9. Теплопроводность через цилиндрическую однослойную и многослойную стенку. Упрощение расчетов.

а) цилиндрическая однослойная стенка.

Условия однозначности:

Рисунок 8 – Условия однозначности для цилиндрической однослойной стенки

– геометрические условия: задано отношение наружного к внутреннему диаметру цилиндрической стенки d₂ / d₁;

– физические условия: известен коэффициент теплопроводности материала стенки λ;

– временные (начальные) условия: стационарная теплопроводность, т.е. температура в каждой точке тела не изменяется;

– граничные условия первого рода: заданы температуры на внешней и внутренней поверхностях стенки.

Для представленного случая закон Фурье (с учётом условий однозначности) примет вид

или

где q_l = Q / l – линейная плотность теплового потока, т.е. тепловой поток, приходящийся на единицу длины цилиндрической поверхности, Вт/м.

Температура в цилиндрической однослойной стенке при стационарном режиме изменяется по логарифмическому закону. Изобразим график изменения температуры внутри цилиндрической однослойной стенки

Рисунок 9 – График изменения температуры внутри цилиндрической однослойной стенки

б) многослойную цилиндрическую стенку

Условия однозначности:

Рисунок 10 – Условия однозначности для цилиндрической многослойной стенки

– геометрические условия: задано отношение наружного к внутреннему диаметру цилиндрической стенки d_i+1 / d_i для каждого цилиндрического слоя;

– физические условия: известен коэффициент теплопроводности каждого слоя λ₁, λ₂, λ₃,…;

– временные (начальные) условия: стационарная теплопроводность, т.е. температура в каждой точке слоя не изменяется;

– граничные условия первого рода: заданы температуры на внешней и внутренней поверхностях многослойной стенки.

Запишем для каждого слоя своё уравнение теплопроводности:

–для первого слоя

– для второго слоя

– для третьего слоя

– для n-ного слоя

Таким образом, мы получили следующую систему уравнений

Выразим разности температур из каждого уравнения

Просуммировав правые и левые части всех уравнений и преобразовав полученное уравнение можно получить

где R_l – линейное термическое сопротивление многослойной цилиндрической стенки, м × К/Вт; R_li – линейное термическое сопротивление i-того цилиндрического слоя, м × К/Вт, которое определяется по выражению

Изобразим график изменения температуры во многослойной цилиндрической стенке. Если коэффициенты теплопроводности для трёхслойной стенки соотносятся следующим образом λ₁ < λ₂ < λ₃, то график будет выглядеть следующим образом

Рисунок 11 – График изменения температуры внутри цилиндрической многослойной стенки

10. Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях третьего рода (теплопередача). Постановка задачи

Дифференциальное уравнение теплопроводности позволяет опре­делить температуру в зависимости от времени и координат в любой точке поля.

Количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через пло­скую стенку, прямо пропорционально коэффициенту теплопровод­ности стенки   ее площади  , промежутку времени  , разности темпе­ратур на наружных поверхностях стенки  и обратно про­порционально толщине стенки  .

Тепловой поток зависит не от абсо­лютного значения температур, а от их разности (разности температур среды и стенки)  на­зываемой температурным напором.

11. Стацыянарная цеплаперадача праз плоскую сценку. Раунанне цеплаперадачы. Каэфіцыент цеплаперадачы. Тэрмічнае супраціуленне цеплаперадачы праз плоскую сценку. (стационарная теплопередача через плоскую стенку. Выравнивание теплопередачи. Коэффициент теплопередачи. Термическое сопротивление теплопередаче через плоскую стенку)

Условия однозначности:

Рисунок 1 – Условия однозначности для плоской однослойной стенки

– геометрические условия: стенка плоская толщиной δ;

– физические условия: известен коэффициент теплопроводности материала стенки λ;

– временные (начальные) условия: стационарная теплопроводность, т.е. температура в каждой точке тела не изменяется;

– граничные условия третьего рода: заданы температуры горячей и холодной жидкостей и коэффициенты теплоотдачи (α₁ – коэффициент теплоотдачи от горячей жидкости к стенке, α₂ – коэффициент теплоотдачи от стенки).

