Дискретка ч1

Решение типового варианта

Задача 1. Выразить данную операцию над множествами через объединение, пересечение и дополнение: A B C A B A C

а) используя определения операций над множествами

б) с помощью алгебры логики.

Изобразить результат на кругах Эйлера. Соответствующую булеву функцию привести к СДНФ, СКНФ, построить многочлен Жегалкина.

Решение.

Проверить справедливость тождества

а) на кругах Эйлера

б) с помощью алгебры логики.

A B C A B A C

Решение

а) Отметим на кругах Эйлера соответствующую область:

б) Пусть U – универсум для множеств A, B,C . Рассмотрим предикаты принадлежности X x A , Y ( y B), Z (z C) . С использованием таблицы соответствия теоретико-множественных и логических операций:

задача сводится к проверке справедливости тождества

X Y Z X Y X Z .

Составляем таблицу истинности для левой и правой частей:

Из таблицы истинности видно, что тождество верно. Возможны другие способы доказательства, например использование тождественных преобразований логических формул (в данном случае тождество представляет собой дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции).

Проверьте, будут ли эквивалентны следующие формулы двумя способами. Приведите первую формулу к СДНФ, СКНФ, постройте многочлен Жегалкина. Какой теоретико-множественной операции соответствует первая формула?

x y z и x y x z .

Способ 1. Проверка по таблице истинности

Из таблицы истинности видим, что формулы эквивалентны.

Способ 2. Метод алгебраических преобразований

Сучѐтом того, что x y x y , получаем

xy z x y z x y z .

x y x z x y x z x y x z

x x z y x z x y z.

Формулы эквивалентны

Воспользовались законом де Моргана, ассоциативностью и коммутативностью дизъюнкции, дистрибутивностью дизъюнкции относительно конъюнкции и законом исключѐнного третьего.

СДНФ и СКНФ построим с помощью таблицы истинности. Для наглядности при построении СДНФ используем двойственную функцию

Столбец значений F получается инвертированием столбца значений F.

Получаем:

СДНФ: F xyz xyz xyz xyz xyz xyz xyz ;

СКНФ: F x y z .

Из СКНФ видим, что соответствующая F теоретико-множественная операция

– это трѐхместная операция A B C .

Многочлен Жегалкина удобно строить по таблице истинности методом треугольника (Паскаля):

Получаем многочлен Жегалкина

F 1 y yz xy xyz .

Пояснения:

Верхняя строка треугольника – это транспонированный столбец значений F.

Очередной элемент треугольника получается путѐм сложения по модулю 2 элемента над ним и его соседа справа.

Слагаемые многочлена Жегалкина соответствуют единицам в левом столбце треугольника (выделен жирным шрифтом). В них входят переменные, принимающие значение 1.

Многочлен Жегалкина можно построить и другими методами, например алгебраическим преобразованием СДНФ или методом неопределѐнных коэффициентов.

Задача 2. Для заданной булевой функции f x1, x2 , x3 , x4 V 6,7,8,10,11,12,15 :

а) составить таблицу истинности; б) составить СДНФ и минимизировать методом Квайна;

в) представить результат в скобочной форме;

г) построить логическую схему, используя полученную минимальную функцию и сделать проверку по таблице истинности.

Решение.

Составляем таблицу истинности.

Таблица №1.

Записываем заданную в форме СДНФ функцию

f x1, x2 , x3, x4 x1x2 x3x4 x1x2 x3x4 x1x2 x3x4 x1x2 x3x4 x1x2 x3x4 x1x2 x3x4 x1x2 x3x4

Составляем сокращенную ДНФ по методу Квайна, проводя склеивание.

Находим тупиковую форму методом покрытия. В результате получаем два

f1 x1x3x4 x1x2 x3 x1x2 x3 x2 x3x4

f2 x1x3x4 x1x2 x3 x1x2 x4 x1x3x4

Функцию f1 записываем в скобочной форме для реализации в логической схеме.

f1 x1 x3x4 x2 x3 x2 x3 x1 x4

Логическая схема

Проверяем полученную функцию f1 x1 x3x4 x2 x3 x2 x3 x1 x4 ,

сравнивая еѐ с заданной (Таблица №1).

x y z 0

Задача 3.Решить систему логических уравнений: x y z 1

x y z 1

Решение.

Составляем таблицу истинности для каждой функции, стоящей в левой части каждого уравнения.

Просматривая последовательно элементы каждой строки таблицы истинности в 4-м, 5-м и 6-м столбцах, ищем те строки, которые равны 0, 1, 1(соответственно в столбцах 4, 5 и 6). Если такие строки имеются, то эти

числа равны правым частям 1-го, 2-го и 3-го уравнения заданной системы. В данном случае это будет предпоследняя строка. Поэтому

x, y, z 1,1,0 .Следовательно, система имеет единственное решение

x1, y 1, z 0 .Если такой строки не существует, то система – несовместна.

Проверка. Подставляем ответ x, y, z 1,1,0 в заданную систему уравнений.

1 1 0 0

Получаем тождество: 1 1 0 1

1 0 1 1

Получено единственное решение системы: x 1, y 1, z 0.

Задача 4. Составить систему уравнений с булевыми переменными и найти

ее решение.

Рассмотрим задачу, составленную на основе логических высказываний. Любое высказывание может быть представлено в форме логических операций.

Рассмотрим пример:

A идет дождь; B дует ветер.

Составим таблицу №2.

Задача. В некоторой промышленной системе работают пять объектов, связанных друг с другом: x, y, z,u,v . Разработать сигналы, по которым часть

объектов должна быть остановлена, если заданы условия работы:

1)Если x работает, то работает и y .

2)Хотя бы один из объектов u или v должен обязательно работать.

3)Если объекты z и u будут работать, то только вместе.

4)Из двух объектов y и z должен работать только один.

5) Если объект v будет включен, то он может работать при включении и x

и u .

Решение. 1 способ:

Составим систему логических уравнений:

Решим систему методом последовательного исключения неизвестных.

Уравнение 3) выполняется только тогда, когда u 1 и z 1, подставляя эти значения в остальные уравнения системы, получим систему из четырех

Из уравнения 4) по таблице №2 находим y 0 . Уравнение 2) выполняется при любых значениях v . Из уравнения 1), которое после подстановки y 0 принимает вид x 0 1, находим x 0 .

Последнее уравнение системы 5) имеет вид: v 1& x 1 или v 0 1, откуда находим v 0.

Ответ: x, y, z,u,v 0,0,1,1,0 , следовательно, в системе работают только объекты z и u.

2 способ.

Эту же задачу решим с помощью таблицы истинности, которая при пяти аргументах должна состоять из 25 32 строк. Так как из уравнения 3)

z & u 1 следует, что z u 1, то систему можно упростить:

x y 1

y 1 1 .v x 1 1

Далее, составляем таблицу истинности.

В столбцах стоят значения четырех функций, которые являются левыми частями системы с тремя неизвестными x, y,v . Только при одной

комбинации неизвестных x y v 0 функции равны, соответственно, 1;1;1. Следовательно, ответ x, y, z,u,v 0,0,1,1,0 подтвердился.

Задача 5. Решить задачу:

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,3,4,5, если: а)

цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Решение. Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места