Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MA3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

979.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

21 Несобственные кратные интегралы

Кратный интеграл Римана определен лишь для ограниченных функций на ограни- ченных множествах. Несобственные интегралы позволяют расширить его определение на неограниченные множества и неограниченные функции. Но, в отличие от одномерного случая, здесь не будет делаться различий между несобственными интегралами I и II рода. Обе разновидности несобственных интегралов и их ½гибриды описываются единообразно благодаря понятию исчерпывания множества.

Определение 21.1. Пусть на произвольном множестве U Rn задана скалярная функция f. Исчерпыванием U называется последовательность измеримых мно-

	∞
жеств Kj, таких, что f интегрируема на Kj, K1 K2 K3 . . . è	jS
жеств Kj, таких, что f интегрируема на Kj, K1 K2 K3 . . . è	=1 Kj = U.

Определение 21.2. Пусть скалярная функция f(x1, . . . , xn) определена на множес- òâå U Rn. Говорят, что несобственный интеграл

· · · f(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn	(47)
U

сходится, если для всякого исчерпывания {Kj} множества U существует конеч- ный предел

I	lim	Z	f(x	, . . . , x		)dx		. . . dx		,
	= j→∞ Z · · ·	Z	1		n		1		n
	Kj

не зависящий от выбора исчерпывания. Тогда несобственный интеграл равен этому пределу.

Определение 21.3. Говорят, что несобственный интеграл (47) абсолютно схо-

дится, если для некоторого исчерпывания {Kj} множества U существует конеч-
ный предел	abs = j→∞ Z	· · · Z	\|			n \|
I				1	, . . . , x		1	. . . dx	n	.
	lim			f(x		) dx

Теорема 21.1. 1) Если несобственный интеграл (47) абсолютно сходится, то он сходится, причем |I| ≤ Iabs.

2) Если несобственный интеграл сходится, то он абсолютно сходится.

Таким образом, для несобственных кратных интегралов условная сходимость невозможна.

Доказательство. 1) Пусть (47) абсолютно сходится, т.е. Iabs < +∞. Тогда ε > 0

N : j ≥ N

Iabs − 3		< Z	· · · Z	\|f(x1, . . . , xn)\|dx1 . . . dxn ≤ Iabs.
	ε
			Kj

Кроме того, поскольку при k > j −→ ∞

Z		· · · Z		f dx1	. . . dxn	≤ Z	· · · Z		\|f\|dx1 . . . dxn −→ 0,
	Kk		Kj			Kk		Kj
		\					\

то по критерию Коши существует конечный предел

I = lim · · · f(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn,

j→∞

причем |I| ≤ Iabs. Пусть {Qi} другое исчерпывание U. Поскольку множества Qiε∩KN

исчерпывают KN , можно выбрать такое M, ÷òî i > M

V (KN \Qi) <

3 sup

≤

Тогда при i > M получаем:

· · ·

f dx1 . . . dxn − I

≤ Z

· · · Z

f dx1 . . . dxn − I

+ Z

· · · Z

|f|dx1 . . . dxn + Z

· · · Z

|f|dx1 . . . dxn

3 + ( N \ i) KN | |

j=N+1 Z · · · Z | | 1

3 3 3

∞

K Q sup f

sup

f dx . . . dx

= ε.

Qi∩Kj\KN

2) Пусть нет абсолютной сходимости, т.е. Iabs = +∞. Обозначим U+ = {X U : f(X) ≥ 0}, U− = {X U : f(X) < 0}. Интегралы |f| по подмножествам U+ (èëè U−) неограничены. Возьмем такoе исчерпывание {Qk}, ÷òî

Z · · · Z f dx1 . . . dxn > 2k;	Z	· · · Z \|f\|dx1 . . . dxn < k.
Qk∩U+	Qk∩U−

Тогда интегралы f ïî Qk стремятся к +∞.
Пример 21.1. Вычислить несобственный интеграл ZZ2	e− 21 (x2+y2)dxdy.
R

Для плоскости R2 возьмем исчерпывание кругами Kj

= {x2 + y2 ≤ j2}. Вычислим

через полярные координаты:

