4Функциональные ряды

∞

∞

X

n\

fn(x),

x D = D(fn).

n=0

=0

nx D :

∞

Область сходимости этого ряда C =

n=0 fn(x) сходитсяo. Íà C

∞

P

P

определена функция S(x) =

fn(x), называемая суммой функционального ряда,

n=0

N

nP

и частичные суммы SN (x) =

fn(x).

=0

Определение 4.2. Ряд

∞

=0 fn(x) сходится равномерно на множестве C1 C,

åñëè

nP

n=0

1

димый признак сходимости, а при |x| < 1 ряд сходится, его сумма равна S(x) =

1

−

x,

а частичные суммы SN (x) =

1 − xN+1

ò.å.

нет равномерной

1

−

x

(−1; 1)

сходимости,

ε > 0 : M N > M, x C1 : |SN (x) − S(x)| ≥ ε.

Например, для ε

= xN+1

1/2

.

p

1 возьмем любое N > M и x =

N+1 1/2. Тогда

Признак Вейерштрасса. Пусть существует сходящийся знакоположительный ряд

∞

C1.

∞

P

P

n=0 an (мажоранта), такой, что n |fn(x)| ≤ an

íà C1. Тогда ряд n=0 fn(x) cходится

равномерно и абсолютно на

Доказательство. Из сходимости мажоранты при всех x C1 получаем оценку

N

N

N

n X

X

X

≤

| ≤

−→

fn(x)

fn(x)

an

0,

=M+1

n=M+1

N>M

→∞

n=M+1

=0 |fn(x)| сходятся равномерно на C1.

nP

∞

Пример 4.1 (продолжение). Для ряда

=0 xn на отрезке [−r; r], 0 < r < 1, мажорантой

является сходящийся ряд ∞ rn.

nP

nP

=0

Пример 4.2. Доказать равномерную сходимость ряда

∞

(−1)n xn на отрезке [0; 1].

X

| N

−

| ≤

N+1

≤

N + 1

(0;1]

→ ∞

(x)

S(x)

N + 1

xN+1

0

ïðè N

.

S

(−1)

1

∞

Теорема 4.1. (о непрерывности суммы). Пусть ряд

fn(x) сходится равно-

мерно на

I R

fn(x)

P

I. Тогда сумма

n=0

промежутке

, и все функции

непрерывны на

Следующий пример показывает, что, если ряд из непрерывных функций сходится

неравномерно, то его сумма может оказаться разрывной.

Пример 4.3. Рассмотрим ряд

∞ fn(x) на отрезке [0; 1], ãäå

nP

=0

fn(x) = xn+1 − xn

ïðè

n = 1, 2, 3, . . .

x

ïðè

n = 0

Тогда частичные суммы равны SN (x) = xN+1. На отрезке

[0; 1]

ряд сходится к

разрывной функции:

∞

N→∞

N→∞

=

1

x = 1.

n=0

ïðè

fn(x) = lim SN (x) = lim xN+1

0

ïðè

0

≤ x < 1,

X

Теорема 4.2. (о почленном интегрировании). Пусть ряд

∞ fn(x) сходится

[ ; ]

n(

)

P[ ;

]

n=0

равномерно на отрезке

a b , и все функции f

x

непрерывны на

a b . Тогда сумма

ряда S(x) интегрируема на [a; b], причем

∞ Z b fn(x)dx.

Z b S(x)dx =

(3)

X

a

n=0 a

Z b SN (x)dx =

N Z b fn(x)dx.

(4)

X

N

b

b

−

≤ −

I

| − | −→→∞

n=M+1

Z

a

Z

a

X

fn(x)dx

=

(b

a) sup SN SM

0

N>M

b

−

Z

b

≤ −

I

|

−

| −→→∞

a

a

Z

SN (x)dx

S(x)dx

(b

a) sup SN (x)

S(x)

0.

N>M

∞

Пример 4.4. Ряд n=0(−1)nxn сходится равномерно на [−r; r] r < 1. Поэтому его

сумму можно

P

[0; x] èëè [x; 0] ïðè

|

x

|

< 1,

почленно интегрировать по любому отрезку

получится ряд

∞

1)nxn+1

∞

x

x

x

1

(−

= n=0 Z (−1)nun du = Z

S(u)du = Z

du = ln(1 + x).

n=0

n + 1

1 + u

X

X

0

0

0

A поскольку ряд

∞

(−1)nxn+1

[0; 1] (см. пример

X

n=0

n + 1

сходится равномерно на отрезке

4.2), то его сумма непрерывна на [0; 1], и равенство

∞ (−1)nxn+1

= ln(1 + x)

x (

1; 1)

X

−

n=0

n + 1

продолжается по непрерывности и в точку x = 1.

∞

X

Теорема 4.3. (о почленном дифференцировании). Пусть ряд S(x) =

fn(x)

x

∞

x

∞

Z

Z

X

X

a

T (u)du = n=0 a

fn0 (u)du = n=0 fn(x) − fn(a) = S(x) − S(a).

1

0

= −

1

∞

∞

(−1)k(k + 1)xk

1 + x

(1 + x)2

= n=1

(−1)nnxn−1 = − k=0

X

X

1

∞

Xk

− 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + . . .

(1 + x)2 =

(−1)k(k + 1)xk = 1

=0