Учебно-Технологический_Практикум_УТС.Б_2

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана»

Калужский Филиал

____________________________________________________________

Адкин М.Ю.

АВТОМАТИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ И РАСЧЕТОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

Линейная алгебра и основы работы с векторами и матрицами в

MATLAB.

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 2

по курсу

“Учебно-технологический практикум” для направления подготовки бакалавров

220400.62 «Управление в технических системах» (ЭИУ3-КФ)

УДК 681.3.06

Данные методические указания издаются в соответствии с учебным планом направления подготовки 220400.62.

Указания рассмотрены и одобрены: кафедрой “САУ“ ЭИУ3-КФ

Данные методические указания написаны на основе официальной документации пакета MATLAB, предназначены для выполнения лабораторной работы по курсу «Учебно-технологический практикум» студентами специальности 220400.62 1-го семестра обучения.Цель работы - знакомство студентов с элементами линейной алгебры и типовы-

2

Лабораторная работа №2.

Тема работы: Линейная алгебра и работа с векторами и матрицами в MATLAB

Приборы и оборудование:

Компьютер совместимый с IBM PC, 128-512 Мб. ОЗУ

Операционная система WINDOWS XP,7,UNIX

Математический пакет MATLAB Version 5.*, 6.*, 7.*

Цель работы: знакомство студентов с элементами линейной алгебры и типовыми приемами работы с векторами и матрицами в

MATLAB.

Содержание работы:

1.Изучить теоретические положения лабораторной работы.

2.Выполнить задания и сделать выводы.

3.Оформить отчет.

Форма отчетности студентов:

Индивидуальный отчет в электронной форме с типовым титульным листом. Допустимый формат -DOC.

Содержание отчета:

1. Порядковый номер и текст задания или задачи.

2.Программа MATLAB решения задачи.

3. Результат выполнения задания, решения задачи.

4. Ответ или вывод в развернутой форме с необходимыми доказательствами.

Длительность работы : 6 академических часов.

Защита работы : Собеседование с преподавателем по контрольным вопросам, выполнение индивидуальных заданий.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 ВЕКТОРА

Влабораторной работе приняты следующие обозначения:

вектора записываются строчными латинскими буквами - a,b, а матрицы - прописными латинскими буквами - A,B, жирным шрифтом;

элементы векторов и матриц - всегда строчные латинские буквы - определяются либо с помощью нижних индексов (математическая

3

форма записи) - ai , b j , aij , b jk , либо в форме записи пакета MATLAB - индексацией в круглых скобках: a(i), b( j), a(i, j), b( j, k) ;

если не указано особо вектором полагается вектор-столбец;

транспонированные вектора и матрицы определяются с помощью верхнего индекса 'т' - математическая форма записи, или с помощью верхнего индекса апостроф - форма записи пакета MATLAB.

1.1.1СКАЛЯРНОЕ ИЛИ ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Вектор можно скалярно умножить на другой вектор, если их размеры – число элементов в векторах - совпадают. Результатом скалярного произведения векторов является число. Формулы для вычисления произведения векторов размера N :

т.е. - скалярное произведение векторов есть произведение модулей

этих векторов на косинус угла между векторами, или, поэлементно - сумма поэлементного произведения векторов.

Геометрический смысл скалярного произведения - площадь прямоугольника, сторонами которого являются модуль проекции первого вектора на второй и модуль второго вектора. Если между векторами прямой угол, проекция равна нулю, и , соответственно, нулю равно скалярное произведение. Такие вектора называют ортогональными. Примером ортогональной системы векторов могут служить ортогональные оси декартовой системы координат :

Физический смысл скалярного произведения - работа, совершаемая постоянной силой по перемещению груза.

Из формулы определения скалярного произведения следует :

1.Формула для определения модуля вектора:

a a * a .

2.Формула для определения косинуса угла между векторами:

a *b cos( ) a * b .

4

1.1.2 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторное произведение двух векторов определено только для векторов из трехмерного пространства. Результатом векторного произведения является вектор, перпендикулярный плоскости в которой лежат сомножители и образующий с ними правую тройку векторов.

Обозначение векторного произведения: c a b a b ;

модуль вектора векторного произведения: c a * b * sin(ab) ;

векторное произведение двух ненулевых векторов в координатах:

Для вычисления векторного произведения в MATLAB существует функция cross. Кроме функции cross векторное произведение можно вычислить поэлементно.

1.1.3 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Смешанное - скалярно - векторное произведение трех ненулевых некомпланарных векторов, есть число, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах, исходящих из одной точки. Это число положительное, если тройка векторов является правой и отрицательно, если тройка левая.