ρ=0 dϕ = 2π

−e− 21 j2 + 1

→ 2π

ZZ e− 21 (x2+y2)dxdy = Z dϕ Z e− 21 ρ2 ρ dρ = Z −e− 21 ρ2

ρ=j

−

ïðè j → ∞. Поскольку |f| ≡ f, мы убедились, что

интеграл сходится абсолютно, и

вычислили его. Теперь возьмем другое исчерпывание R квадратами Qi = [−i; i]

e− 21 (x2+y2)dxdy = Z

dx e− 21 x2

e− 21 y2 dy = Z

e− 21 x2 dx · Z

e− 21 y2 dy i−→→∞

−i

∞	e− 21 x2 dx		2
i−→→∞ Z	e− 21 x2 dx		= 2π (ответ уже известен).
−∞
Таким образом, мы вычислили неберущийся интеграл Пуассона
	∞
	Z	e− 21 x2 dx = √
	Z	e− 21 x2 dx = √		2π.
	−∞

Признак сравнения. Пусть g(x1, . . . , xn) ≥ |f(x1, . . . , xn)| íà U. Если несобственный

интеграл Z	·U· · Z	g dx1 . . . dxn сходится, то сходится и интеграл от f.
Доказательство. Пусть {Kj} исчерпывание U. Тогда
Z	· · · Z	\|f\| dx1 . . . dxn ≤ Z		· · · Z	g dx1 . . . dxn → 0 ïðè k > j → ∞,
Kk\Kj		Z	Kk\Kj
		Z		Z
и по критерию Коши интеграл			· · · f dx1 . . . dxn абсолютно сходится.
			U
Пример 21.2. Вычислить несобственный интеграл
				2ZZ2	x2 + y2 .
					dxdy

{0<x +y ≤1}

Возьмем исчерпывание кольцами Kj = {j−2 ≤ x2+y2 ≤ 1}. Вычислим через полярные координаты:

ZZ		x2	+ y2	π	1	ρ	· ρ dρ = 2π	1 − j i−→→∞ 2π.
ZZ		x2	+ y2	= Z	dϕ Z	ρ	· ρ dρ = 2π	1 − j i−→→∞ 2π.
	dxdy					1		1
Kj	p			−π	1/j

Поскольку |f| ≡ f, доказано, что интеграл сходится абсолютно, и вычислено его значение.

Пример 21.3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

(x2 + 2y2)3/2

dxdy.

{0<x2+y2≤1}

Из оценки

(x2

+ 2y2)3/2

≤

x2|

|y2

x2 + y2

≤

x2 + y2

и сходимости интеграла в примере 21.2 по признаку сравнения следует сходимость данного интеграла. В силу симметрии он = 0.

22Свертка периодических функций (дополнительная лекция)

Определение 22.1. Пусть f è g кусочно-непрерывные 2π-периодичные функции. Их сверткой называется 2π-периодичная функция

f g(x) = f(t)g(x − t)dt.

−π

Свертка коммутативна: сделав замену u = x − t, мы получим

π	x−π
g f(x) = Z−π f(x − t)g(t)dt =	Zx+π	f(u)g(x − u)(−du) =
Z x+π		Z π

=	f(u)g(x − u)du =	f(u)g(x − u)du = f g(x)
x−π		−π
â ñèëó 2π-периодичности.

Лемма 22.1. Если g тригонометрический многочлен степени n, òî f g тригонометрический многочлен степени не выше n.

			n
			Xk
Доказательство. Пусть g(x) = C +				Ak cos kx + Bk sin kx . Тогда
			=1
π		n
f g(x) = Z		n
f g(x) = Z	f(t) C + k=1		Ak(cos kx cos kt + sin kx sin kt)+
−π		X		+ Bk(sin kx cos kt − cos kx sin kt) dt =
		n		+ Bk(sin kx cos kt − cos kx sin kt) dt =
= Cπa0		n
= Cπa0		+ k=1 π(Akak − Bkbk) cos kx + π(Akbk + Bkak) cos kx .
		X

