2n 2 (a2n 3 a2n 4 ) ....

Из

последнего заключаем, что

R2n 1 отрицательно и

R2n 1

a2n 2 . Теорема доказана.

 

 

 

2.2. Функциональные ряды

 

 

 

 

Выражение un (z) называется

функциональным рядом,

 

 

n 1

 

un (z)

- общим членом функционального ряда. Будем обозна-

38

n

 

 

чать через Sn (z) uk (z) - частичную сумму ряда,

через S (z)

k 1

 

 

- сумму ряда.

 

 

 

 

 

Определение. Будем говорить, что ряд un (z)

сходится к

n 1

 

 

S (z) в области D , если lim Sn (z) S(z) для всякого z

из D .

n

 

 

С другой стороны, при каждом фиксированном z

функцио-

нальный ряд является числовым. Будем говорить, что ряд схо-

дится в точке z из

D , если сходится соответствующий число-

вой ряд.

 

 

 

 

 

 

 

Множество тех

z , в которых ряд

un (z)

сходится, назо-

 

 

n 1

 

вём областью сходимости функционального ряда.

 

 

 

 

Множество тех

z , в которых ряд

un (z)

абсолютно схо-

n 1

дится, назовём областью абсолютной сходимости функционального ряда. Обычно искать область абсолютной сходимости проще.

Так как при каждом фиксированном z функциональный ряд является числовым, то для исследования сходимости функциональных рядов применяются признаки сходимости числовых рядов.

Пример. Найти область сходимости ряда zn .

n 1

Найдём область абсолютной сходимости ряда. Используя радикальный признак Коши, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n

u

n

(z)

lim n

zn

 

lim n

z

n lim

z

 

z

.

n

 

 

 

n

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

Таким образом, ряд сходится абсолютно при z 1 и расходится при z 1. При z 1 ни с помощью признака Коши, ни с помощью признака Даламбера (показывается также) выяснить сходимость нашего ряда не удаётся. Рассмотрим ряд при z 1. Так

39

 

1,

то z ei ,

0 2 . Подставляя в ряд, получаем

как

z

 

 

 

 

 

 

 

ei n

ein . Так как

 

ein

 

1 , то в силу нарушения необхо-

 

 

n 1

n 1

 

 

 

 

 

димого признак сходимости, ряд ein расходится. Таким об-

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разом, ряд zn сходится при

 

z

 

1 и расходится при

 

z

 

1.

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Естественным образом возникает вопрос о наследовании суммой ряда S (z) свойств членов ряда un (z) , таких как непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость. Точнее, если члены ряда un (z) непрерывны в области D , то будет ли непрерывной сумма ряда S (z) ; если члены ряда un (z) интегрируемы на кривой L , лежащей в области D , то будет ли сумма ряда

S (z)

интегрируема на этой кривой; если

члены ряда un (z)

дифференцируемы в области D , то будет ли дифференцируема

сумма ряда S (z) ?

 

 

 

 

 

Пример. На отрезке [0,1] вещественной прямой рассмотрим

 

 

 

 

 

 

 

 

ряд

xn 1(1 x) . Его частичные суммы

есть

S1(x) 1 x ,

 

 

 

n 1

 

 

 

 

S

2

(x) x2 , …, S

n

(x) xn , ... Нетрудно видеть,

что пределом

 

 

 

 

 

 

этой последовательности частичных сумм,

а следовательно и

0, приx [0,1)

суммой ряда, будет функция S(x) Эта функция

1, приx 0.

терпит разрыв в точке x 1 , в то время как члены ряда непрерывны на всей вещественной оси, следовательно и на отрезке

[0,1] .

Таким образом, чтобы сумма ряда обладала теми же свойствами, что и члены ряда, нужно нечто более жёсткое, чем сходимость ряда. Такими понятиями, как это будет показано ниже, являются понятия равномерной в области сходимости и равномерной внутри области сходимости.

40