Математика. Дополнительные главы

Функции обратные к тригонометрическим и гиперболическим.

1.3.7. Решить уравнение cos z 2 ;

eiz e iz 4 . Умножая обе части равенства на eiz получаем

ei 2 z 4eiz 1 0 . Это квадратное уравнение относительно eiz . Решая его получаем eiz 2 3 или eiz 2 3 .

Из первого соотношения получаем

iz Ln(2 3) ln 2 3 i(arg(2 3) 2k )

ln 2 3 2k i . Поэтому z 2k i ln 2 3 .

Из второго соотношения имеем

iz Ln(2 3) ln 2 3 i(arg(2 3) 2k )

ln 2 3 2k i . Поэтому z 2k i ln 2 3 .

1.4. Предел функции комплексного переменного, непрерывность

Отметим, что понятие предела функции комплексного переменного совпадает с понятием предела функции действительного переменного и вводится так же.

Понятие непрерывности также совпадает с понятием непрерывности функции действительного переменного.

Отметим, что z есть длина радиус-вектора точки z , которая равна расстоянию от точки z до начала координат, следова-

11

R с центром в точке z0 и внутренность круга радиуса R с центром в точке z0 .

Определение 1. Окрестностью конечной точки z0 на комплексной плоскости назовем любое множество, содержащее некоторый круг z z0 R .

Окрестность точки z0 будем обозначать U (z0 ) .

Определение 2. Окрестностью бесконечно удаленной точкив C (обозначаемой U ( ) ) назовем внешность некоторого

круга, т.е. множество точек, не принадлежащих этому кругу. Симметричной окрестностью точки назовем внешность симметричного относительно начала координат круга.

ция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Вспоминая определение предела с помощью окрестностей и неравенств, определение непрерывности функции в точке можно записать в следующем виде.

12

Определение 2. Функция f называется непрерывной в точке

f (z) U ( f (z0 )) , или, что то же самое, если для всякой окрест-

точки z0 .

На языке неравенств это же определение для комплекснозначной функции одной комплексной переменной имеет следующий вид.

Определение 3. Функция f называется непрерывной в точке z0 , если она определена в этой точке и для всякого 0 существует 0 такое, что для всех z , удовлетворяющих неравенству z z0 , выполнено неравенство f (z) f (z0 ) , или, что то же самое, если для всякого 0 множество решений неравенства f (z) f (z0 ) или некоторая его часть содержит окрестность точки z0 .

Величину z z z0 называют приращением аргумента, аf f (z) f (z0 ) - приращением функции при переходе из точки z0 в точку z .

Определение 3 может быть сформулировано и на языке приращений.

Определение 4. Функция f называется непрерывной в точке z0 , если она определена в этой точке и из условия z 0 сле-

Отметим некоторые результаты, связанные с понятием предела и непрерывности функции комплексного переменного.

13

точке (x0 , y0 ) .

Аналогичные результаты с некоторыми поправками имеют место для модуля и аргумента функции f .

1.5. Голоморфные (аналитические) функции комплексного переменного, геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть G и D – области на комплексной плоскости и f – отображение из G в D ( f :G D ). Говорят, что функция f дифференцируема в точке z0 G , если существует число A Bi такое, что приращение f (z) f (z0 ) функции f можно представить в виде

f (z) f (z0 ) A Bi (z z0 ) (z z0 )

для всех z из некоторой окрестности точки z0 , где бесконечно

дифференцируема в точке z0 , то, как и в случае функций дейст-

Так же, как и для действительнозначной функции действительного переменного, справедлив следующий результат.

14

Теорема. Для того, чтобы функция f (z) u(x, y) iv(x, y) была дифференцируема в точке z0 x0 iy0 необходимо и дос-

таточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке. Доказательство повторяет соответствующее доказательство

для действительнозначной функции действительного переменного.

Заметим, что для отображений из R2 в R2 существование производной не достаточно для дифференцируемости функции, нужно, чтобы производная существовала в некоторой окрестно-

z0 x0 iy0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Коши-Римана

виде

f (z) f (z0 ) A Bi (z z0 ) (z z0 )

для всех z из некоторой окрестности точки z0 , где бесконечно малая функция (z z0 ) имеет в точке z0 более высокий порядка малости, чем z z0 . Вспоминая, что

f (z) f (z0 ) u(x, y) iv(x, y) u(x0 , y0 ) iv(x0 , y0 )u(x, y) u(x0 , y0 ) i v(x, y) v(x0 , y0 ) ,

z z0 (x iy) (x0 iy0 ) (x x0 ) i( y y0 ) ,

можем записать

15

с одной стороны, и

f (z) f (z0 ) A Bi (z z0 ) (z z0 )

A Bi (x x0 ) i( y y0 ) (z z0 )

A(x x0 ) B( y y0 ) i B(x x0 ) A( y y0 ) Re i Im ,

с другой стороны. Сравнивая крайние части, получаем выполнимость условий Коши-Римана. Предполагая, что имеют место условия Коши-Римана и проделывая вычисления в обратном

порядке, получаем, что функция дифференцируема в точке z0 .

