
Математика. Дополнительные главы
.pdf
Определение. Ряд называют условно сходящимся, если он сходится и не сходится абсолютно.
Отметим также, что для знакоположительных рядов с действительными членами понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Для рядов с комплексными членами
|
|
|
an Re an i Im an |
|
|
n 1 |
n 1 |
|
абсолютная сходимость ряда an эквивалентна одновремен-
n 1 |
|
|
|
ной абсолютной сходимости рядов Re an |
и Im an соот- |
n 1 |
n 1 |
ветственно из действительных и мнимых частей общего члена ряда.
Это следует из цепочки неравенств Rea a , Ima a , a Rea Ima и теоремы сравнения, доказываемой ниже.
Достаточные признаки сходимости могут быть сформулированы как в терминах абсолютной сходимости, так и в терминах сходимости знакоположительных рядов с действительными членами.
Признак сравнения. Этот признак имеет непредельную (конечную) и предельную формы.
Непредельная форма признака сравнения. Пусть имеется
|
|
два ряда an |
(1) и bn (2). Если, начиная с некоторого но- |
n 1 |
n 1 |
мера выполняются неравенства an bn , то из абсолютной схо-
димости ряда (2) следует абсолютная сходимость ряда (1) и из абсолютной расходимости ряда (1) следует абсолютная расходимость ряда (2).
Доказательство. Не умаляя общности можно считать, что
неравенство |
|
an |
|
|
|
bn |
|
выполняется, начиная с n 1 . Действи- |
|
|
|
|
тельно, отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, поэтому отбросив члены, для которых это нера-
31

венство не выполнено и перенумеровав, получаем для новых двух рядов, что соответствующее неравенство выполняется с номера n 1 . Пусть ряд (2) абсолютно сходится, то есть сходит-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ся ряд |
|
bn |
|
. Обозначим |
|
через |
Sn частичные суммы ряда |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
an |
|
, а через n |
частичные суммы ряда |
|
bn |
|
. В силу выпол- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
||||||||
нения неравенства |
|
an |
|
|
|
bn |
|
имеем |
Sn |
|
ak |
|
|
|
bk |
|
n , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
k 1 |
где через обозначена сумма ряда bn . Таким образом, по-
n 1
следовательность Sn частичных сумм ряда an является воз-
n 1
растающей ограниченной сверху последовательностью и поэто-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
му имеет предел. То есть ряд |
|
an |
|
|
сходится. С другой сторо- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ны, если ряд |
|
an |
|
|
расходится, |
то, |
в силу положительности его |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
||||||
членов, |
lim Sn |
и так как |
|
|
Sn |
|
ak |
|
|
|
bk |
|
n , то и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
k 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim n . Следовательно, ряд |
|
|
bn |
|
|
|
расходится. Теорема до- |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
казана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельная форма признака сравнения. Пусть имеется два |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ряда an (1) и bn (2). Если lim |
|
|
|
K , K 0 , K , то |
||||||||||||||||||||
|
|
b |
||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
либо оба ряда абсолютно сходятся либо абсолютно расходятся.
32

Доказательство. Так как lim |
|
an |
K , то для любого |
0 |
|
b |
|||||
n |
|
|
|||
|
|
n |
|
|
существует номер N ( ) такой, что для всех n N ( ) выполне-
но неравенство |
an |
K |
, или |
|
an |
K , следователь- |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
bn |
bn |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
но |
K |
K . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
K |
|
bn |
|
|
|
|
an |
|
K |
|
bn |
|
(4). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дальнейшее следует из теоремы сравнения в непредельной (конечной) форме. Действительно, если ряд (2) абсолютно схо-
дится, то используя правую часть an K bn неравенства
(4), заключаем, что и ряд (1) абсолютно сходится. Далее, если абсолютно сходится ряд (1), то используя левую частьK bn an неравенства (4) заключаем, что и ряд (2) абсо-
лютно сходится. Аналогично, если ряд (2) абсолютно не сходится, то используя левую часть K bn an неравенства (4),
заключаем, что и ряд (1) не является абсолютно сходящимся. Далее, если ряд (1) абсолютно не сходится то используя правую часть an K bn неравенства (4) заключаем, что и ряд (2)
абсолютно не сходится. Теорема доказана.
Отметим, что также как и в несобственных интегралах 1- го рода удобно в качестве эталонного ряда применять обоб-
|
1 |
|
|
щённый гармонический ряд |
который при 1 расхо- |
||
n |
|||
n 1 |
|
дится, а при 1 сходится.
Интегральный признак (Коши). Пусть для ряда an
n 1
удаётся подобрать монотонную действительнозначную функцию f действительного аргумента так, что f (n) an . Тогда
33

