Компьютерная графика

Рис. 4. К произвольному преобразованию координат точки М

описывается соотношениями

х1 = x y ,

у1 = x y , (*)

где , , , , , произвольные числа, но при этом

Последнее требование означает, что обязательно существует обратное преобразование, и в этом случае можно говорить о взаимно однозначном соответствии точек М и М1, а преобразование (*) называется невырожденным. Соотношения (*) можно рассматривать:

В последнем случае можно мысленно совместить новую и старую систему координат с «привязанными» к ним точками, тогда в совмещенных координатах это будут две различные точки. Ясно, что в этом случае переход от координат одной точки к другой будет описываться тем же соотношением (*).

Рассмотрим частные случаи преобразований координат, соответствующие конкретным перемещениям точки на плоскости в системе

ОХУ.

А) Поворот отрезка ОМ = l (или движение точки М) вокруг точки О на угол (рис. 5). В этом случае координаты точки в ее новом положении, отмеченные индексом 1, связаны с исходными координатами (без индексов) соотношениями

В самом деле, из рис. 5 видно непосредственно, что

x1 = l* cos( + ) = l*cos * cos - l*sin *sin ,

и выражения (а) получаются очевидным образом.

Рис. 5. Поворот (движение) точки М вокруг начала координат на угол

Б) Растяжение-сжатие отрезка ОМ (перемещение точки М) вдоль осей.

В этом случае координаты точки в новом и старом положениях связаны зависимостями

Рис. 6. Преобразование растяжения при 1

В) Отражение относительно оси абсцисс

Рис. 7. Преобразование отражения относительно оси х Очевидны преобразования координат точки при таком преобразовании:

горизонтальная координата (абсцисса) не меняется, а вертикальная (ордината)

меняет знак

х1 = х, у1 = - у.

Г) Перенос точки задается формулами

х1 = х + , у1 = у + ,

из которых видно, что знаки и количественные значения величин и определяют направление и величину переноса.

Из рассмотренных примеров следует два вывода.

1.Частные случаи имеют достаточно наглядный смысл.

2.Любое преобразование типа (*) можно представить как суперпозицию

(наложение) простейших преобразований типа А), Б), В), Г).

Последнее утверждение не является очевидным, но в математике оно строго доказано. Поэтому говорят, что эти четыре частных преобразования образуют базис (основной набор) любых преобразований координат точки при

еедвижении в двумерном аффинном пространстве (на плоскости).

Взадачах КГ удобно использовать матричное представление этих преобразований:

Оказывается, в такой форме – матричной – нельзя записать четвертое преобразование. Это вносит известные неудобства, так как желательно все четыре преобразования координат записывать в едином виде – тогда и любое произвольное преобразование можно выразить такой же записью, поскольку оно сводится, как уже говорилось, к их суперпозиции (наложению).

Прежде чем двигаться дальше, приведем некоторые справочные сведения из алгебры матриц, которые нам понадобятся .

Матрицей называется упорядоченная система m·n чисел. Если m = n, матрица называется квадратной.

Если все аij = 0 при i j, получаем так называемую диагональную матрицу.

Если в диагональной матрице все аii = 1, то матрица единичная.

Заметим, что произвольная точка на прямой ОМ может быть задана координатами (hx, hy, h), h 0.

Вектор, определенный этой тройкой, пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у, 1) - и она однозначно определяет точку (х, у) в плоскости ХОУ.

Тем самым между точками (х, у) и множеством (hx, hy, h) образуется взаимно-однозначное соответствие, что позволяет считать числа (hx, hy, h) однородными координатами точки М.

Впроективной геометрии для таких координат принято обозначение х : у

:1, или в общем случае х1 : х2 : х3.

** *

Использование однородных координат оказывается зачастую удобным при проведении разного рода расчетов. Так, если речь идет об изменении масштаба, а устройство отображения работает только с целыми числами, то для точки с однородными координатами (0.5; 0.1; 2.5) устройство работать не будет. Выбрав тогда h = 10, получим тройку целых чисел (5; 1; 25). Если же у точки координаты (80000, 40000, 1000), то при преобразовании ее координат может произойти переполнение арифметического устройства. В этом случае можно взять h = 0.001, при этом однородные координаты будут (80, 40, 1).

Таким образом, основная цель введения однородных координат – удобство их использования.

Из этих матриц 3*3 можно получить для частных случаев:

А - матрица вращения – Rotation

Б- матрица растяжения сжатия – Dilatation

0 0

[D] = 0 0 ;

0 0 1

В - матрица отражения (зеркало) - Reflection (Mirror)

Г - матрица переноса – Translation

Пример: построить матрицу поворота вокруг точки А(а, b) на угол . Решение заключается в построении последовательности преобразований,

которые были рассмотрены выше. Так как существует матрица, определяющая поворот вокруг начала координат, первый шаг и совмещает точку с заданными координатами с началом координат.

1 шаг. Переносим точку А на вектор (-a, -b) для совмещения заданного центра поворота, точки А, с началом координат:

2 шаг. Осуществляем стандартное (базисное) преобразование поворота вокруг точки А, совмещенной с началом координат, на угол :

3 шаг. Переносим полученное изображение на вектор (а, b) в исходное положение:

1 0 0

[T]-1 = 0 1 0 .

аb 1

Итоговое преобразование в виде матрицы получается как перемножение (следует обратить внимание, что именно произведение, а не сумма) матриц отдельных (базисных) преобразований:

cos sin 0

При вращении вокруг оси ОХ координата любой точки х не меняется, и в соответствующей матрице [Rх] единица в первой строке отражает это обстоятельство. Аналогично построены и две другие матрицы вращения.

В этой матрице коэффициенты α, β, γ задают масштаб изменения размеров изображения вдоль осей ОХ, ОУ, ОZ соответственно. При равенстве этих коэффициентов друг другу будет построено изображение, подобное исходному. Если эти коэффициенты больше единицы, изображение увеличивается, меньше – уменьшается.

В. Матрицы отражения относительно плоскостей XOY, YOZ, ZOX:

Каждая из этих матриц меняет знак одной из координат точки (и изображения в целом), что и означает получение зеркального отображения относительно плоскости, перпендикулярной этой координате.

В этой матрице параметры λ, μ, ν определяют смещения изображения вдоль осей x, y, z соответственно.