Процесс теплопередачи является сложным процессом и состоит из трех более простых:

– процесс теплоотдачи от горячей жидкости к стенке, который описывается уравнением конвективной теплоотдачи Ньютона-Рихмана

– процесс теплопроводности через стенку, который описывается уравнением теплопроводности

– процесс теплоотдачи от стенки к холодной жидкости, который описывается уравнением конвективной теплоотдачи Ньютона-Рихмана

Таким образом, мы получили следующую систему уравнений

Выразим разности температур из каждого уравнения

Просуммируем правые и левые части всех уравнений

Преобразовав полученное выражение, в итоге можем записать

где k – коэффициент теплопередачи, Вт/(м² × К), который для плоской однослойной стенки определяется по формуле

Изобразим график изменения температуры при теплопередаче через плоскую однослойную стенку.

Рисунок 2 – График изменения температуры при теплопередаче через плоскую однослойную стенку

12. Стацыянарная цеплаперадача праз шматслойную плоскую сценку. (стационарная теплопередача через многослойную плоскую стенку)

Условия однозначности:

– геометрические условия: известна толщина каждого слоя δ₁, δ₂, δ₃,…;

– физические условия: известен коэффициент теплопроводности каждого слоя λ₁, λ₂, λ₃,…;

– временные (начальные) условия: стационарная теплопроводность, т.е. температура в каждой точке тела не изменяется;

– граничные условия третьего рода: заданы температуры горячей и холодной жидкостей и коэффициенты теплоотдачи (α₁ – коэффициент теплоотдачи от горячей жидкости к стенке, α₂ – коэффициент теплоотдачи от стенки).

Процесс теплоотдачи от горячей жидкости к холодной жидкости описывается уравнением Ньютона-Рихмана

Процесс теплопроводности через первый одной слой описывается уравнением теплопроводности

Процесс теплопроводности через второй слой описывается уравнением теплопроводности

Процесс теплопроводности через n-ный слой описывается уравнением теплопроводности

Процесс теплоотдачи от стенки к холодной жидкости описывается уравнением Ньютона-Рихмана

Таким образом получаем следующую систему уравнений

Если из каждого уравнения выразить разность температур и далее сложить все правые и все левые части всех уравнений, то можно получить следующее уравнение.

Данное уравнение записывают в следующем виде

Это уравнение носит название – уравнение теплопередачи.

где k_м – коэффициент теплопередача для плоской многослойной стенки, Вт/(м² × К), который определяется по формуле

где n – количество слоёв в плоской многослойной стенке, δ_i – толщина i-того слоя, м; λ_i – коэффициент теплопроводности i-того слоя, Вт/(м × К).

Изобразим график изменения температуры при теплопередаче через плоскую многослойную стенку.

Рисунок 3 – График изменения температуры при теплопередаче через плоскую многослойную стенку

13. Графічны метад вызначэння тэмператур на паверхнях сценкі. (графический метод определения температур на поверхностях стенки)

14. Стацыянарная цеплаперадача праз цыліндрычную сценку. Раунанне цеплаперадачы, каэфіцыент цеплаперадачы. (стационарная теплопередача через цилиндрическую стенку. Выравнивание теплопередачи, коэффициент теплопередачи)

Условия однозначности:

Рисунок 4 – Условия однозначности для цилиндрической однослойной стенки

 

– геометрические условия: стенка цилиндрическая с отношением диаметров d₂ / d₁;

– физические условия: известен коэффициент теплопроводности материала стенки λ;

– временные (начальные) условия: стационарная теплопроводность, т.е. температура в каждой точке тела не изменяется;

– граничные условия третьего рода: заданы температуры горячей и холодной жидкостей и коэффициенты теплоотдачи (α₁ – коэффициент теплоотдачи от горячей жидкости к стенке, α₂ – коэффициент теплоотдачи от стенки).

