Лекция 11
.pdfЛекция 11. Дифференциальные операции в криволинейных
координатах
1. Градиент в криволинейных системах координат. Дифференциал скалярного поля f r можно представить в виде
|
|
df |
|
f |
dq1 |
|
f |
|
dq2 |
|
f |
|
dq3 |
|
|||||
|
|
1 |
|
q |
2 |
q |
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(189) |
||||
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e1 |
|
|
e2 |
|
|
|
e3 |
|
|
e1dq1 |
e2dq2 e3dq3 . |
||||||||
|
1 |
|
q |
2 |
3 |
||||||||||||||
|
q |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй множитель в последней строке – это дифференциал радиус-вектора.
Следовательно, первый множитель – это градиент:
gradf e1 |
f |
e2 |
f |
|
e3 |
f |
|
|
. |
(190) |
1 |
q |
2 |
q |
3 |
||||||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
Градиент представляет собой геометрический объект, имеющий по определению разложение по взаимному базису ek . Говорят, что градиент – это ковектор. Чтобы его преобразовать в вектор (перейти к контравариантным компонентам), необходимо перейти к разложению по исходному базису ei :
gradf ek |
f |
e |
gik |
f |
. |
(191) |
|
qk |
qk |
||||||
|
i |
|
|
|
Следовательно, компоненты вектора-градиента имеют вид:
|
gradf i gik |
|
|
f |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(192) |
||||||||
|
qk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В ортогональной системе координат |
|
g |
ik |
|
|
ik |
. |
Поэтому выражение |
для |
|||||||||||||||
|
|
|
|
H |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
градиента можно преобразовать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ik |
f |
|
ei |
|
|
1 f |
|
|
* |
|
1 f |
|
||||||||||||
gradf ei H 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
|
|
|
|
|
. |
(193) |
||||||
qk |
H |
i |
|
H |
i |
|
|
qi |
|
H |
i |
qi |
||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во введенном ортонормированном базисе компоненты вектора-градиента
имеют вид (физические компоненты вектора):
|
|
|
|
f i |
|
1 |
|
|
f |
|
. |
|
(194) |
||
|
|
|
|
H |
i |
|
qi |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Производная от вектора в криволинейных системах координат. |
|||||||||||||||
Найдем производную от вектора v v e |
|
|
по координате x : |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
v |
|
|
e |
|
|||||
|
|
|
|
v e |
x e v |
x . |
(195) |
||||||||
|
x |
x |
|||||||||||||
Но согласно (93) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
e . |
|
|
|
|
Указание: повторить материал лекций 4 и 5. Следовательно, (195) можно переписать в виде
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
e |
|
|
v |
e v e . |
(196) |
||
x |
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы ввели ковариантную производную от вектора:
v |
v |
v . |
(197) |
x |
Как видно, использование ковариантной производной позволяет выносить базисный вектор за скобку. Это очень удобное в использовании свойство.
Задание 42. Показать, что
a. |
e |
e . Указание: Используйте e e |
|
|
, |
g |
e e |
|
и (92). |
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b. |
|
v |
v |
v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Дивергенция в криволинейных системах координат.
Дивергенцией векторного поля называется свертка
divv |
v |
v |
v |
. |
(198) |
|
|
x |
|
|
|
В декартовых координатах символы Кристоффеля равны нулю. Поэтому дивергенция принимает вид (145). В общем случае, как может показаться,
всегда приходится считать символы Кристоффеля. Но, как мы увидим ниже,
формулу (198) можно представить в виде, не содержащим символы Кристоффеля. Для этого докажем следующее соотношение:
|
|
|
dg gg dg |
|
. |
|
(199) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В самом деле, в силу (60.1) имеем |
|
|
|
|
|
||||
|
g |
|
1 |
g g |
|
|
. |
(200) |
|
|
|
|
|
||||||
|
g |
|
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Это – алгебраическое дополнение. Следовательно, компоненты тензора,
обратного к метрическому, имеют вид:
|
|
|
|
|
g |
|
g |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
g |
|
g g |
|||
|
|
|
|
|
|
Так как дифференциал определителя метрического тензора равен
dg g dg ,
g
то с учетом (201) получаем соотношение (199).
