Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и
радиоэлектроники»
Кафедра электронных приборов
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Методические указания к лабораторной работе для студентов направления «Фотоника и оптоинформатика» и
«Электроника и микроэлектроника»
2012
Гейко Павел Пантелеевич
Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа: методические указания к лабораторной работе для студентов направления «Фотоника и оптоинформатика» и «Электроника и микроэлектроника» / П.П. Гейко; Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Кафедра электронных приборов. - Томск: ТУСУР, 2012. - 12 с.
Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения эллиптического типа в MathCad.
Пособие предназначено для студентов обучающихся по направлению «Фотоника «Электроника и микроэлектроника» по математической физики».
очной и заочной форм, и оптоинформатика» и дисциплине «Методы
© Гейко, Павел Пантелеевич, 2012
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»
Кафедра электронных приборов
УТВЕРЖДАЮ Зав.кафедрой ЭП
_____________С.М. Шандаров «___» _____________ 2012 г.
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Методические указания к лабораторной работе для студентов направления «Фотоника и оптоинформатика» и
«Электроника и микроэлектроника»
Разработчик
__________П.П. Гейко «____»______________2012 г
2012
4
Содержание
1.Введение ………………………………………………………………….5
2.Теоретическая часть ……………………………………………………….5
3Экспериментальная часть ………………………………………………….6
3.1.Методические указания………………………………………………….6
3.2.Задание ……………………………………………………………………9
3.3.Содержание отчета ………………………………………………………11
Список литературы ………………………………………………………… 11
5
1
:
MathCad.
2
,
.
.
1.
:
1. , n
( c. 2.1).
2.1 –
2.:
|
|
|
|
|
f |
|
fi 1, j fi 1, j |
, |
|
|
f |
|
fi , j 1 |
fi , j 1 |
, |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
x |
|
2h |
|
|
y |
|
2l |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 f |
|
|
fi 1, j 2 fi , j fi 1, j |
|
, |
2 f |
|
fi , j 1 |
2 fi , j |
|
fi , j 1 |
. ., |
|
||||||
|
x 2 |
|
h2 |
|
|
|
y 2 |
|
|
l 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
fi, j, fi +1, j, fi -1, j, |
fi,j +1, fi, j - 1 |
- f(x, y) (xi, yj), |
||||||||||||||||||
(xi + h, yj), (xi - h, yj), (xi, yj + l), (xi, yj - l) .
n n .
3.
.
6
2.
, ,
, . .
3
3.1
:
1)
,
. ( ,
,
, .
,
, ,
); 2) ,
( x, y,z) .
,
( x, y,z)
1)
( x, y,z) 2 2 2 0
x 2 y 2 z2
(2)
( 2)
( x, y,z) |
2 |
|
2 |
|
2 |
( x, y ,z ) |
(3) |
|
x 2 |
y 2 |
z2 |
||||||
|
|
|
|
|
(1), (2)
.
j, .
, (1), (2)
.
:
1)j
( ) , ,
, ( . 3.1));
2)(
j );
7
3)
j ).
3.1
- .
0 x q1 |
0 y q2 |
||||
x, y: |
|
|
|
|
|
|
2u |
|
2u |
f ( x, y ) |
(4) |
|
x 2 |
y 2 |
|||
|
|
|
|
||
: |
|
|
|
|
|
u(0, y) = 1(y), u(a, y) = 2(y), y [0, b], |
|
||||
u(x, 0) = 3(x), u(x, b) = 4(x), x [0, a], |
(5) |
||||
f, 1, 2, 3, 4 - ( ,
).
h l y : xi = i h, i = 0, 1, ..., n, h = q1 / n; yj = j l, j = 0, 1,
..., m, l=q 2 /m .
(4) - (5)
” ( . 3.2),
3.2 –
:
8
|
ai , j ui 1, j |
bi , j ui 1, j ci , j ui , j 1 di , jui , j 1 ei , j ui , j fi , j |
(6) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
, c |
|
d |
|
|
|
, |
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i , j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
h2 |
|
|
|
l 2 |
|
l 2 |
|
|
||||||||||||||
|
i , j |
i , j |
|
|
i , j |
|
i , j |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
u0, j |
1( y j |
) , |
un , j |
2( y j |
) , |
j 0, 1 ...m |
||||||||||
i 1,2 ...n -1, j 1, 2 ...m -1 , |
|
ui ,0 |
3( xi |
) , |
ui ,m 4( xi |
) , |
i 0, 1 |
...n |
|||||||||||||||
(6)
ji (i=1;N-1),
( .
,
, ).
.
,
.
),
. .
[1, 2] (
!).
Mathcad
( relax)
relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac)
. a ,b ,c, d, e -
, (4); f -
, (4)
, ; u -
,
; rjac- 0
1, .
f 0 :
2u |
|
2u |
0 |
(7) |
|
x 2 |
y2 |
||||
|
|
|
y, (6)
ui 1, j ui 1, j ui , j 1 ui , j 1 4ui , j 0
i 1,2 ...n -1, j 1, 2 ...m -1
u0, j 1( y j ) , |
un , j 2( y j ) , |
j 0, 1 ...m |
|
ui ,0 3( xi ) , |
ui ,m 4( xi ) , |
i 0, 1 ...n |
(8) |
9
3.2
1,
|
|
|
2u |
|
2u |
0 |
|
|
|
|
x 2 |
y2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
u(0, y) = f1(y), (0 |
y |
1), |
|
|
|
u(1, y) = f2(y), (0 |
y |
1), |
u(x, 0) = f3(x), (0 |
x |
1), |
|
|
|
u(x, 1) = f4(x), (0 |
x |
1). |
relax.
11 x (i = 0, 1, ... 10)
11 y (j = 0, 1, ... 10).
Graphics Create Contour Plot
.
|
|
|
f1(y) |
|
f2(y) |
|
f3(x) |
|
f4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e y - ey2 |
|
y |
|
1 - x3 |
|
x2 |
|
|
2 |
|
y2 |
|
cos y + (2 - cos 1) y |
|
x3 |
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
1 - y2 |
|
y |
|
sin x + 1 - x3(1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ sin 1) |
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
y |
|
sin x- x3 sin 1 |
|
x |
|
|
5 |
|
e y + y2 (1 - e) - 1 |
|
y |
|
0 |
|
x |
|
|
6 |
|
y2 |
|
cos y + (3 - cos 1) y |
|
x3 |
|
1 + 2x |
|
|
7 |
|
0 |
|
y |
|
sin x- x3 sin 1 |
|
x2 |
|
|
8 |
|
2ey - (1+2e) y2 1 |
|
- y |
|
1 - x3 |
|
x - 2 |
|
|
9 |
|
- 10y2 - 8y + 6 |
|
- 10y2 - 30y + 22 |
|
9x2 + 7x + 6 |
|
9x2 - 15x - 12 |
|
|
10 |
|
- 7y2 - 5y + 3 |
|
- 7y2 - 21y + 13 |
|
6x2 + 4x + 3 |
|
6x2 - 12x - 9 |
|
|
11 |
|
1 |
|
y + 1 |
|
1 |
|
1 + x |
|
|
12 |
|
1 |
|
e y |
|
1 |
|
e x |
|
|
13 |
|
- y2 - 5y |
|
4 + 5y - y2 |
|
x2 + 3x |
|
x2 + 3x + 4 |
|
|
14 |
|
3 - 7y |
|
7 - 6y |
|
4x + 3 |
|
5x - 4 |
|
|
15 |
|
0 |
|
sin y |
|
0 |
|
sin x |
|
( 1).
10
i,j (6)