Процесс теплоотдачи от горячей жидкости к стенке описывается уравнением Ньютона-Рихмана

Процесс теплопроводности через цилиндрическую стенку описывается уравнение теплопроводности

Процесс теплоотдачи от стенки к холодной жидкости описывается уравнением Ньютона-Рихмана

Получаем следующую систему уравнений

Выразив разности температур и сложив почленно правые и левые части всех уравнений можно получить следующее уравнение

где k_l – линейный коэффициент теплопередачи для однослойной цилиндрической стенки (Вт/(м × К)), который определяется по формуле

Изобразим график изменения температуры при теплопередаче через плоскую однослойную стенку.

Рисунок 5 – График изменения температуры при теплопередаче через цилиндрическую однослойную стенку

15. Стацыянарная цеплаперадача праз шматслойную цыліндрычную сценку. (стационарная теплопередача через многослойную цилиндрическую стенку)

Условия однозначности:

Рисунок 6 – Условия однозначности для цилиндрической многослойной стенки

– геометрические условия: задано отношение наружного к внутреннему диаметру цилиндрической стенки d_i+1 / d_i для каждого цилиндрического слоя;

– физические условия: известен коэффициент теплопроводности каждого слоя λ₁, λ₂, λ₃,…;

– временные (начальные) условия: стационарная теплопроводность, т.е. температура в каждой точке слоя не изменяется;

– граничные условия третьего рода: заданы температуры горячей и холодной жидкостей и коэффициенты теплоотдачи (α₁ – коэффициент теплоотдачи от горячей жидкости к стенке, α₂ – коэффициент теплоотдачи от стенки).

Процесс теплоотдачи от горячей жидкости к стенке описывается уравнением Ньютона-Рихмана

Процесс теплопроводности через первый слой цилиндрической стенки описывается уравнение теплопроводности

– для второго слоя цилиндрической стенки

– для n-ного слоя цилиндрической стенки

Процесс теплоотдачи от стенки к холодной жидкости описывается уравнением Ньютона-Рихмана

Получаем следующую систему уравнений

Выразив разности температур и сложив почленно правые и левые части всех уравнений можно получить следующее уравнение

где k_lм – линейный коэффициент теплопередачи для многослойной цилиндрической стенки (Вт/(м × К)), который определяется по формуле

Изобразим график изменения температуры при теплопередаче через плоскую однослойную стенку.

Рисунок 7 – График изменения температуры при теплопередаче через цилиндрическую многослойную стенку

16. Спрашчэнне разлікау цеплаперадачы праз цыліндрычную сценку. (упрощение расчетов теплопередачи через цилиндрическую стенку)

17. Крытычны дыяметр цеплавой ізаляцыі. (критический диаметр тепловой изоляции)

Тепловой изоляцией называют всякое покрытие горячей поверх­ности, которое способствует снижению потерь теплоты в окружаю­щую среду. Для тепловой изоляции могут быть использованы любые материалы с низким коэффициентом теплопроводности - асбест, пробка, слюда, шлаковая или стеклянная вата, вспененные и вакуумно-многослойные материалы.

Анализ формулы полного линейного термического сопротивле­ния теплопередачи цилиндрической стенки показывает, что тепло­вые потери изолированных трубопроводов уменьшаются не пропор­ционально увеличению толщины изоляции. Рассмотрим условие, при котором материал, используемый для теплоизоляции трубы, действительно будет уменьшать тепловые потери.

Пусть цилиндрическая труба покрыта однослойной изоляцией. Примем значения a₁, a₂, d₁, d₂, λ₁, λ₂, t₁ и t₂ постоянными. Рассмотрим, как будет изменяться полное термическое сопротивление трубы при изменении тол­щины изоляции.