из сходимости интеграла f (x)dx следует абсолютная сходи-
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мость ряда an , |
а их расходимости интеграла |
f (x)dx сле- |
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дует, что ряд an |
не является абсолютно сходящимся. |
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Обозначим через S n |
частичную сумму ря- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
да |
|
an |
|
. |
Так как f |
монотонная и |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
f (x) 0 , |
то |
имеет |
место |
оценка |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Sn |
|
a1 |
|
f (x)dx Sn . |
Пусть |
инте- |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
грал f (x)dx сходится. Тогда из левой части Sn |
|
a1 |
|
f (x)dx |
||||
|
|
|||||||
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
полученной оценки следует, что ряд |
|
an |
|
сходится, то есть из |
||||
|
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
сходимости интеграла следует абсолютная сходимость исходного ряда. Если исходный ряд сходится абсолютно, то есть схо-
|
|
|
n |
|
||
дится ряд |
|
an |
|
, то из правой части f (x)dx Sn оценки полу- |
||
|
|
|||||
|
|
|||||
n 1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
чаем сходимость интеграла |
f (x)dx . Аналогично, если инте- |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
||
грал f (x)dx расходится, то из правой части |
f (x)dx Sn по- |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
лученной оценки следует, что ряд an расходится, то есть из
n 1
расходимости интеграла следует, что исходный ряд не сходится абсолютно. Если исходный ряд не сходится абсолютно, то есть
34

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
не сходится ряд |
|
|
an |
|
, то из левой части |
|
|
Sn |
|
a1 |
|
|
f (x)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
оценки получаем |
|
расходимость |
|
интеграла |
f (x)dx . Теорема |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Признак Даламбера в непредельной форме. Если начиная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
с некоторого номера |
|
|
|
|
|
q 1 , то ряд an |
абсолютно схо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
дится, если |
an 1 |
|
|
q 1 , то ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Доказательство. Если |
|
|
an 1 |
|
q 1 , то |
|
a |
n 1 |
|
q |
|
a |
n |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
an |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
an |
|
|
an 1 |
|
, …, |
|
a2 |
|
|
a1 |
|
. Соединяя вместе, получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
q |
|
a |
|
q2 |
|
a |
|
... qn |
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Ряд qn 1 |
|
a1 |
|
|
|
есть сумма членов геометрической прогрес- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1
сии с первым членом a1 и знаменателем 0 q 1 , следова-
тельно, сходится. Поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится абсолютно.
Если |
an 1 |
q 1 , то |
|
a |
|
|
|
a |
|
и поэтому lim |
|
a |
|
0 и из- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
an |
|
|
n 1 |
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за нарушения необходимого признака сходимости ряд расходит-
ся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Признак |
Даламбера |
в |
предельной форме. Если |
|||||||||
|
an 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
q |
, то при q 1 |
ряд |
an абсолютно сходится, при |
|||||||
|
||||||||||||
n |
a |
n |
|
|
|
n 1 |
||||||
q 1 ряд расходится (при q 1 |
lim |
|
an |
|
0 ), при q 1 признак |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
35

