§5. Свойства выпуклых критериев оптимальности

Одномерный критерий оптимальности

Если функция Ф(x) является дифференцируемой, то можно сформулировать простые признаки ее выпуклости.

Теорема 1. Пусть критерий оптимальности Ф(x) определен и непрерывен на интервале и имеет в нем конечную первую производную. Для того, чтобы функцияФ(x) была выпуклой (строго выпуклой) на , необходимо и достаточно, чтобы ее производнаяне убывала (возрастала) на этом интервале●

Теорема 2 Пусть критерий оптимальности Ф(x) определен и непрерывен вместе со своей первой производной на интервалеи имеет в нем конечную вторую производную. Для выпуклости функцииФ(x) на интервале необходимо и достаточно, чтобывнутри этого интервала имело место неравенство ●

Заметим, что условие не является необходимым для строгой выпуклости функцииФ(x). Так функция является строго выпуклой на всей числовой оси, хотя в начале координат ее вторая производная равна нулю: .

Многомерный критерий оптимальности

Суть понятия выпуклого вниз (строго выпуклого вниз) критерия оптимальности в многомерном случае удобно определить с помощью сечения. Сечением критерия оптимальности Ф(X), XєD, где D- выпуклое множество, называется одномерная функция , где- вещественный скаляр, а- любые точки множестваD.

Теорема 3. Для того, чтобы критерий оптимальности Ф(X), определенный на выпуклом множестве D, был выпуклым вниз (строго выпуклым вниз), необходимо и достаточно, чтобы любое сечение этого критерия было выпуклой (строго выпуклой) функцией●

Теорема 4. Если критерий оптимальности Ф(X), определенный на выпуклом множестве , является дважды дифференцируемым на этом множестве, то необходимым и достаточным условием его выпуклости является неотрицательная определенность на этом множестве матрицы вторых производных функции Ф(X) – матрицы Гессе (гессиана)

●

Замечание. Симметричная (n*n) матрица А называется неотрицательно определенной, если квадратичная форма для любых векторовпринимает неотрицательные значения. Если матрицаА неотрицательно определена, то ее собственные числа являются неотрицательными. Для проверки неотрицательной определенности матрицы удобно использовать критерий Сильвестра: если все главные миноры матрицы А неотрицательны, то матрица А неотрицательно определена●

По аналогии с одномерным случаем, неотрицательная определенность матрицы Гессе не является необходимым условием строгой выпуклости функции Ф(X). Так функция строго выпукла в пространстве, но ее матрица Гессе в точке (0,0) является нулевой:.

Входные термины:

• детерминированная задача оптимизации;

• область допустимых значений вектора варьируемых параметров;

• критерий оптимальности;

• сепарабельная функция;

• позином.

Выходные термины:

• задача линейного программирования;

• задача дробно-линейного программирования;

• задача сепарабельного программирования;

• задача геометрического программирования;

• задача квадратичного программирования;

• задача дискретного программирования;

• задача целочисленного программирования;

• задача нелинейного программирования;

• задача выпуклого программирования;

• задача оптимизации без ограничений, задача безусловной оптимизации;

• задача оптимизации с ограничениями, задача условной оптимизации;

• задача условной оптимизации с ограничениями типа неравенств;

• задача условной оптимизации с ограничениями типа равенств;

• задача условной оптимизации с ограничениями общего вида;

• однопараметрическая (одномерная) задача оптимизации;

• многопараметрическая (многомерная) задача оптимизации;

• одноэкстремальная задача оптимизации;

• многоэкстремальная задача оптимизации;

• задача локальной оптимизации;

• задача глобальной оптимизации.