В уравнении полного термического сопротивления двухслойной цилиндрической стенки:

при увеличении внешнего диаметра изоляции d₃ увеличивается со­противление слоя изоляции (член  ), но одновременно умень­шается сопротивление теплоотдачи на наружной поверхности изо­ляции (член  ).

Беря первую производную от правой части уравнения по d₃ и приравнивая ее нулю, получаем:  .

Тогда критический диаметр изоляции, отвечающий экстремальной точке кривой R = f(d₃), определится формулой:

. (7-19)

Из уравнения следует, что критический диаметр d_кp изоляции не зависит от размеров трубопровода. Он будет тем меньше, чем меньше коэффициент теплопроводности изоляции и чем больше коэффициент теплоотдачи a₂ от наружной поверхности изоляции к окружающей среде.

Вторая производная от R_u больше нуля. Следовательно, критический диаметр соответствует минимуму теплового сопротивления и максимуму теплового потока.

Анализ уравнения (7-19) показывает, что если наружный диаметр изоляции d_из увеличивается, но остается меньше d_кp, то тепловые потери возрастают и будут превышать тепловые потери голого трубопровода (кривая АК). При равенстве d_из = d_кp получаются максимальные тепловые потери в окружающую среду (точка К). При дальнейшем увеличении наружного диаметра изоляции d_из > d_кp теп­ловые потери будут меньше, чем при d_из = d_кp (кривая ВК).

Только при d_из = d₃ тепловые потери вновь станут такими же, как и для неизолированного трубопровода.

Значит, для эффективной работы изоляции необходимо, чтобы критический диаметр был меньше внешнего диаметра оголенного трубопровода, чтобы d_кp ≤ d₂ (см. рис. 7-3). Таким образом, чтобы применение изоляции действительно привело бы к уменьшению тепловых потерь цилиндрической стенки при данном наружном диаметре трубы d₂ и заданном коэффициенте теплоотдачи a₂ необходимо выполнение условия:

.

Например, для изоляции трубопровода диаметром 30 мм имеется шлаковая вата с коэффициентом теплопроводности λ_из = 0,1 Вт/м град; коэффициент теплоотдачи a₂ = 4,0 Вт/м² град. Целесообразно ли применять в данном случае в качестве изоляции шлаковую вату?

Критический диаметр изоляции:

 = 0.05 м = 50 мм.

Так как d_кр > d₂, шлаковую вату в рассматриваемом случае применять нецелесообразно. Для нашей задачи коэффициент λ_из должен быть меньше:

= 0.06 Вт/м град.

18. Шляхі інтэнсіфікацыі цеплаперадачы. Рабрыстыя паверхні. (пути интенсификации теплопередачи. Ребристые поверхности)

Ребристые поверхности применяют для выравнивания термичес­ких сопротивлений теплоотдачи с обеих сторон стенки, когда одна поверхность стенки омывается капельной жидкостью с большим коэффициентом теплоотдачи, а другая поверхность омывается газом с малым коэффициентом теплоотдачи, создающим большое терми­ческое сопротивление.

Оребрение стенки с большим термическим сопротивлением по­зволяет увеличить ее поверхность соприкосновения со средой, уменьшить общее тепловое сопротивление тепло­передачи и увеличить тепловой поток.

Температура изменяется по высоте ребер; у основа­ния ребра она равна температуре поверхности стенки t^´´_ст, а темпе­ратура у вершины ребра будет значительно меньше t^´´_ст (если принять t₁ > t₂). Поэтому участки поверхности ребра у основания будут передавать больше теплоты, чем участки ребра у вершины. Отношение количества теп­лоты, передаваемой поверхностью ребер в окружающую среду Q_p, к теплоте, которую эта поверхность могла бы передать при по­стоянной температуре, равной температуре у основания ребер Q _пp, называется коэффициентом эффективности ребер:

.

Коэффициент эффективности ребер всегда меньше единицы. Для коротких ребер, выполненных из материала с высоким коэффициентом теплопроводности, коэффициент эффективности близок к единице.