Даламбера ответа не даёт, то есть имеются как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q 1 .
Доказательство. |
Так как |
|
lim |
|
|
an 1 |
|
|
q , |
то то для любого |
||||||||
a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
0 существует номер |
N ( ) |
|
такой, |
что для всех n N ( ) |
||||||||||||||
выполнено неравенство |
|
an 1 |
|
q |
|
, |
или |
|
|
an 1 |
|
q , |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
an |
|
|
an |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
следовательно q |
|
an 1 |
|
q . Если |
q 1 , то можем взять |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
an |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 таким, чтобы q было меньше 1. Тогда по признаку
Даламбера в непредельной (конечной) форме ряд абсолютно сходится. Если q 1 , то можем взять 0 таким, чтобы
q было больше 1. Тогда по признаку Даламбера в непре-
дельной (конечной) форме ряд расходится.
Радикальный признак Коши в непредельной форме. Если
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начиная с некоторого номера n |
|
an |
|
|
q 1, то ряд an абсо- |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
q 1, то ряд расходится. |
|
||||||||||||||||
лютно сходится, если n |
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Если |
|
|
n |
|
an |
|
q 1 , то |
|
an |
|
qn . Ряд |
qn |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1
есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом
1 и знаменателем 0 q 1 , следовательно, сходится. Поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится абсо-
лютно. Если |
n |
|
a |
q 1, то |
|
a |
|
qn и поэтому lim |
a |
0 и |
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из-за нарушения необходимого признака сходимости ряд расходится.
Радикальный признак Коши в предельной форме. Если
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n |
|
an |
|
q , то при |
q 1 ряд |
an абсолютно сходится, при |
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
36

q 1 |
ряд расходится (при q 1 |
lim |
|
an |
|
0 ), при q 1 признак |
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
Коши ответа не даёт, то есть имеются как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q 1 .
Доказательство. Так как |
lim n |
|
a |
q , то для любого |
0 |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
существует номер N ( ) такой, что для всех n N ( ) выполне-
|
|
|
|
q |
, или |
|
|
|
q , следова- |
|
но неравенство |
n |
a |
n |
n |
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно q nan q . Если q 1 , то можем взять 0 таким, чтобы q было меньше 1. Тогда по радикальному
признаку Коши в непредельной (конечной) форме ряд абсолют-
но сходится. Если q 1, то можем взять 0 таким, чтобы q было больше 1. Тогда по радикальному признаку Ко-
ши в непредельной (конечной) форме ряд расходится. Следствием признака Дирихле является следующий признак.
|
Признак |
Лейбница. Пусть дан |
знакочередующийся ряд |
||
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 an , |
an |
0 . |
Если начиная |
с некоторого номера |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
an |
an 1 и lim an |
0 |
, то ряд сходится. При этом модуль остат- |
||
|
n |
|
|
|
ка не превосходит модуля первого отбрасываемого члена и по знаку совпадает с ним.
Доказательство. Рассмотрим чётные и нечётные частичные суммы
2n |
|
|
S2n ( 1)k 1 ak a1 |
a2 ... a2n 1 a2n |
|
k 1 |
|
|
и |
|
|
2n 1 |
|
|
S2n 1 ( 1)k 1 ak |
a1 a2 |
... a2n 1 a2n a2n 1 . |
k 1 |
|
|
Так как S2n 1 S2n a2n 1 и a2n 1 0 , то S2n S2n 1 . Далее, в силу монотонности стремления к нулю общего члена ряда
37
a2n 1 a2n 2 0 и поэтому S2n 2 S2n a2n 1 a2n 2 S2n . Сле-
довательно S2n возрастающая последовательность.
S2n 1 S2n 1 a2n a2n 1 S2n 1 (a2n a2n 1) S2n 1 следова-
тельно S2n 1 убывающая последовательность, следовательно
S2n 1 S1 a1 .
Так как S2n S2n 1 , S2n a1 , то следовательно, S2n возрастающая, ограниченная сверху последовательность, поэтому она
имеет предел. |
Обозначим его |
S . Так как S2n 1 S2n a2n 1 и |
|||
lim a2n 1 0 |
, |
то |
lim S2n |
lim S2n 1 .Следовательно |
ряд |
n |
|
|
n |
n |
|
n 1
( 1)n 1 a |
n |
сходится. Рассмотрим остаток ряда. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2n |
( 1)k 1 ak a2n 1 a2n 2 a2n 3 ... |
k2n 1
a2n 1 (a2n 2 a2n 3 ) ....
Всилу монотонности a2k a2k 1 0 для любого k 1,2,... .
Поэтому, так как мы вычитаем не отрицательные числа,
R2n положительно и R2n a2n 1 . Аналогично,
|
|
R2n 1 |
( 1)k 1 ak a2n 2 a2n 3 ... |
k2n 2
(a2n 2 (a2n 3 a2n 4 ) ....
Из |
последнего заключаем, что |
R2n 1 отрицательно и |
|
R2n 1 |
a2n 2 . Теорема доказана. |
|
|
|
|
2.2. Функциональные ряды |
|
|
|
|
|
Выражение un (z) называется |
функциональным рядом, |
||
|
|
n 1 |
|
un (z) |
- общим членом функционального ряда. Будем обозна- |
38

