СПИНТех - Прикладная информатика / ЧМ_ЛР-6_Толстов_П-31

Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, при этом обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) p -го порядка

можно привести к эквивалентной системе p дифференциальных уравнений первого порядка путем введения новых переменных

Где k=0, 1, … , p-2.

Для решения задачи Коши введем по переменной t равномерную сетку с шагом τ > 0, т.е. рассмотрим множество точек ω_t = {t_n = τn , n = 0,1,...}. Будем обозначать через u(t) точное решение, а через y_n = u(t_n) - сеточное, определенное только в точках сетки ωτ.

Принимая, что t = t_j и t + τ = t_j+1 , получаем явную формулу Эйлера для решения задачи Коши:

Неявная формула Эйлера

В случае, если для нахождения решения используется только значение функции на предыдущем шаге, методы называют одношаговыми, если же необходимо знание значений функции в более чем одном предыдущем шаге, методы относят к многошаговым.

Одношаговые методы Рунге - Кутты. Пусть u(t) - решение дифференциального уравнения u′(t) = f (t,u). Запишем равенство, вытекающее из формулы Ньютона - Лейбница, в следующем виде:

Заменим интеграл квадратурной суммой:

Перепишем равенство (5):

Подставим и получим:

, где

Полученная рекуррентная система задает явный одношаговый метод вычисления решения, использующий m вспомогательных значений правой части на элементарном отрезке [t_n , t_n+1], поэтому его называют m - этапным методом Рунге - Кутты. Кроме этого, если |fu (t,u(t))| ≤ L ( L = const ≤ ∞), то m - этапный метод Рунге - Кутты устойчив на конечном отрезке. Если, кроме этого, он имеет p -й порядок аппроксимации, то метод сходится с p -м порядком точности.

function u_res = func1(t,u)

u_res = exp(-1*t)*(3+u^2);

end

#-----метод Эйлера

a = 0;

b = 1;

n = 50;

h = (b-a)/n;

t = a:h:b;

u0 = 0;

u = zeros(1,n+1);

u(1) = u0;

for i1 = 1:n

u(i1+1) = u(i1) + h * func1(t(i1),u(i1));

end

u_e = u;

plot(t,u_e)

#-----метод Рунге-Кутты

for i1 = 1:n

k1 = func1(t(i1),u(i1));

k2 = func1(t(i1)+h/2,u(i1)+h*k1/2);

k3 = func1(t(i1)+h/2,u(i1)+h*k2/2);

k4 = func1(t(i1)+h,u(i1)+h*k3);

u(i1+1) = u(i1)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

end

u_r=u;

plot(t,u_e,'g',t,u_r,'b')

#-----стандартные методы

[T,u_m] = ode45('func1',t,u0);

figure(2)

plot(T, u_m);