Доказательство теоремы Вейерштрасса. Пусть f непрерывная 2π-периодич- ная функция, M = max |f|. Определим функции

π
ψn(x) = Z (1 + cos t)ndt −1	(1 + cos x)n.
−π

δ (0; 1) òàê, ÷òî

Функция ψn является тригонометрическим многочленом степени

n, âåäü cos kx

является многочленом

степени

îò

cos x = cos

выражается линейно через

cos x, . . . , cos nx

По построению ψn ≥ 0 è R−π ψn(t)dt = 1. Кроме того, δ (0; π) получается

−δ

π max ψn(x)

= π

1 + cos δ

γn := ψn(t)dt = ψn(t)dt <

δ≤|x|≤π

−π

|≤

−→→∞

δ/2

1 + cos( 2)

min

ψ (x)

δ/

Будем приближать f тригонометрическими многочленами fn = f ψn. Зададим ε > 0 и в силу равномерной непрерывности f выберем |f(x) − f(y)| ≤ ε при |x − y| ≤ δ.

		π		π	ψn(t)f(x)dt
\|fn(x) − f(x)\| =		Z	ψn(t)f(x − t)dt − Z		ψn(t)f(x)dt		≤
	π	−π		−π		δ
	π					δ

≤ Z ψn(t) f(x − t) − f(x) dt ≤ Z ψn(t) f(x − t) − f(x) dt+
−	π				−	δ
−					−
				δ		π
				−
				+ 2M Z ψn(t)dt + Z ψn(t)dt ≤ 2δε + 2M · 2γn < 3ε
				−π		δ

при достаточно большом n. Таким образом, max |fn − f| → 0 ïðè n → ∞, ÷òî è

требовалось доказать.

Представим частичную сумму ряда Фурье через свертку.

S2n =

(ak cos kx + bk sin kx) =

f(t)dt + π

= 2π Z

k=1

f(t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx)dt =

−

= f(t)Dn(x − t)dt = f Dn(x),

−π

где ядром Дирихле называется функция

Dn(u) =

1 + 2 k=1 cos ku

2π

2π k=−n cos ku =

u =

u − sin k −

2π sin u k=−n cos ku sin

4π sin u k=−n sin k +

sin n + 2 u − sin −n − 2 u

u .

sin n +

4π sin

2π sin

Функция Dn четная. Поскольку 1 Dn ≡ 1, получаем

Z−π Dn(t)dt = 1 = Z−π Dn(t)dt =

Dn(t)dt = 2.

Доказательство признака Дини в точке, где существуют одностороние производные

f0(a

0) = lim

f(a + t) − f(a ± 0)

→±

S2n(a) − f(a) = Z f(a − t)Dn(t)dt − Z f(a − 0)Dn(t)dt + Z f(a + 0)Dn(t)dt =

−π

= Z

f(a − t) − f(a − 0) Dn(t)dt + Z

f(a + t) − f(a + 0) Dn(t)dt =

−π

t dt,

F (a − t) sin n + 2

−π

ãäå F (a

−

t) =

f(a − t) − f(a − 0 · sign t)

кусочно-непрерывная функция. Нетрудно

2π sin

∞

проверить, что система функций ngn(t) =

√

sin n +

ton=1 является ортонорми-

рованной. Из неравенства Бесселя

∞

(F, gn)2

n=1

√

≤ kF k2 < +∞ = S2n(a) − f(a) = π · (F, gn) −→ 0.

n→∞

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.11.20191.07 Mб15L_r_4_9s_M1.doc
#
10.02.20156.04 Mб21m07.pdf
#
10.02.2015291.36 Кб61m1.pdf
#
21.04.2015312.58 Кб16m101.pdf
#
12.03.2015615.2 Кб29m107.pdf
#
09.02.2015979.24 Кб10MA3.pdf
#
09.02.2015862.2 Кб16MAall.pdf
#
10.02.2015906.34 Кб10MAall.pdf
#
10.02.2015909.4 Кб5MAiu9.pdf
#
09.02.2015160.26 Кб9maket ОФОРМЛЕНИЕ ДОКЛАДОВ.doc
#
21.12.2018553.47 Кб2Management.doc