ЛР_5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное

учреждение высшего образования

«Юго-Западный государственный университет»

Лабораторная работа №5

По дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов»

Вариант №5

Выполнил: Бунина А.В.

студент группы ИБ-01б

Проверил: Добрица В.П.

профессор

Курск, 2021

Задача 1. Для булевых функций ↔, | построить двойственные функции.

Решение. По определению, функция f (x₁, … , x_n) является двойственной к функции g (x₁, … , x_n), если выполнено равенство f (x₁, … , x_n) = ¬g (¬x₁, … , ¬x_n) при всех значениях аргументов x₁, … , x_n. Исходя из этого равенства, построим таблицу истинности функции ↔ и двойственной ей функции f :

A	B	A ↔ B	f (A, B)
0	0	1	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Из таблицы истинности видно, что f (A, B) = A B. Таким образом, двойственной функцией к сложению по модулю 2 является эквиваленция.

Аналогично, построим таблицу истинности для штриха Шеффера и двойственной ему функции g (A, B):

A	B	A | B	g (A, B)
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	0

Из таблицы истинности видно, что g (A, B) = A ↑ B. Значит, стрелка Пирса является двойственной функцией к штриху Шеффера.

Ответ. Двойственными к ↔, | являются , ↑ соответственно.

Задача 2. Формулами алгебры предикатов описать математические понятия.

а) В множестве А нет минимального элемента.

б) .

в) Множество А ограничено.

Решение. а) То, что в множестве А нет минимального элемента, означает, что для любого элемента p из множества A найдётся такой элемент q из множества A, что q < p. Запишем это формулами алгебры предикатов, введя следующие предикаты:

- R (a, b) = "a является элементом множества b";

- Q (a, b) = "a > b".

Тогда высказывание "в множестве А нет минимального элемента" имеет вид ∀p (R (p, A) → ∃q (R (q, A) ˄ Q (p, q))).

б) По определению, означает, что для любого ε > 0 существует (зависящее от него) такое δ, что для всех x < δ выполнено равенство |f (x) – A| < ε. Запишем это формулами алгебры предикатов, введя следующие предикаты:

- P (y) = «y > 0»;

- Q (y, z) = «y > z»;

- R (y, z, w) = «|f (y) – z| < w».

Тогда высказывание " " имеет вид ∀ε (P(ε) → ∃δ ∀x (Q (δ, x) → R (x, A, ε))).

в) По определению, множество A называется ограниченным, если существуют такие m и M, что для любого x из множества A выполнено неравенство m < x < M. Запишем это формулами алгебры предикатов, введя следующие двухместные предикаты:

- R (a, b) = "a является элементом множества b";

- Q (a, b) = "a > b".

Тогда высказывание "множество A ограничено" имеет следующий вид:

∃m ∃M ∀x (R (x, A) → (Q (x, m) ˄ Q (M, x))).

Ответ. а) ∀p (R (p, A) → ∃q (R (q, A) ˄ Q (p, q))), где R (a, b) = "a является элементом множества b", Q (a, b) = "a > b"; б) ∀ε (P(ε) → ∃δ ∀x (Q (δ, x) → R (x, A, ε))), где P (y) = «y > 0», Q (y, z) = «y > z», R (y, z, w) = «|f (y) – z| < w»; в) ∃m ∃M ∀x (R (x, A) → (Q (x, m) ˄ Q (M, x))), где R (a, b) = "a является элементом множества b", Q (a, b) = "a > b".

Задача 3. В формулах алгебры предикатов указать связанные и свободные переменные, отметить области действия кванторов.

(∀x ∀y P₁ (x, y) → ∃x ∃y ∀z P₂ (x, y, z)) → ∃z P₃ (x, y, z).

Решение. Области действия кванторов:

Квантор	Область действия квантора
∀x	∀y P1 (x, y)
∀y	P1 (x, y)
∃x	∃y ∀z P2 (x, y, z)
∃y	∀z P2 (x, y, z)
∀z	P2 (x, y, z)
∃z	P3 (x, y, z)

Ниже жирным отмечены связанные переменные, подчёркнуты – свободные.

(∀x ∀y P₁ (x, y) → ∃x ∃y ∀z P₂ (x, y, z)) → ∃z P₃ (x, y, z).

Задача 4. Для формулы алгебры предикатов найти пренексную нормальную форму, где А и В являются бескванторными формулами: (∃x ∀y A (x, y) ↔ ∃x ∀y B (x, y)).

Решение. (∃x ∀y A (x, y) ↔ ∃x ∀y B (x, y)) = (∃x ∀y A (x, y) ˄ ∃x ∀y B (x, y)) ˅ (¬∃x ∀y A (x, y) ˄ ¬∃x ∀y B (x, y)) (выражение эквиваленции через дизъюнкцию конъюнкций) = (∃x ∀y A (x, y) ˄ ∃x ∀y B (x, y)) ˅ (∀x ∃y ¬A (x, y) ˄ ∀x ∃y ¬B (x, y)) (по формулам взятия отрицания кванторов) = (∃x ∀y A (x, y) ˄ ∃z ∀y B (z, y)) ˅ (∀x ∃y ¬A (x, y) ˄ ∀x ∃z ¬B (x, z)) (переименование переменных) = ∃x∃z (∀y A (x, y) ˄ ∀y B (z, y)) ˅ ∀x(∃y ¬A (x, y) ˄ ∃z ¬B (x, z)) = ∃x ∃z ∀y (A (x, y) ˄ B (z, y)) ˅ ∀x ∃y ∃z (¬A (x, y) ˄ ¬B (x, z)) (по правилам вынесения кванторов за скобки) = ∃x ∃z ∀y (A (x, y) ˄ B (z, y)) ˅ ∀u ∃x ∃z (¬A (u, x) ˄ ¬B (u, z)) (переименование переменных) = ∀u (∃x ∃z ∀y (A (x, y) ˄ B (z, y)) ˅ ∃x ∃z (¬A (u, x) ˄ ¬B (u, z))) = ∀u ∃x ∃z (∀y (A (x, y) ˄ B (z, y)) ˅ (¬A (u, x) ˄ ¬B (u, z))) = ∀u ∃x ∃z ∀y ((A (x, y) ˄ B (z, y)) ˅ (¬A (u, x) ˄ ¬B (u, z))) (по правилам вынесения кванторов за скобки). Итак, получена пренексная нормальная форма, так как все кванторы вынесены вперёд, а формула ((A (x, y) ˄ B (z, y)) ˅ (¬A (u, x) ˄ ¬B (u, z))) не содержит кванторов.

Ответ. (∃x ∀y A (x, y) ↔ ∃x ∀y B (x, y)) = ∀u ∃x ∃z ∀y ((A (x, y) ˄ B (z, y)) ˅ (¬A (u, x) ˄ ¬B (u, z))).

(А разве говорится, что существует х одно и то же? Аналогично для z.)

Тут мы воспользовались формулой вынесения кванторов за скобки: ∃x A (x) ˅ ∃x B (x) = ∃x (A (x) ˅ B (x)). Она верна, даже если существуют разные x. Действительно, если ∃x (A (x) ˅ B (x)) истинно, то существует x, при котором выражение A (x) ˅ B (x) истинно, то есть при этом x истинно либо A (x), либо B (x). А значит, истинна и дизъюнкция этих высказываний ∃x A (x) ˅ ∃x B (x). И наоборот, если ∃x (A (x) ˅ B (x)) ложно, то при любом x высказывание A (x) ˅ B (x) ложно, то есть при любом x ложно как высказывание A (x), так и высказывание B (x). Следовательно, не существует такого x, при котором истинно A (x), и не существует x, при котором истинно B (x), то есть высказывание ∃x (A (x) ˅ B (x)) ложно.