Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Дополнительные главы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

							M , то
5. Если функция				f	ограничена на L , есть	f (z)	M , то
f (z)dz

	M	L	, где	L	длина кривой L .

L

1.6. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши

Теорема (Коши для односвязной области). Пусть f голо-

морфная (аналитическая) функция в односвязной области G . Тогда для любого замкнутого контура C , целиком лежащего в

G , f (z)dz 0 . Если в дополнение к сказанному f непре-

рывна в замыкании G G области G , то вместо контура C можно поставить границу G области G , то есть f (z)dz 0 .

Доказательство. Интеграл от функции комплексного переменного, как показано ранее, имеет вид

f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy .

C C C

Условия Коши-Римана есть ничто иное, как условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. А так как кривая, по которой ведётся интегрирование, замкнута, то интеграл по этой кривой равен нулю.

Теорема (Коши для многосвязной области). Пусть f голоморфная (аналитическая) функция в многосвязной области G ограниченной контуром C и непересекающимися контурами C1,C2 ,...,Cn , лежащими внутри контура C , и непрерывна в за-

мыкании	G C C1 C2 ... Cn		области G .		Тогда
	n
f (z)dz f (z)dz .
C	k 1 Ck
Доказательство.		Ограничимся	случаем	n 2 . Соединим
	контур	C с контурами	C1 и C2	линиями	AB и

DE как показано на рисунке. Тогда область ограниченная контуром

L AB C1 BA AD DE C2 ED DA

будет односвязной и по интегральной теореме Коши для односвязной области интеграл f (z)dz 0 . Так как интеграл по кри-

вой равен сумме интегралов по её частям, то

f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz

L	AB	C	BA	AD
		1

f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz

DE	C	ED	DA
	2

Далее	f (z)dz f (z)dz ,		f (z)dz f (z)dz ,
	AB	BA	DE	ED
AD DA C , поэтому		f (z)dz f (z)dz		f (z)dz 0 , что и

СС1 С2

завершает доказательство.

Интегральные формулы Коши

Пусть f голоморфная (аналитическая) функция в односвязной области G и z0 точка, лежащая внутри G . Тогда

f (z		)	1		f (z)		dz , или		f (z0 )		dz 2 if (z		) ,
	0		2 i z z					z z				0
			2 i z z			0		z z		0
				C		0		C		0
				C				C

где С - любой замкнутый контур целиком лежащий в G и содержащий точку z0 внутри себя. Если в дополнение функция f непрерывна в замыкании G , то вместо С можно поставить границу области G .

Доказательство. Пусть z0 произвольная точка, лежащая в области G . Пусть окружность с центром в точке z0 и радиусацеликом лежащая внутри контура С . Рассмотрим функцию

(z)	f (z) f (z0 )		. Эта функция является ана-

	z z0
литической всюду, кроме точки						z0 . Так как
lim (z) lim		f (z) f (z0 )		f (z		) , то доопре-
					0
z z0	z z0	z z

		0

делим функцию (z) в точке z0 положив (z0 ) f (z0 ) . Так определённая функция будет непрерывна в G , следователь-

но, ограничена на контуре и внутри . Так как (z) анали-

тическая в двусвязной области, ограниченной контурами

С и , то по теореме Коши для этой двусвязной области

(z)dz (z)dz . То есть интеграл не зависит от контура

. С другой стороны,

(z)dz

M 2 , где

длина окруж-

ности

Из

последнего

следует,

что

lim

(z)dz

lim M 2 0 .

Это может быть только в случае,

если (z)dz 0 . Далее,

0 (z)dz (z)dz

f (z) f (z0 )

z z0

f (z)

f (z0 )

f (z)

dz 2 if (z0 ) .

z z

Выписывая крайние части соотношения и учитывая, что по

теореме Коши для двусвязной области

f (z)

dz ,

z z

получаем справедливость теоремы.

Пусть L непрерывная кусочно гладкая кривая и функция

непрерывна на

этой

кривой.

Функция

f (t)

F (z)

называется интегралом

2 i

t z

типа Коши. Покажем, что эта функция голоморфная (аналитическая) во всех точках не лежащих на кривой

L .

Для

этого оценим разность

между

F (z h) F (z)

f (t)

. Имеем

2 i

t z 2

F (z h) F (z)

f (t)

2 i

t z 2

f (t)

2 i

t z h

2 i

t z

2 i

t z 2

f (t)

2 i

t z

L h t z h h

t z

Приводя к общему знаменателю, получаем

f (t) t z t z t z h h t z h

2 i

h t z h t z 2

f (t) t z

t z h t z h t z h

2 i

h t z h t z 2

f (t)h2

f (t)h

2 i

h t z h t

t z h t z

Получим то же самое, если раскроем в числителе подынте-

грального выражения скобки и приведём подобные.

Так как функция

непрерывна на кривой L , то по теореме

Вейерштрасса она ограничена на этой кривой. Пусть

M кон-

станта, ограничивающая f ,

то есть

f (t)

для всех t L .

Обозначим через

длину кривой

L ,

через 2d

расстояние от

d . Тогда

точки z до кривой и возьмём

t z 2

4d 2 ,

t z h

t z

f (t)h

f (t)

2 i

8 d

z h t z

2 L

Устремляя h к нулю, получаем

F (z) lim

F (z h) F (z)

f (t)

dt .

2 i

h 0

L t

Абсолютно так же показывается, что

F (z) lim

F (z h) F (z)

f (t)

2 i

h 0

L t z

(n)

(z) lim

F (n 1) (z h) F (n 1)

(z)

f (t)

dt .

2 i

n 1

h 0

L t

Таким образом, мы получили, что функция определяемая интегралом типа Коши обладает производными любого порядка в каждой точке не лежащей на кривой L и все эти производные есть функции аналитические (голоморфные) в этих точках.

Так как функция определяемая интегральной формулой Ко-

ши f (z0 ) 1 f (z) dz является частным случаем интеграла

2 i C z z0

типа Коши, то она тоже обладает производными любого порядка во всех точках лежащих внутри контура C которые вычисляются по формулам

(n) (z

)

f (z)

dz , или

2 i z z

n 1

f (z)

2 i

(n) (z

) ,

C z z0 n 1

где C - любой замкнутый контур целиком лежащий в G и содержащий точку z внутри. Если в дополнение к сказанному f

непрерывна в замыкании G G области G , то вместо контуров C можно поставить границу G области G .

2. Представление функций рядами

2.1. Числовые ряды

Всюду, где введено понятие суммы двух объектов мы можем рассматривать суммы конечного числа элементов. Если операция сложения ассоциативна, то скобки можно опустить, и в таком случае у нас однозначно определено выражение

ak a1 a2 ... an . Вызывает интерес распространение по-

k 1

нятия суммы на бесконечное число слагаемых и выяснения условий сохранения свойств конечных сумм.

Назовём выражение an рядом, an - общим членом ряда.

n 1

В качестве слагаемых чаще всего рассматривают числа, и тогда ряд называется числовым, функции и тогда ряд называется функциональным. Можно рассматривать так же ряды из векторов, но так как операции сложения векторов сводятся к операциям сложения их координат, принципиально нового не получается. Вначале будем рассматривать числовые ряды.

Вместе с рядом an рассмотрим последовательность

n 1

Sn ak a1 a2 ... an которая называется последователь-

k 1

ностью частичных сумм ряда и составлена из суммы первых n членов ряда.

Определение. Если существует и конечен предел lim Sn

частичных сумм Sn ak a1 a2 ... an ряда, то будем го-

k 1

ворить, что ряд сходится и называется сходящимся, если же этот предел не существует или равен , то будем говорить, что ряд расходится и называется расходящимся.

																					1
Пример. Выяснить сходимость ряда																					1	.

																				n2	n
																		n 2
										2			1			1							n	2
Так			как			an				2			1			1	,		то		Sn			2
Так			как			an			n2								,		то		Sn		n2	n
									n2	n			n 1 n										n2	n
																							k 2
1	1	1		1	1		1	...			1			1	1			1	. Находя предел час-
1								...			n				1				. Находя предел час-
2		2	3		3	4					n	1		n				n

тичных сумм, получаем lim Sn 1. Следовательно, ряд сходится

и его сумма равна 1.

Отметим аналог свойства несобственных интегралов, являющегося весьма полезным при изучении рядов.


Теорема. Ряды an	и an , p 1 либо оба сходятся, либо
n 1	n p

оба расходятся.

Говоря другими словами, отбрасывание конечного числа

членов ряда не влияет на его сходимость.
Доказательство. При			p 1 это один и тот же ряд и доказы-
вать нечего.	При p 1 обозначим через			Sn частичную сумма
			n
ряда an ,	а через n	сумму n ak		ap ap 1 ... an . То-
n 1			k p
n	p 1	n	p 1	p 1
гда Sn ak ak		ak ak n .		Так как ak конеч-
k 1	k 1	k p	k 1	k 1

ное число, то существование предела слева влечёт существование предела справа и наоборот. Теорема доказана.

