§3. Постановка детерминированной задачи оптимизации

Под решением задачи оптимального проектирования понимается процесс выбора управляемых переменных XєD, обеспечивающих оптимальное значение некоторой функции Ф(Х). Эта величина, показывающая относительное предпочтение одних значений компонент вектора Х по отношению к другим значениям этих компонент, называется критерием оптимальности (функцией цели, критерием эффективности, функцией полезности и т.д.).

В зависимости от цели проектирования необходимо либо максимизировать, либо минимизировать критерий оптимальности. Будем полагать, что требуется минимизировать критерий оптимальности.

Детерминированная задача оптимального проектирования (оптимизации) формулируется следующим образом:

(*)

где Х* - оптимальное значение вектора управляемых (варьируемых) переменных (параметров), - оптимальное (наименьшее) значение критерия оптимальностиФ(Х).

Задача оптимизации, в которой критерий оптимальности Ф(Х) и/или ограничивающие функции , зависят от случайного вектора внешних параметров Q, называется стохастической задачей оптимального проектирования (оптимизации).

В курсе рассматриваются только детерминированные задачи оптимизации.

Заместим, что задача максимизации критерия оптимальности Φ(X) сводится к задаче минимизации критерия (-Φ(X)):

Имея в виду специфику задач оптимального проектирования, сделаем следующее допущение.

Допущение 2. Если не оговорено противное, функция Ф(Х) в своей области допустимых значений D определена, непрерывна и, за исключением, быть может отдельных точек, имеет в этой области конечные частные производные.

Из курса математического анализа известна следующая теорема.

Теорема 1 (теорема Вейерштрасса). Если функция Ф(Х) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она достигает в этой области своего наименьшего и наибольшего значений●

Таким образом, в допущениях 1,2 детерминированная задача оптимального проектирования (*) имеет решение.

Пример 1. Тело массой m с двигателем находится в момент времени t=0 в состоянии покоя в точке с координатой (рисунок 1). Тело может перемещаться вдоль оси Ох под действием силы тяги двигателя. Максимальная сила тяги двигателя равна a. При движении тела на него действует сила сопротивления среды =-qV, где V – скорость тела. Расход горючего при работе двигателя пропорционален квадрату силы тяги, т.е. равен , где u-сила тяги двигателя.

Рисунок 1 - К примеру 1

Необходимо на интервале времени [0,T] так управлять работой двигателя, чтобы при минимальном расходе топлива закон движения тела х(t) как можно меньше отличался от требуемого закона движения φ(t). Т.е. требуется найти оптимальную функцию u(t).

Пусть X(t)=(x₁(t),x₂(t)), где

Тогда по второму закону Ньютона имеем

Здесь – ускорение тела.

Таким образом, получаем следующую задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(1)

где tЄ[0,T], |u(t)|≤a.

Требование близости траектории тела к заданной траектории формализуем с помощью критерия оптимальности

(2)

а требование минимизации расхода топлива - с помощью критерия

(3)

В качестве критерия оптимальности задачи рассмотрим взвешенную сумму указанных «частичных» критериев

(4)

Будем искать оптимальное управление u*(t) на классе кусочно-постоянных функций (рисунок 2).

Рисунок 2 - К примеру 1. Структура допустимых управлений u(t)

В качестве вектора варьируемых параметров будем рассматривать n-мерный вектор

Тогда задача поиска оптимального управления u*(t) сводится к n-мерной детерминированной задаче оптимизации

где значения функции вычисляются по следующей схеме:

• задаем значения управления u(t) в точках

• с кусочно-постоянным управлением, показанным на рис.1, интегрируем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1) – получаем вектор ;

• по формулам (2), (3) вычисляем значения частичных критериев оптимальности Ф₁(u), Ф₂(u), а затем по формуле (4) – значение критерия оптимальности Ф(u).

Замечание. Рассмотренная задача представляет собой задачу оптимального управления динамической системой. Позже будут рассмотрены более корректные методы численного решения этой задачи.

Входные термины:

• вектор внешних параметров;

• критерий оптимальности.

Выходные термины:

• детерминированный критерий оптимальности;

• точка локального минимума функции (критерия оптимальности);

• локальный минимум функции (критерия оптимальности);

• точка глобального минимума функции (критерия оптимальности);

• глобальный минимум функции (критерия оптимальности);

• точка наименьшего значения функции (критерия оптимальности);

• наименьшее значение функции (критерия оптимальности);

• унимодальный критерий оптимальности;

• вогнутый (выпуклый вниз) критерий оптимальности;

• строго вогнутый (строго выпуклый вниз) критерий оптимальности;

• многоэкстремальный критерий оптимальности, мультимодальный критерий оптимальности;

• «овражный» критерий оптимальности;

• сепарабельный критерий оптимальности;

• позиномиальный критерий оптимальности.