Задание 43. Показать, что
a.dg g g dg .
b.dg gg dg .
Указание: используйте соотношение g g .
Из (199) следует полезное для дальнейших выкладок равенство:
1 |
|
g |
g |
g |
. |
g x |
|
||||
|
x |
Найдем . Согласно (95) и (96) запишем
|
|
1 |
|
g |
|
g |
|
g |
|
||||
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
x |
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Раскрывая скобки, получим
(201)
(202)
(203)
|
|
|
|
|
1 |
g |
g |
g |
g |
g |
g |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
g |
g |
g |
g |
g |
|
1 |
|
|
g |
|||||||||||||||||||
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
. |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу (203) выражение (204) принимает вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2g x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В результате выражение для дивергенции (198) имеет вид: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
divv |
v |
v |
|
1 g |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
g x |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
В ортогональных координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g H |
|
, |
|
|
|
|
|
g H |
H |
2 |
H |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
H |
|
v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значит, дивергенция принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
H2 H3v1ф |
|
|
|
|
H1H3vф2 |
|
|
|
H1H |
2 v3ф |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
divv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|||||||||||||||||||
|
|
H |
H |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 44. Вывести формулу (208) самостоятельно.
(204)
(205)
(206)
(207)
(208)
4. Лапласиан скалярного поля. В силу определения оператора
Лапласа (173) имеем:
f f |
1 |
|
|
f . |
||||
g |
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
g x |
|
|
|
Согласно (192) перепишем (209) в окончательном виде:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
||
f |
|
|
g g |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
В ортогональных координатах Лапласиан скалярного поля имеет вид:
f |
1 |
|
|
|
|
|
H2 H3 f |
|
|
|
|
|
H1H3 f |
|
|
|
|
|
|
H1H2 f |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
H H |
H |
|
1 |
H |
|
1 |
x |
2 |
H |
|
|
x |
2 |
x |
3 |
H |
|
|
x |
3 |
||||||||||||
|
|
|
x |
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(209)
(210)
(211)
Задание 45. Вывести формулу (211) самостоятельно.
5.Ротор в криволинейных системах координат. Согласно (126) и
(169) выражение для ротора следует записать в виде:
rota a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a e . |
(212) |
||
|
|
|
|
|||
|
|
g x |
|
|
Из выше изложенного видно, что при переходе к криволинейным координатам обычная частная производная заменяется на ковариантную.
Таким образом, например, мы получили выражение для дивергенции (198).
Может и в (212) тоже следует произвести такую замену? Оказывается, что в этом нет необходимости. Дело в том, что в (212) производные стоят не поодиночке, а представлены в виде разностей
a a .x x
Но, как легко убедиться, эти разности не изменятся, если в них частные производные заменить на ковариантные:
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|||
a |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
. |
(213) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Здесь мы учли, что символы Кристоффеля симметричны по двум нижним индексам.
Таким образом, ротор вектора является геометрическим объектом,
контравариантные компоненты которого находятся по формуле
rota |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(214) |
|||
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
g |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ковариантные компоненты находим по общим правилам:
rota |
|
|
|
rota |
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
g |
|
|
a . |
(215) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как g и a g a , то (215) принимает вид
rota |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
g |
|
g |
g |
|
|
|
a . |
(216) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
g |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С использованием (60.1) можно показать, что |
|
|
||||||
g |
|
g |
g |
|
|
|
g. |
(217) |
|
|
|
|
|
|
Задание 46. Вывести соотношение (217).
Следовательно, (215) примет вид:
rota |
|
|
|
g a . |
(218) |
Можно ввести геометрические объекты
e g ,
e |
|
|
|
(219) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
, |
|
|
|
g |
|||
|
|
|
|
|
которые, при замене координат преобразуются как компоненты абсолютно антисимметричного тензора (существующие нюансы будут рассмотрены в в лекциях по тензорному анализу).
Задание 47. Используя (212), (126) и (127), показать, что в ортогональных координатах ротор принимает вид:
|
|
e1* |
|
e*2 |
|
e*3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
rota |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
. |
(220) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
H1 x1 |
|
H2 x2 |
|
H3 x3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a1ф |
|
a2ф |
|
a3ф |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 48.
1.Вычислить физические компоненты градиента скалярного поля,
записанного в цилиндрических координатах:
a.f cos ,
b.f e z n cos n ,
c.f 2 2 cos ez sin ,
d.f cos z sin2 3 .
2.Вычислить физические компоненты градиента скалярного поля,
записанного в сферических координатах:
a.f r2 cos ,
b.f 1r cos kr cos ,
c.f r12 3cos2 1 sin 2 ,
d.f 3r2 sin e r cos r .
3.Найти уравнение векторных (силовых) линий следующих полей,
записанных в цилиндрических или сферических координатах:
a.a e e ez ,
b.a e e zez ,
c. a |
2c cos |
e |
|
|
csin |
e . |
|
|
|
||||
|
r3 |
r |
|
r3 |
4.Вычислить дивергенцию векторного поля, компоненты которого заданы в цилиндрических координатах:
a.a
b.a
0 ,
0 ,
a c 2 |
|
|
2 |
|
0; |
|
R2 |
|
, az |
||||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
a 0 , az c R2 2 ;
c.a ф 2 R cos , a ф R r sin , azф 0 ;
d.aф , aф z sin , aфz e coscz .
5.Вычислить дивергенцию векторного поля, компоненты которого заданы в сферических координатах:
|
|
|
|
2 |
|
r |
2 |
|
|
|
|
2r |
2 |
|
R |
2 |
|
|
||
a. |
ar |
c |
|
R |
|
|
|
cos |
, a cr |
|
|
|
sin , a 0 |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
||||||
b. |
ar c |
R5 |
cos , a c |
R5 |
sin , |
a |
0 ; |
|
|
|
||||||||||
r3 |
r4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c. |
arф 2r c cos , a ф |
csin , a ф r sin ; |
|
d. ar |
|
2cos |
, a |
|
sin |
, a |
0 . |
|
r3 |
r3 |
|||||||
ф |
|
ф |
|
ф |
|
6. Найти лапласиан скалярного поля, заданного в цилиндрических координатах:
a. f cR3 cos ;
b. f c 3R 2 cos ; c. f 2 z2 cos .
7. Найти лапласиан скалярного поля, заданного в сферических координатах:
a. f rc3 3cos2 1 ; b. f cr sin2 cos 2 .
8. Выяснить, являются следующие поля потенциальными. Если это так, то найти их потенциалы.
a. a e e zez ;
b. |
a e sin e |
|
|
|
e |
|
cos e |
|
2ze |
; |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c. |
a er |
e ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d. |
a |
2 |
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
e |
; |
|
|
||||||
|
|
sin |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
r |
z |
|
|
|
||||||||
e. |
a |
2cos |
e |
|
|
|
|
sin |
e . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
r3 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
9.Вычислить физические компоненты лапласиана векторного поля,
компоненты которого заданы в цилиндрических координатах:
a.a ф 0 , a ф c , azф 0 ;
|
|
|
|
|
|
|
b. |
a ф |
0 , a ф |
c R |
|
, azф |
0 . |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
Указание: Используйте тождество (185) a = grad diva rot rota .
10.Вычислить физические компоненты лапласиана векторного поля,
компоненты которого заданы в сферических координатах:
a. |
a |
0 |
, a |
0 |
, a |
|
c |
sin ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
rф |
|
ф |
|
ф |
|
r2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
r2 |
|
|
|
b. |
arф |
0 |
, a ф |
0 |
, a ф |
cr sin |
|
|
|
|
. |
|
||
|
3 |
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Указание: Используйте тождество (185) a = grad |
diva rot rota . |