Рассмотрим случай, когда членами ряда являются комплексные числа. Тогда

n	n
Sn ak Re ak i Imak
k 1	k 1

Reak i Imak Re Sn i Im Sn .

k 1

Переходя к пределу при n стремящемся к , получаем, что ряд


an	Re an i Im an	сходится тогда и только тогда, когда
n 1	n 1

сходятся ряды Re an ,		Im an	составленные из действи-
	n 1	n 1
тельных и мнимых частей членов ряда и при этом

	an Re an i Im an
	n 1	n 1	n 1

Вспоминая определение предела последовательности на языке неравенств, можем сформулировать определение сходимости ряда с помощью неравенств.


Определение. Будем говорить, что ряд an сходится и на-
	n 1
зывается	сходящимся, если существует и конечен предел
S lim Sn	частичных сумм ряда, то есть если для всякого 0
n

существует номер N ( ) такой, что для всех n N ( ) выполне-


но неравенство	S Sn	, или, что тоже самое,	ak	.
но неравенство	S Sn	, или, что тоже самое,	ak	.
			k n 1

Выражение Rn ak		называется остатком ряда.
	k n 1
Проводя аналогии с пределом последовательности, можем

сформулировать критерий Коши сходимости ряда, который выглядит следующим образом.

Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Для того,


чтобы ряд an	сходился, необходимо и достаточно, чтобы для
n 1
всякого 0 существовал номер N ( ) такой,			что для всех
		n p
		n p
n N ( ) и p 1	выполнялось неравенство	ak	.
		k n 1

Следствие (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то предел общего члена ряда существует и равен

нулю, то есть lim an 0 .

Получается из критерия Коши при p 1.

Необходимый признак сходимости ряда является полезным, когда нужно доказать расходимость ряда, так как он эквивалентен следующему результату.

Следствие (необходимый признак сходимости ряда в альтернативной форме). Если предел общего члена ряда не

существует или lim an 0 , то ряд расходится.

Следует из того, что утверждение «предложение A влечёт выполнение предложения B » эквивалентно утверждению «отрицание предложения B влечёт выполнение отрицания предло-

жения A » ( (A B) ( B A) , через A обозначено от-

рицание утверждения A ).

Утверждение обратное необходимому признаку сходимости неверно, то есть из равенства нулю предела общего члена ряда вовсе не следует его сходимость. Для доказательства достаточно привести пример ряда, общий член которого стремится к нулю при n стремящемся к , а ряд расходится. Классическим при-

		1			1	1
мером является гармонический ряд				1		...		.... Об-
мером является гармонический ряд			n	1	2	...	n	.... Об-
		n 1
щий член этого ряда	1	стремится к нулю при				n стремящемся
щий член этого ряда	n	стремится к нулю при				n стремящемся
	n

к . Докажем, что этот ряд расходится. Рассмотрим сумму

2n	1	1		1					1
						...				. Заменим в этой сумме все сла-
	k		n 1		n 2	...			2n	. Заменим в этой сумме все сла-
k n 1
гаемые на последнее						1		. Так как оно самое маленькое, то
гаемые на последнее							2n	. Так как оно самое маленькое, то
							2n

сумма от этого только уменьшится, поэтому можно запи-

2n	1	2n	1		1	1					1
сать				n			. Далее,	S1 1 ,	S2	1		,
											2
k n 1 k		k n 1	2n		2n 2

S4 S2 13 14 S2 12 2 , S8 S4 15 16 17 18 S4 12 52 .

Таким образом, последовательность S1, S2 , S4 ,...,S2k ,... явля-

ется возрастающей и каждый последующий член этой последовательности больше предыдущего на число большее

чем	1	и поэтому предел этой последовательности равен
	2

. Таким образом мы доказали, что гармонический ряд расходится.

Риман доказал, что не для всех рядов можно переставлять слагаемые. Выяснение вопроса о том, когда можно переставлять члены ряда приводит нас к необходимости введения нового понятия.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если

сходится ряд из модулей, то есть сходится ряд an .

n 1

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Доказательство. Если ряд сходится абсолютно, то выпол-



нен критерий Коши для ряда		an	,	то есть для всякого 0
нен критерий Коши для ряда		an	,	то есть для всякого 0
n 1
существует номер N ( ) такой, что для всех n N ( )					и p 1
n p
выполняется неравенство	ak			(внешний знак	модуля
выполняется неравенство	ak			(внешний знак	модуля

k n 1

опущен, так как слагаемы положительны). Так как по свойствам

	n p	n p
модуля	ak		ak	, то критерий Коши выполнен и для ряда

	k n 1	k n 1

an , поэтому исходный ряд сходится.

n 1

Обратное доказанному утверждению не верно. То есть имеются ряды сходящиеся и не сходящиеся абсолютно. Об этом поговорим несколько позднее.

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб9Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб5Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб3Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf