i (1 1 ) 1i 1 ,i 1; 02 1 a a 2 (1 1 ) ,
(2.35)
где
|
|
2 |
(1 a) (1 a) |
|
|
|
1 |
|
(1 a) ( 2 |
1)2 a( 2 1)2 |
|
||
|
|
2a 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Из выражения (2.35) при 2 0
02 1 a; 1 1,i 2,3....
2.4.Модель системы восстановления непрерывного случайного сигнала по дискретной импульсной последовательности
Рассматриваемая зада линейной оценки по минимуму среднеквадратичной ошибки текущих значений выборочной функции x(t) случайного процес-
са X (t) |
по наблюдаемым в случайные моменты времени ti их значениям |
x(ti ) : |
|
|
N |
x(t) x(ti )h(t,ti ) |
|
|
i 1 |
(2.36)
где h(t, ) – весовая функция сглаживающего фильтра; N – число импульсов на интервале 0,t . Данная задача возникает, например, при оценки текущих значений коэффициента передачи тракта сцинтилляционного детектора ионизирующих излучений. В этом случае x(ti ) - значение коэффициента передачи тракта в моменты ti случайность которых обусловлена как источником излучения, так и неоднородностью просвечиваемой среды. Целью данного раздела является решение этой задачи при произвольном потоке однородных событий {ti } , что позволяет использовать получаемые результаты при разработке широкого класса практических задач.
Определение ошибки восстановления сигнала x(t)
2 (t) x2 (t) 2x(t)x(t) x 2 (t)
(2.37)
Может быть осуществлено путем обобщения известного результата по определению параметров случайного процесса, порожденного импульсной последовательностью, на случай сглаживающего фильтра со случайным во времени коэффициентом усиления:
u |
|
t |
|
L exp u(t)x( )h(t, )dt 1 |
|||
|
|
0 |
|
x (t )
(2.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где u |
- характеристический функционал формируемой оценки; L u - |
|||||||
производящий функционал потока событий {ti } ; |
. x ( t ) - символ усреднения |
||||||||
по всевозможным значениям сигнала x(t) . Тогда из выражения (2.36 - 2.38) |
|||||||||
при |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
x(t) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
(t) |
|
t |
t |
t t |
||||
|
|
|
1 2 g1 ( ) (t, )h(t, )d g1 ( )h2 (t, )d g1 ( )g1 ( ) g2 ( ) |
||||||
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
x |
(t) |
0 |
0 |
0 0 |
||
( , )h(t, )h(t, )d d
где (t1 ,t2 ) |
– коэффициент корреляции сигнала x(t) ; gn (t1 ,...,tn ) , |
||||
n 1,2 - корреляционные функции n -ого порядка потока событий {ti } : |
|||||
gn (t1 ,...,tn ) |
n L[u] |
|
|
|
u 0 |
|
|
|
|||
u(t ).. u(t |
n |
) |
|
||
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
Минимизация функционала ошибки 2 (t) приводит к интегральному уравнению
h(t, )g1 ( ) t g1 ( )g1 ( ) g2 ( , ) ( , )h(t, )d g1 ( ) (t, )
0
(2.40)
- уравнение Фредгольма второго рода. Данное уравнение является аналогом уравнения Винера – Хопфа. Ошибка измерения в этом случае
|
|
|
|
|
h(t, )g1 |
|
|
|
|
||||
2 (t) x2 (t) 1 |
( ) (t, )d |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.41)
Анализ выражений (2.39) и (2.41) показывает, что задача восстановления сигнала x(t) по дискретной импульсной последовательности может быть представлена как задача фильтрации случайного сигнала в условиях «белого шума» с интенсивностью, пропорциональной параметру g1 (t) и мультипликативной помехи (t) . иными словами, справедливо следующее модельное представление: на входе сглаживающего фильтра наблюдается процесс
|
y(t) x(t) g1 (t) (t) n(t) |
|
|
|
|
|||||
|
где |
|
|
|
|
|
|
- |
«белый» |
шум; |
(t) |
0, (t1 ) (t2 ) g2 (t1 ,t2 ) ; |
n(t) |
||||||||
|
|
g1 (t1 )g2 (t2 ) (t2 t1 ) . Оптимальная весовая |
|
функция h(t, ) |
или |
|||||
n(t1 )n(t2 ) |
|
|||||||||
ошибка 2 (t) при заданных (t1 ,t2 ) и g2 (t1 ,t2 )
Рассмотрим следующие частные случаи разработанной модели при стационарных потоке событий {ti } и сигнале x(t) .
1Допустим, что ( )g2 ( ) ( )g2 (0) . примером такого потока событий является отрицательно – биноминальный поток. Тогда задача восстановления сигнала x(t) , как следует из выражения (2.40), эквивалентная задача извлечения сигнала x(t) из некоррелированных с ним «белого» и «окрашенных» шумов, причем характеристики последнего с точностью до множителя g2 (0) совпадают с характеристикой
сигнала x(t) . Предполагая, что g1 |
1 |
, где |
|
– интервал корреля- |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ции сигнала x(t) , можно показать, что |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h( ) 1 g2 (0) 1 ( ) , 0 ; |
|
x2 (t)g2 (0) |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
1 g2 (0) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, оптимальный фильтр есть усилитель.
2Допустим, что ( )g2 ( ) (0)g2 ( ) . данное модельное представление справедливо, например, для парнокорреляционного потока собы-