Пусть имеется плоская стенка толщиной δ, на одной стороне которой имеются ребра (рис. 3-4). Температура гладкой поверхности t^´_ст, температура поверхности ребер и простенков между ними при­нимается в первом приближении равной постоянной величине t^´´_ст. Стенка и ребра выполнены из одного материала с высоким коэффициентом теплопроводности λ. Коэффициент теплоотдачи на гладкой стороне - a₁ на ребристой стороне - a₂. (Для ребристых поверхностей коэффициент теплоотдачи a₂ называют обычно приведенным, так как он учитывает теплоотдачу с поверхности трубы, поверхности ребер, а также эффективность работы ребра.) Площадь гладкой поверхности F₁, площадь поверхности ребер и промежутков между ними F₂. Температура горячей среды - t₁, холодной среды - t₂. Тогда для стационарного режима можно написать три уравнения теплового потока:

Q = a₁ F₁( ),  , Q = a₂ F₂( ).

Решая эти три уравнения относительно разности температур и складывая, получаем

 (7-22)

или Q = k _p( ),

откуда коэффициент теплопередачи для ребристой стенки равен

 Вт/м² град. (7-23)

Если тепловой поток отнести к единице гладкой поверхности, то:

 Вт/м²∙град. (7-24)

Если тепловой поток отнести к единице ребристой поверхности, то

 Вт/м²∙град. (7-25)

Для круглой трубы с наружным оребрением, рассуждая аналогично, получаем:

Q = k _p.к( ) , (7-26)

Откуда:

 Вт/м² ∙град, (7-27)

где d₁ - внутренний диаметр трубы; d₂ - наружный диаметр трубы. Приведенные формулы справедливы для ребер небольшой высоты. Отношение площади оребренной поверхности F₂ к площади гладкой поверхности F₁ называется коэффициентом оребрения.

Точное значение коэффициента теплоотдачи для ребристых поверхностей может быть определено только экспериментальным путем.

19. Асобныя выпадкі судачынення паміж каэфіцыентамі цеплаперадачы і цеплааддачы. (отдельные случаи соотношения между коэффициентами теплопередачи и теплоотдачи)

- теплоотдача – процесс теплообмена между непроницаемой твёрдой стенкой и окружающей текучей средой;

- теплопередача – передача теплоты от одной текучей среды к другой текучей среде через непроницаемую твёрдую стенку.

Теплоотдача. График температурного поля при теплоотдаче. Температура текучей среды изменяется в очень узкой области, которая называется тепловым пограничным слоем.

T_w – температура стенки; T_f – температура текучей среды; δ_q – толщина теплового пограничного слоя.

Заметим, что в зависимости от соотношения температур стенки T_w и флюида T_f тепловой поток Q может нагревать стенку при условии   или охлаждать ее, если  .

20. Канвектыуны цеплаабмен. Свабодная і вымушаная канвекцыя. Цеплааддача. (конвективный теплообмен. Свободная и вынужденная конвекция. Теплоотдача)

Конвекция происходит только в газах и жидкостях и состоит в том, что перенос теплоты осуществляется перемещающимися в пространстве макроскопическими объёмами жидкости. Под жидкостью в теории теплообмена и в гидрогазодинамике называют любую жидкость и любой газ. Передача теплоты конвекцией всегда связана с теплопроводностью. Совместный процесс переноса теплоты как за счёт конвекции, так и за счёт теплопроводности называется конвективным теплообменом.

Различают свободную и вынужденную конвекцию. Свободная конвекция возникает под действием внутренних сил, которые возникают в жидкости в виду разности её плотности. Вынужденная конвекция создаётся различными нагнетательными устройствами (насосами, турбинами, компрессорами, вентиляторами и т.п.).

Теплоотдача- это теплообмен между жидкостью и стенкой

Основное уравнение конвективного теплообмена: