§4. Классификация критериев оптимальности

Если случайный вектор внешних параметров Q не входит в критерий оптимальности Ф(Х), то этот критерий называется детерминированным критерием оптимальности. Если критерий оптимальности имеет вид Ф(Х,Q), где Q – случайный вектор внешних параметров, то этот критерий называется стохастическим критерием оптимальности. В курсе рассматриваются только детерминированные критерии.

Прежде, чем говорить о классификации детерминированных критериев оптимальности, дадим определения некоторых свойств функций.

Вектор Х* называется точкой локального минимума функции Ф(Х), если для всех точек Х, принадлежащих некоторой малой окрестности d(X) точки Х* имеем

Φ(X*)≤Φ(X).

Значение функции Ф(Х) в точке локального минимума называется локальным минимумом функции Ф(Х).

Точка Х* называется точкой глобального минимума функции Ф(Х), если

Φ(X*)≤Φ(X), XєD.

Таким образом, точка наименьшего из всех локальных минимумов называется точкой глобального минимума функции Ф(Х). Соответствующее значение функции Ф(Х) называется глобальным минимумом этой функции (рисунок 1).

Критерий оптимальности Ф(x), где скаляр, называетсяунимодальным критерием оптимальности, если в области определения [a,b] функции Ф(x) существует точка такая, что на полуинтервалефункцияФ(X) убывает, а на полуинтервале - возрастает. Заметим также, что точкаможет быть как внутренней точкой отрезка, так и совпадать с одним из его концов.

Рисунок 1 - К определению локального и глобального минимумов функции. - точки локального минимума функцииФ(x). - точка глобального минимума функцииФ(x)

Обратим внимание на то, что определение одномерного унимодального критерия оптимальности не требует непрерывности функции Ф(x) (рисунок 2).

Рисунок 2 - К определению унимодального критерия оптимальности: - точки разрыва критерия оптимальностиФ(x)

Непрерывный в своей области определения одномерный критерий оптимальности Ф(x), называетсявыпуклым (вниз) критерием, если для любых точек выполняется неравенство

,

где произвольное число .

Приведенное определение имеет простой геометрический смысл: если критерий оптимальности Ф(x) выпукл на интервале [a,b], то все точки любой дуги его графика лежат под соответствующей хордой (рисунок 3).

Рисунок 3 - К определению выпуклого (вниз) одномерного критерия оптимальности

Заметим, что определение выпуклого критерия оптимальности не требует его унимодальности. Так что, например, выпуклым является критерий оптимальности, график которого изображен на рисунке 4.

Рисунок 4 - Пример выпуклого критерия оптимальности: на интервале значения критерия оптимальности постоянны и равныc

Непрерывный в своей области определения одномерный критерий оптимальности Ф(x), называетсястрого выпуклым (вниз) критерием, если для любых точек ,выполняется неравенство

,

где произвольное число .

Строго вогнутый критерий является унимодальным критерием.

Если множество D является выпуклым множеством, то в многомерном случае также определено понятие выпуклого критерием оптимальности. Непрерывный критерий оптимальностиФ(X), где XєD и множество D является выпуклым множеством, называется выпуклым (вниз) критерием, если для любых ,и любоговыполняется неравенство

.

Аналогично, критерий оптимальности Ф(X), где XєD и множество D является выпуклым множеством, называется строго выпуклым (вниз) критерием, если для любых ,и любоговыполняется неравенство

.

Отметим, что выпуклая функция может иметь более одной точки локального минимума (Пример 1), а строго выпуклая функция – только одну точку.

Пример 1. Рассмотрим выпуклую квадратичную функцию . Легко видеть, что эта функция достигает в точке (0,0) минимума, равного нулю. Но это же значение функция принимает во всех точках вида- см. рисунок 5, который получен с помощью следующейMATLAB-программы:

x=-2:0.06:2;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x);

Z=(X+Y).^2;

V=[0.025,0.5,1,2,4,8];

[C,h]=contour(X,Y,Z,V);

clabel(C,h);

Рисунок 5 - К примеру 1. Линии уровня выпуклой функции, имеющей более одной точки локального минимума

Критерий оптимальности Ф(X), имеющий в области определения несколько локальных минимумов, называется многоэкстремальным или мультимодальным критерием оптимальности (рисунок 1).

Если размерность вектора варьируемых параметров X больше единицы (n>1), то критерий оптимальности Ф(Х) может быть «овражным» критерием. Критерий оптимальности Ф(Х) называется овражным в своей области допустимых значений D, если в этой области имеют место слабые изменения первых частных производных функции Ф(Х) по одним направлениям и значительные изменения этих производных по другим направлениям (пример 2).

Пример 2. Рассмотрим функцию Розенброка (n=2). Легко видеть, что минимум этой функции достигается в точке (0,0) и равен единице. Линии уровня функции приведены на рисунке 6, который получен с помощью следующей MATLAB-программы:

x=-2:0.06:2;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x);

Z=100.*(Y-X.^2).^2+(1-X).^2;

V=[1,5,50,500];

contour(X,Y,Z,V);

Рисунок 6 - Линии уровня функции Розенброка. Функция медленно изменяется вдоль дна V-образного оврага и быстро – перпендикулярно этому дну

Критерий оптимальности Ф(Х) называется сепарабельным критерием, если функция Ф(Х) является сепарабельной, т.е. представляет собой сумму функций, каждая из которых зависит только от одной компоненты вектора X:

.

Критерий оптимальности Ф(Х) называется позиномиальным критерием, если функция Ф(Х) есть позином, т.е. если

,

где c_i и все компоненты вектора X – положительные действительные числа, а функции p_i(X) имеют вид

;

a_ij – любые действительные числа.

Входные термины:

• выпуклый критерий оптимальности;

• строго выпуклый критерий оптимальности.

Выходные термины:

• сечение критерия оптимальности;

• матрица Гессе, гессиан;

• многоэкстремальный критерий оптимальности;

• «овражный» критерий оптимальности.