n |
|
|
чать через Sn (z) uk (z) - частичную сумму ряда, |
через S (z) |
|
k 1 |
|
|
- сумму ряда. |
|
|
|
|
|
Определение. Будем говорить, что ряд un (z) |
сходится к |
|
n 1 |
|
|
S (z) в области D , если lim Sn (z) S(z) для всякого z |
из D . |
|
n |
|
|
С другой стороны, при каждом фиксированном z |
функцио- |
нальный ряд является числовым. Будем говорить, что ряд схо-
дится в точке z из |
D , если сходится соответствующий число- |
||
вой ряд. |
|
|
|
|
|
|
|
Множество тех |
z , в которых ряд |
un (z) |
сходится, назо- |
|
|
n 1 |
|
вём областью сходимости функционального ряда. |
|||
|
|
|
|
Множество тех |
z , в которых ряд |
un (z) |
абсолютно схо- |
n 1
дится, назовём областью абсолютной сходимости функционального ряда. Обычно искать область абсолютной сходимости проще.
Так как при каждом фиксированном z функциональный ряд является числовым, то для исследования сходимости функциональных рядов применяются признаки сходимости числовых рядов.
Пример. Найти область сходимости ряда zn .
n 1
Найдём область абсолютной сходимости ряда. Используя радикальный признак Коши, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n |
u |
n |
(z) |
lim n |
zn |
|
lim n |
z |
n lim |
z |
|
z |
. |
|||
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
Таким образом, ряд сходится абсолютно при z 1 и расходится при z 1. При z 1 ни с помощью признака Коши, ни с помощью признака Даламбера (показывается также) выяснить сходимость нашего ряда не удаётся. Рассмотрим ряд при z 1. Так
39
|
1, |
то z ei , |
0 2 . Подставляя в ряд, получаем |
|||||
как |
z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
ei n |
ein . Так как |
|
ein |
|
1 , то в силу нарушения необхо- |
|||
|
|
|||||||
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
димого признак сходимости, ряд ein расходится. Таким об-
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разом, ряд zn сходится при |
|
z |
|
1 и расходится при |
|
z |
|
1. |
|
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Естественным образом возникает вопрос о наследовании суммой ряда S (z) свойств членов ряда un (z) , таких как непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость. Точнее, если члены ряда un (z) непрерывны в области D , то будет ли непрерывной сумма ряда S (z) ; если члены ряда un (z) интегрируемы на кривой L , лежащей в области D , то будет ли сумма ряда
S (z) |
интегрируема на этой кривой; если |
члены ряда un (z) |
|||||
дифференцируемы в области D , то будет ли дифференцируема |
|||||||
сумма ряда S (z) ? |
|
|
|
||||
|
|
Пример. На отрезке [0,1] вещественной прямой рассмотрим |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд |
xn 1(1 x) . Его частичные суммы |
есть |
S1(x) 1 x , |
||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
S |
2 |
(x) x2 , …, S |
n |
(x) xn , ... Нетрудно видеть, |
что пределом |
||
|
|
|
|
|
|
||
этой последовательности частичных сумм, |
а следовательно и |
0, приx [0,1)
суммой ряда, будет функция S(x) Эта функция
1, приx 0.
терпит разрыв в точке x 1 , в то время как члены ряда непрерывны на всей вещественной оси, следовательно и на отрезке
[0,1] .
Таким образом, чтобы сумма ряда обладала теми же свойствами, что и члены ряда, нужно нечто более жёсткое, чем сходимость ряда. Такими понятиями, как это будет показано ниже, являются понятия равномерной в области сходимости и равномерной внутри области сходимости.
40