7. Краевые условия процессов теплообмена (условия однозначности). Граничные условия.

Т.к. дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на общих законах физики, то оно описывает явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного множества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частые особенности называют условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

1) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс;

2) физические условия, характеризующие физические свойства тела и среды (также может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты);

3) временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

4) граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Различают граничные условия первого, второго, третьего и четвёртого рода:

а) граничные условия первого рода– задаётся распределение температур на поверхности тела для каждого момента времени;

б) граничные условия второго рода – задаётся значение теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени;

в) граничные условия третьего рода – задаётся температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой;

г) граничные условия четвёртого рода – характеризует условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт.

В дальнейшем нас будет интересовать только граничные условия первого и третьего рода.

8. Теплопроводность через плоскую однослойную и многослойную

стенку при стационарном режиме и граничных условиях первого рода.

а) плоская однослойная стенка.

Условия однозначности:

Рисунок 3 – Условия однозначности для плоской однослойной стенки

– геометрические условия: стенка плоская толщиной δ;

– физические условия: известен коэффициент теплопроводности материала стенки λ;

– временные (начальные) условия: стационарная теплопроводность, т.е. температура в каждой точке тела не изменяется;

– граничные условия первого рода: заданы температуры на внешней и внутренней поверхностях стенки.

Для представленного случая закон Фурье (с учётом условий однозначности) примет вид

или

Если преобразовать полученное уравнение, выразив из него температуру в каком-либо сечении X–X, то получим

Рисунок 4 – Нахождение температуры внутри плоской однослойной стенки

При стационарном режиме на всём пути передачи теплоты плотность теплового потока остаётся постоянной. Температура на внешней поверхности t_с1 и коэффициент теплопроводности материала стенки λ также не изменяются. Поэтому последнее уравнение можно представить в виде

Т.е. температура в плоской однослойной стенке при стационарном режиме изменяется по линейному закону. Изобразим график изменения температуры внутри плоской однослойной стенки

Рисунок 5 – График изменения температуры внутри плоской однослойной стенки

б) плоская многослойная стенка (на примере трёхслойной стенки).

Условия однозначности:

Рисунок 6 – Условия однозначности для плоской многослойной стенки

– геометрические условия: известна толщина каждого слоя δ₁, δ₂, δ₃,…;

– физические условия: известен коэффициент теплопроводности каждого слоя λ₁, λ₂, λ₃,…;

– временные (начальные) условия: стационарная теплопроводность, т.е. температура в каждой точке слоя не изменяется;

– граничные условия первого рода: заданы температуры на внешней и внутренней поверхностях многослойной стенки.

Запишем для каждого слоя своё уравнение теплопроводности:

–для первого слоя

– для второго слоя

– для третьего слоя

– для n-ного слоя

Таким образом, мы получили следующую систему уравнений

Выразим разности температур из каждого уравнения

Просуммируем правые и левые части всех уравнений

Преобразовав полученное выражение, в итоге можем записать

где R – термическое сопротивление многослойной стенки, м² × К/Вт; R_i = δ_i/λ_i – термическое сопротивление i-того слоя, м² × К/Вт; δ_i – толщина i-того слоя, м; λ_i – коэффициент теплопроводности i-того слоя, Вт/(м × К).

Изобразим график изменения температуры во многослойной стенке по толщине. Если коэффициенты теплопроводности для трёхслойной стенки соотносятся следующим образом λ₁ < λ₂ < λ₃, то график будет выглядеть следующим образом

Рисунок 7 – График изменения температуры внутри плоской многослойной стенки