Обозначение смешанного произведения:

смешанное произведение векторов, заданных своими координатами a [a1, a2 , a3 ],b [b1, b2 , b3 ],c [c1, c2 , c3 ],

5

1.1.4 ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Пусть a - вектор столбец размера N, b - вектор строка размера M. Тогда результатом внешнего произведения векторов a и b будет матрица C размера N x M, элементы которой вычисляются по формуле:

Замечание: внешнее произведение векторов является частным случаем произведения матриц.

1.2 МАТРИЦЫ

1.2.1 МАТРИЧНЫЕ АДДИТИВНЫЕ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ MATLAB

При использовании матричных операторов следует помнить, что при сложении или вычитании матрицы должны быть одного размера, а при перемножении - число столбцов множимого должно равняться числу строк множителя.

Матричные операторы:

Оператор сопряжения и транспонирования для вещественных матриц дает один и тот же результат. Однако для матриц, имеющих ком-

6

плексные элементы результаты будут различны: оператор сопряжения не только поменяет строки и столбцы матрицы, но и заменит комплексные элементы на комплексно-сопряженные:

>>A=[1+2i 2+4i; 3-2i 6+7i] A =

1.0000 + 2.0000i 2.0000 + 4.0000i

3.0000 - 2.0000i 6.0000 + 7.0000i

>>B=A'

B =

1.0000 - 2.0000i 3.0000 + 2.0000i

2.0000 - 4.0000i 6.0000 - 7.0000i >> C=A.'

C =

1.0000 + 2.0000i 3.0000 - 2.0000i

2.0000 + 4.0000i 6.0000 + 7.0000i

1.2.2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему линейных уравнений вида Ax=b, где A - матрица, а x и b - вектор столбцы неизвестных переменных и правой части соответственно. Согласно теореме Кронекера и Капелли, если ранг матрицы A отличен от нуля и равен рангу расширенной матрицы A|b, то система уравнений совместна, и имеет, по крайней мере, одно решение.

В MATLAB ранг матрицы может быть найден с помощью операто-

ра rank:

RANK Matrix rank.

RANK(A) provides an estimate of the number of linearly independent rows or columns of a matrix A. RANK(A,tol) is the number of singular values of A

that are larger than tol.

RANK(A) uses the default tol = max(size(A)) * norm(A) * eps

Если система уравнений определенна, т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то формально решение системы линейных уравнений имеет вид x= A-1b, где A-1 - обратная к A матрица. В MATLAB

последнее выражение трактуют как деление вектора b на вектор A

: x= A \ b. На самом деле, алгоритм решения систем линейных уравнений в MATLAB при помощи оператора обратного деления определяется структурой матрицы коэффициентов системы MATLAB - учитывается треугольность, симметричность, прямоугольность или квадратность матрицы. Возможность решения для прямоугольных матриц

7

коэффициентов, говорит о том, что MATLAB может успешно решать переопределенные или недоопределенные системы уравнений.

Пример.

Решим систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Последовательность решения:

1.Формируем матрицу коэффициентов A:

>>A=[1.2 0.3 -0.2;0.5 2.1 1.3;-0.9 0.7 5.6]

A =

1.2000 0.3000 -0.2000

0.5000 2.1000 1.3000 -0.9000 0.7000 5.6000

2.Формируем вектор правой части b: >> b=[1.3 3.9 5.4]'

b = 1.3000 3.9000 5.4000

3.Определяем ранг матрицы коэффициентов:

>> rank(A) ans =

3

4.Формируем расширенную матрицу системы:

>> C=[A b] C =

1.2000 0.3000 -0.2000 1.3000

0.5000 2.1000 1.3000 3.9000 -0.9000 0.7000 5.6000 5.4000

5.Определяем ранг расширенной матрицы:

>> rank(C) ans =

3

6.Ранги равны и равны порядку системы. Следовательно, система имеет единственное решение:

>> x=A\b

8

Найденное решение.

x =

1.0000

1.0000

1.0000

Замечание: Найденное решение всегда следует проверять методом подстановки в исходное уравнение.

1.2.3 ЗАПОЛНЕНИЕ МАТРИЦ

Заполнение матриц данными может потребоваться при формировании матриц систем линейных уравнений. Это можно делать несколькими способами:

1. Вручную, в командном окне MATLAB. Примеры рассмотрены в 1-й лабораторной работе курса - матрица вводится в квадратных скобках, построчно, элементы строк отделяются пробелами, а строки символом точка с запятой. Можно отделять строки нажатием на клавишу ввода, однако при этом последним введенным символом должна быть закрывающаяся квадратная скобка :

>> A=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16]

2. С помощью функций MATLAB формирования матриц специального вида. Информацию о таких функциях можно получить, если, например, в командном окне MATLAB ввести запрос help elmat, что означает справку по элементарным матрицам и манипуляциям с ними.

Интересующие нас разделы : Elementary matrices,Matrix manipulation, Specialized matrices.

9

В данной работе рассмотрим некоторые из этих функций.

Результаты примеров представлены ниже:

>>A=zeros(4,5)

10