Математика. Дополнительные главы
.pdfL e p0t f t p F ( p p0 )
Доказательство. Действительно
|
|
|
|
|
|
L e p0t f t p e p0t f t e pt dt f t e ( p p0 )t dt F ( p p0 ) . |
|||||
0 |
|
|
0 |
|
|
5. Дифференцирования оригинала. Если (Lf )( p) F ( p) , и |
|||||
f (t) , f (t) , …, f (n) (t) |
оригиналы, то |
|
|||
L f t p pF( p) f ( 0) , |
|
||||
L f t p p2F( p) pf ( 0) f ( 0) , |
|
||||
L f (n) t p pn F( p) pn 1 f ( 0) ... f (n 1) ( 0) . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Действительно L f t p f t e pt dt . |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем интеграл f t e pt dt с помощью формулы интег- |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
рирования по частям |
|
с |
u e pt , |
dv f (t)dt . |
Тогда |
du pe pt dt , v f (t) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f t e pt dt f (t)e pt |
|
0 p f t e pt dt pF( p) f ( 0) ,. |
|||
|
|||||
0 |
|
|
0 |
|
|
так как lim f (t)e pt 0. Далее, |
|
|
|
||
t |
|
|
|
|
|
L f t p pL f t p f ( 0) |
|
||||
p L f t p f ( 0) f ( 0) p2 F( p) pf ( 0) f ( 0) . |
|||||
По аналогии |
|
|
|
|
|
L f (n) t p pL f (n 1) t p f (n 1) ( 0) |
|
||||
p L f (n 2) t p f (n 2) ( 0) f (n 1) ( 0) ... |
|
||||
pn F( p) pn 1 f ( 0) ... f (n 1) ( 0) |
|
||||
6. Дифференцирование |
|
|
изображения. |
Если |
|
(Lf )( p) F ( p) , то |
|
|
|
|
|
F ( p) L(tf (t))( p) ,
91
F(n) ( p) L(( 1)n tn f (t))( p) .
В частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
L tn ( p) |
|
n! |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
pn 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. Действительно, дифференцируя по пара- |
|||||||||||||||||||
метру под знаком интеграла, получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F ( p) |
f t e pt dt |
f t |
|
e pt dt |
|
f t ( t)e pt dt |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dp |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
dp |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( t) f t e pt dt L( tf (t))( p) . |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее по индукции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Интегрирование оригинала. Если (Lf )( p) F ( p) , то |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
F ( p) |
|
||||||
|
|
|
|
L f ( )d ( p) |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
Доказательство. Так как |
f t оригинал, то g(t) f ( )d |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
d |
t |
|
|
|
|
|
t , |
|
|
|
|
|||||
тоже оригинал и g (t) |
|
f ( )d f |
|
g(0) 0 . Поэтому |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F ( p) L f (t) ( p) L g (t) pL g(t) ( p) g(0) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p |
f ( )d e |
|
|
dt . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разделив крайние части равенства на |
p , получаем требуемое. |
||||||||||||||||||
8. Интегрирование изображения Если |
|
(Lf )( p) F ( p) , и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
||
интеграл F ( p)dp абсолютно сходится, то |
|
оригинал и |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
F ( p)dp . |
||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
( p) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
p |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Примем эту теорему без доказательства.
92
t
Функция ( f g)(t) f ( )g(t )d называется свёрткой
0
функций f (t) и g (t) .
Свойства свёртки.
1. Свёртка симметрична, то есть ( f g)(t) (g f )(t) .
Доказательство. Действительно, сделав в |
интеграле |
|||
t |
|
|
|
|
f ( )g(t )d |
замену |
s t , получаем |
t s , ds d , |
|
0 |
|
|
|
|
t |
0 |
t |
|
|
f ( )g(t )d f (t s)g(s)ds f (t s)g(s)ds . |
Крайние |
|||
0 |
t |
0 |
|
|
части отличаются только обозначениями.
2. Если (Lf )( p) F ( p) , (Lg)( p) G( p) , то
L ( f g)(t) ( p) F( p)G( p) .
Доказательство. Примем эту теорему без доказательства. 3. Формула Дюамеля
|
t |
|
|
|
|
L |
f (0)g(t) f ( )g(t )d ( p) pF ( p)G( p) . |
|
|
0 |
|
Доказательство. Примем эту теорему без доказательства.
Таблица оригиналов и изображений
оригинал |
изображение |
|||||||
h(t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
cos t |
|
|
|
p |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p2 |
2 |
|||||
sin t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
p2 |
2 |
|||||
93
t n |
n! |
|
pn 1 |
|
ch t |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
2 |
||||
|
sh t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p2 |
2 |
||||
|
e t cos t |
|
|
p |
|
||||
|
|
|
p 2 |
2 |
|||||
|
e t sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
2 |
|||||
Первая теорема обращения. Если |
F ( p) является изобра- |
||||||||
жением функции f (t) , то в каждой точке непрерывности f (t)
|
1 |
a i |
|
f t L 1 F p t |
F p e pxdp , |
||
2i |
|||
|
a i |
||
|
|
где интеграл берётся вдоль любой прямой с Re p a r0 , а r0 -показатель роста функции f (t) .
Доказательство. Примем эту теорему без доказательства.
Вторая теорема обращения. Если
1) функция F ( p) аналитическая в полуплоскости Re p r0 , и в
полуплоскости Re p r0 |
имеет конечное число полюсов; |
||||||||||
|
0 , |
где CR -дуги окружностей |
|
|
R , |
||||||
2) lim max |
F( p) |
|
p |
||||||||
R p CR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re p r0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a i |
|
|
|
3) для любого a r0 |
абсолютно сходится интеграл |
F p dp , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a i |
|
|
|
то функция f t L |
|
|
|
Re s F ( p)e |
|
есть ори- |
|||||
|
F p t h(t) |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
k |
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гиналом для F ( p) .
Доказательство. Примем эту теорему без доказательства.
94
ЛИТЕРАТУРА
1.Сборник задач по теории аналитических функций / Под
ред. М.А. Евграфова. 2-е изд. – М.: Наука, 1972. – 416 с.
2.Волковыский Л.И., Лунц Г,Л., Араманович И.Г. Сборник
задач по теории функций комплексного переменного. –
М.: Физматгиз, 1960. –368 с
3.Сборник задач по курсу высшей математики. / Кручкович
Г. И., Гутарина Н. И., Дюбюк П. Е. и др. Учебное пособие для втузов. Изд. 3-е, перераб. – М.: Высшая школа, 1973. – 576 с.
4.Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Ч.1. Общие функциональные ряды и их приложение: Учеб. Пособие для втузов – М.: Высшая школа, 1980. – 279 с.
5.Магазинников Л.И. Высшая математика 3. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования. – Томск: Изд-во ТУСУРа, 2002. – 206 с.
6.Магазинников Л.И., Глазов Г.Н. Высшая математика. Специальные разделы (для автоматизированной технологии обучения). Ч. 1 – Томск: Изд-во Том.ун-та,
1992. – 198 с.
7.Магазинников Л.И., Глазов Г.Н. Высшая математика. Специальные разделы (для автоматизированной технологии обучения). Ч. 2. – Томск: Изд-во Том.ун-та,
1992. – 193 с.
8.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. – СПб.: Лань, 2009.– 800 с.
95