тогда и только тогда, когда производная функции по комплекс-

но сопряженному аргументу равна нулю, то есть f (z) 0 .

z

Определение. Функция f называется голоморфной (аналитической) в точке z0 G , если f дифференцируема в точке z0

16

и в некоторой ее окрестности и производная f (z) непрерывна в

точке z0 .

Отметим некоторые свойства голоморфных (аналитических) функций:

1)Основные элементарные функции голоморфны (аналитические) в своей области определения.

2)Композиция (суперпозиция) и линейная комбинация конечного числа голоморфных (аналитических) функций является голоморфной функцией.

3)Произведение конечного числа аналитических (голоморфных) функций есть функция аналитическая (голоморфная).

4)Если знаменатель отличен от нуля, то отношение голоморфных (аналитических) функций есть функция голоморфная (аналитическая).

Геометрический смысл модуля и аргумента производной

f (z) f (z0 ) f (z0 )(z z0 ) (z z0 ) , где (z z0 ) есть бес-

конечно малая более высокого порядка малости, чем z z0 .

нивая с линейной функцией w az b приходим к выводу, что

водной arg f (z0 ) равен углу поворота при отображении f любого направления исходящего из точки z0 .

17

Гармонические функции. Гармоничность действительной и мнимой частей

аналитической (голоморфной) функции

Функция u(x, y) называется гармонической, если она удов-

летворяет уравнению Лапласа 2u(x, y) 2u(x, y) 0 . Пока-

x2 y2

жем, что действительная и мнимая части голоморфной (аналитической) функции являются гармоническими функциями.

Дифференцируя обе части первого условия Коши-Римана по по x , а второго условия по y , получаем

Складывая первый результат со вторым и учитывая равенство смешанных производных (в случае их непрерывности), получаем, что действительная часть голоморфной функции удовлетворяет уравнению Лапласа, то есть является функцией гармонической. Аналогично, дифференцируя обе части первого условия Коши-Римана по y , а второго условия по x , и складывая

результаты, получаем, что и мнимая часть есть функция гармоническая.

1.5. Интеграл от функции комплексного переменного

Определение. Пусть в комплексной плоскости задана непрерывная кусочно-гладкая кривая L и на L – функция комплексного переменного f (z) . Разобьем L на части точками

z0 , z1,...,zn и внутри каждого элементарного участка кривой выберем по точке 0 , 1,..., n 1 . Найдем значения функции в точках0 , 1,..., n 1 , умножим полученные значения на zk zk 1 zk и

18

n 1

просуммируем. Предел полученных сумм n f ( k ) zk по

k 0

всевозможным разбиениям, если он существует, не зависит от способа разбиения кривой на части и выбора точек внутри каж-

дого элементарного участка кривой при условии, что max zk

0 k n 1

стремится к нулю, называется криволинейным интегралом от функции комплексного переменного и обозначается f (z)dz .

Переходя в этом соотношении к пределу по всевозможным разбиениям, получаем что

f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy ,

L L L

то есть интеграл по кривой L от функции f комплексного пе-

ременного представляет собой сумму двух криволинейных интегралов 2-го рода от функций действительного переменного.

на вещественной плоскости R2 и является гладкой или кусочногладкой. Тогда интеграл от функции комплексного переменного может быть посчитан по формуле

t2

f (z)dz u(x(t), y(t)x (t) v(x(t), y(t) y (t) dt

19

t2

i v(x(t), y(t)x (t) u(x(t), y(t) y (t) dt .

числения интеграла от функции комплексного переменного можем записать в виде

t2

f (z)dz f (z(t))z (t)dt .

Заметим, что, если подынтегральная функция голоморфна (аналитична), то интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек и, следовательно, для аналитических функций, справедлива формула НьютонаЛейбница

zB

f (z)dz f (z)dz F zB F zA ,

L z A

где L - любая кривая, соединяющая точки z A и zB .

Свойства интеграла от комплексной функции комплексного переменного.

1. ( f (z) g(z))dz f (z)dz g(z)dz .

L L L

20