2. Принадлежность классу t1.
Функция не принадлежит классу T1, т.к. на единичном наборе она не принимает значение 1.
-
X
¬X
1
0
3. Принадлежность классу самодвойственных функций S.
x |
¬X |
0 |
1 |
1 |
0 |
Таблица самодвойственной функции, интересна тем, что столбец ее значений переходит сам в себя при инвертировании. То есть, например, первое значение функции должно равняться отрицанию последнего, второе - отрицании предпоследнего, и так далее. В нашем случает, функция является самодвойственной. (Напишите формальную формулу проверки самодвойственности для отрицания.)
4. Принадлежность классу линейных функций L.
-
линейный многочлен, значит, функция
принадлежит этому классу.
5. Принадлежность классу монотонных функций M.
(0) = 1 и (1) = 0 - монотонность нарушена. Значит функция не принадлежит классу монотонных функций M. (См. замечание в 3.)
x |
¬x |
0 |
1 |
1 |
0 |
Функция принадлежит классу монотонных функций (M), если для любой пары наборов α и β таких, что α ≤ β, выполняется условие f(α) ≤ f(β).
Сравниваем соседние наборы по 1-й переменной:
Сравним значения {1} и {0}: условие монотонности нарушено.
Таким образом функция не принадлежит классу M.
Задача 2. Для указанной формулы найти эквивалентный полином Жегалкина.
(X | Y) ↑ Z
Для построения полинома Жегалкина методом неопределенных коэффициентов, построим таблицу истинности данной функции:
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||||||||
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|||||||||||||
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|||||||||||||
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|||||||||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||||||||
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|||||||||||||
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||||||||||
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Пусть полином Жегалкина имеет вид:
P(X, Y, Z) = C0 ⊕ C3Z ⊕ C2Y ⊕ C23YZ ⊕ C1X ⊕ C13XZ ⊕ C12XY ⊕ C123XYZ
P(0, 0, 0) = C0 = 0
P(0, 0, 1) = C0 ⊕ C3 = 0 => 0 ⊕ C3 = 0 => C3 = 0
P(0, 1, 0) = C0 ⊕ C2 = 0 => 0 ⊕ C2 = 0 => C2 = 0
P(0, 1, 1) = C0 ⊕ C3 ⊕ C2 ⊕ C23 = 0 => 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ C23 = 0 => 0 ⊕ C23 = 0 => C23 = 0
P(1, 0, 0) = C0 ⊕ C1 = 0 => 0 ⊕ C1 = 0 => C1 = 0
P(1, 0, 1) = C0 ⊕ C3 ⊕ C1 ⊕ C13 = 0 => 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ C13 = 0 => 0 ⊕ C13 = 0 => C13 = 0
P(1, 1, 0) = C0 ⊕ C2 ⊕ C1 ⊕ C12 = 1 => 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ C12 = 1 => 0 ⊕ C12 = 1 => C12 = 1
P(1, 1, 1) = C0 ⊕ C3 ⊕ C2 ⊕ C23 ⊕ C1 ⊕ C13 ⊕ C12 ⊕ C123 = 0 => 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ C123 = 0 => 1 ⊕ C123 = 0 => C123 = 1
Получаем полином Жегалкина:
P(X, Y, Z) = XY ⊕ XYZ
Задача 3. Для указанного полинома Жегалкина указать эквивалентную булеву формулу.
xy ⊕yz⊕ x
X∧Y⊕Y∧Z⊕X
(¬(X∧Y)∧Y∧Z∨X∧Y∧¬(Y∧Z))⊕X
((¬X∨¬Y)∧Y∧Z∨X∧Y∧¬(Y∧Z))⊕X
((¬X∧Y∨¬Y∧Y)∧Z∨X∧Y∧¬(Y∧Z))⊕X
((¬X∧Y∨0)∧Z∨X∧Y∧¬(Y∧Z))⊕X
(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬(Y∧Z))⊕X
(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧(¬Y∨¬Z))⊕X
(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Y∨X∧Y∧¬Z)⊕X
(¬X∧Y∧Z∨X∧0∨X∧Y∧¬Z)⊕X
(¬X∧Y∧Z∨0∨X∧Y∧¬Z)⊕X
(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)⊕X
¬(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(¬(¬X∧Y∧Z)∧¬(X∧Y∧¬Z))∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
((¬(¬X)∨¬Y∨¬Z)∧¬(X∧Y∧¬Z))∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
((X∨¬Y∨¬Z)∧¬(X∧Y∧¬Z))∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
((X∨¬Y∨¬Z)∧(¬X∨¬Y∨¬(¬Z)))∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
((X∨¬Y∨¬Z)∧(¬X∨¬Y∨Z))∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(X∧¬X∨X∧¬Y∨X∧Z∨¬Y∧¬X∨¬Y∧¬Y∨¬Y∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧¬Y∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(0∨X∧¬Y∨X∧Z∨¬Y∧¬X∨¬Y∧¬Y∨¬Y∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧¬Y∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(X∧¬Y∨X∧Z∨¬Y∧¬X∨¬Y∧¬Y∨¬Y∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧¬Y∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
((¬Y∧(X∨¬X)∨X∧Z)∨¬Y∧¬Y∨¬Y∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧¬Y∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(¬Y∧1∨X∧Z∨¬Y∧¬Y∨¬Y∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧¬Y∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(¬Y∨X∧Z∨¬Y∧¬Y∨¬Y∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧¬Y∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(¬Y∨X∧Z∨¬Y∨¬Y∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧¬Y∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(¬Y∨X∧Z∨¬Y∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧¬Y∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(¬Y∨X∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧¬Y∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(¬Y∨X∧Z∨¬Z∧¬X∨¬Z∧Z)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(¬Y∨X∧Z∨¬Z∧¬X∨0)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
(¬Y∨X∧Z∨¬Z∧¬X)∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
¬Y∧X∨X∧Z∧X∨¬Z∧¬X∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
¬Y∧X∨X∧Z∨¬Z∧¬X∧X∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
¬Y∧X∨X∧Z∨¬Z∧0∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
¬Y∧X∨X∧Z∨0∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
¬Y∧X∨X∧Z∨(¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z)∧¬X
¬Y∧X∨X∧Z∨¬X∧Y∧Z∧¬X∨X∧Y∧¬Z∧¬X
¬Y∧X∨X∧Z∨¬X∧Y∧Z∨X∧Y∧¬Z∧¬X
(Z∧(X∨¬X∧Y)∨¬Y∧X)∨X∧Y∧¬Z∧¬X
(Z∧((X∨¬X)∧(X∨Y))∨¬Y∧X)∨X∧Y∧¬Z∧¬X
(Z∧(1∧(X∨Y))∨¬Y∧X)∨X∧Y∧¬Z∧¬X
(Z∧(X∨Y)∨¬Y∧X)∨X∧Y∧¬Z∧¬X
Z∧X∨Z∧Y∨¬Y∧X∨X∧Y∧¬Z∧¬X
(Y∧Z∨X∧¬Y∨X∧Z∧Y∨X∧Z∧¬Y)∨X∧Y∧¬Z∧¬X
Y∧Z∨X∧¬Y∨X∧Z∧¬Y∨X∧Y∧¬Z∧¬X
Y∧Z∨X∧¬Y∨X∧Y∧¬Z∧¬X
Y∧Z∨X∧¬Y∨0∧Y∧¬Z
Y∧Z∨X∧¬Y∨0∧¬Z
Y∧Z∨X∧¬Y∨0
Y∧Z∨X∧¬Y
(Проверьте эквивалентность с исходной функцией.)
Задача 4. Придумать примеры функций: а) немонотонную, б) несамодвойственную, в) нелинейную, г) не сохраняющую 0, д) не сохраняющую 1. Привести обоснование.
А) X↔Y
Функция принадлежит классу монотонных функций, если для любой пары наборов α и β таких, что α ≤ β, выполняется условие f(α) ≤ f(β). (0,0) = 1 и (0,1) = 0 - монотонность нарушена. Значит функция не принадлежит классу монотонных функций. (См. замечание в 3.)
X |
Y |
X≡Y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Функция принадлежит классу монотонных функций (M), если для любой пары наборов α и β таких, что α ≤ β, выполняется условие f(α) ≤ f(β).
Сравниваем соседние наборы по 1-й переменной:
Сравним значения {1} и {0}: условие монотонности нарушено.
Таким образом функция не принадлежит классу M.
Б) X→Y
Принадлежность классу самодвойственных функций.
Если функция на противоположных наборах принимает противоположные значения, то она принадлежит классу самодвойственных функций.
(0,0) = 1 и (1,1) = 1 - значения совпадают. Значит функция не принадлежит классу самодвойственных функций. (См. замечание в 3.)
X |
Y |
X→Y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Функция принадлежит классу самодвойственных функций (S), если на противоположных наборах она принимает противоположные значения. Проверяем:
Проверим значения на наборах {0, 0} и {1, 1}: 1 и 1 совпадают.
Поэтому функция не принадлежит классу S
В) X|Y
Функция принадлежит классу линейных функций, если её полином Жегалкина не содержит коньюнкций.
Найдем полином Жегалкина.
P(X, Y) = C0 ⊕ C2Y ⊕ C1X ⊕ C12XY
P(0, 0) = C0 = 1
P(0, 1) = C0 ⊕ C2 = 1 => 1 ⊕ C2 = 1 => C2 = 0
P(1, 0) = C0 ⊕ C1 = 1 => 1 ⊕ C1 = 1 => C1 = 0
P(1, 1) = C0 ⊕ C2 ⊕ C1 ⊕ C12 = 0 => 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ C12 = 0 => 1 ⊕ C12 = 0 => C12 = 1
Получаем полином Жегалкина:
P(X, Y) = 1 ⊕ XY
Полином Жегалкина содержит конъюнкции, поэтому функция не принадлежит классу линейных функций.
Г) X↓Y
Функция не принадлежит классу T0, т.к. на нулевом наборе она не принимает значение 0.
|
|
|
|||||
0 |
0 |
1 |
Д) X↓Y→C
Функция не принадлежит классу T1, т.к. на единичном наборе она не принимает значение 1.
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |