16 Поверхностные интегралы

Пусть Σ квадрируемая гладкая поверхность. Ее разбиением называется такой

Определение 16.1. Пусть скалярная функция f(x, y, z) определена на квадрируемой

гладкой поверхности Σ. Пусть {σi}mi=1 разбиение Σ; выбраны точки Xi [σi]. Интегральной суммой называется сумма

m

S{Xi}(f) = XS(σi)f(Xi).

{σi}

i=1

Верхняя и нижняя суммы Дарбу по разбиению {σi}mi=1 :

Определение 16.2. Функция f(x, y, z) интегрируема по квадрируемой гладкой поверхности Σ, если Σ D(f) и существует число J R : ε > 0 δ > 0 : если diam{σi} < δ, то при любом выборе точек Xi σi имеем

Для поверхностного интеграла I рода справедлив критерий Дарбу: функция f(x, y, z) интегрируема на Σ, если и только если совпадают верхний и нижний интегралы

в этом случае интеграл J совпадает с ними обоими.

Теорема 16.1. Пусть Σ = ~r(U) = {(x(u, v); y(u, v); z(u, v)) : (u, v) U} квадри-

руемая гладкая поверхность. Пусть f(x, y, z) непрерывная ограниченная скалярная

функция, определенная на Σ. Тогда f интегрируема по Σ, и е поверхностный интеграл I рода равен

62

Доказательство. Интегрируемость f ïî Σ доказывается так же, как для кратного интеграла (теорема 11.2). Обозначим этот интеграл через J.

Поскольку U R2 квадрируемая область, элементы матрицы G(u, v) непрерывны и ограничены, то интеграл I в правой части (34) тоже существует, а значит, при достаточно малом диаметре разбиения U на множества Ui будет выполнено

Пусть σi образ Ui (кроме граничных точек) при отображении ~r. Тогда {σi} разбиение Σ. Поскольку diam{σi} ≤ sup (|∂~r/∂u| + |∂~r/∂v|) · diam{Ui}, мы можем, взяв достаточно малый диаметр разбиения {Ui}, получить столь малый диаметр {σi}, чтобы при любом выборе точек Xi σi

заключена между суммами Дарбу (35) и потому |S − I| < ε. Â ñèëó (33), |S − J| < ε, следовательно, |I − J| < 2ε. Поскольку ε > 0 произвольно, мы получаем I = J.

Свойства поверхностного интегралa I рода

Поверхностный интеграл II рода

Определение 16.3. На поверхности задана ориентация, если на ней задано непрерывное поле единичных нормалей, т.е. непрерывная векторнозначная функция ~n :

Σ 7→R3, такая, что X Σ вектор ~n(X) направлен по нормали и |~n(X)| = 1.

Если на поверхности можно задать ориентацию, она называется ориентируемой или двусторонней; в противном случае неориентируемой или односторонней. Пос-

кольку вектора ~ru è ~rv образуют базис касательной плоскости TX Σ, то единичная нормаль в точке X = ~r(u, v) имеет вид

±1

~n(X) = |~ru × ~rv| · ~ru × ~rv,

63

причем знак + èëè − сохраняется на всей поверхности, задаваемой отображением

~r(u, v) ( + если вектора ~ru, ~rv è ~n образуют правую тройку, − если левую). Таким образом, простая гладкая поверхность ориентируема. Простейший пример неориентируемой поверхности лист Мебиуса.

квадрируемой гладкой ориентируемой поверхности Σ. Поверхностным интегра-

Из теоремы 16.1 следует, что непрерывное ограниченное векторное поле интегрируемо по квадрируемой ориентируемой поверхности. Выведем формулу для вычисления интеграла II рода по простой гладкой поверхности, предположив, что вектора

~ru, ~rv è ~n образуют правую тройку:

4. Если поменять ориентацию поверхности, то поверхностный интеграл II рода поменяет знак.

64

17 Циркуляция и формула Грина

Она называется несамопересекающейся, если нет другой пары значений параметра s, t [α; β] : s < t, X(s) = X(t).

Криволинейный интеграл II рода по замкнутой кривой называется циркуляцией, и в его обозначении может использоваться знак H вместо R . Физический смысл

циркуляции работа силы по замкнутому контуру. Циркуляция не зависит от того, какую точку считать началом и концом кривой: пусть A è B две точки на замкнутой

кривой `, на которой задана ориентация; обозначим через `1 е участок, ведущий из

A â B, а через `2 ведущий из B â A. Тогда в силу аддитивности криволинейного интеграла II рода мы получим

Ω 7→Rd непрерывное векторное поле. Тогда следующие утверждения равносильны :

~

(2) Циркуляция V по любой замкнутой несамопересекающейся кусочно-гладкой кривой ` Ω равна 0.

Доказательство. (1)= (2) по формуле Ньютона Лейбница для криволинейного инте-

Z

точку A Ω, положим Φ(A) = 0; для других X Ω пусть Φ(X) = P dx + Qdy, ãäå

AX

AX Ω гладкая кривая с началом A и концом X. Такое определение корректно: если `1 è `2 две кривые с началом A и концом X, то возьмем кривую `3 Ω с началом X и концом A, не имеющую с `1 è `2 других общих точек, тогда

Теперь покажем, что X Ω функция Φ

дифференцируема, и r ~

Φ(X) = V (X).

Вычислим частные производные Φ в точке X = (x, y). Пусть Xt = (x + t, y). Тогда

65

мы получаем в пределе ∂Φ/∂x(X) = P (X). Аналогично получим ∂Φ/∂y(X) = Q(X).

Поскольку частные производные функции Φ непрерывны на Ω, получаем е диффе-

, ïðè ýòîì r ~ ренцируемость в каждой точке X Ω Φ = V .

Доказательство. В силу линейности всех разновидностей интегралов, нам достаточ- но доказать следующие две формулы:

где g(x) и h(x) непрерывные функции с кусочно-непрерывными производными, h(x) > g(x) при a < x < b. Вычислим правую часть (38):

8т.е. при движении по ∂U в заданном направлении область U остается слева.

66

Чтобы вычислить левую часть (38), заметим, что ` = ∂U замкнутая кусочно-глад- кая кривая, составленная из следующих четырех кривых:

·~

вертикальному отрезку ортогонален вектору P (x, y) i. На кривой `g в качестве пара- метра можно взять x, тогда

На кривой `h в качестве параметра также можно взять x, но ориентация получится обратной (слева направо), поэтому

b

ZZ

Сложив интегралы II рода по четырем кривым, получаем

b

IZ

P (x, y)dx = P x, g(x) − P x, h(x) dx,

`a

èформула (38) для области U вида (40) доказана.

Практически любую ограниченную область со связной кусочно-гладкой границей

можно разбить вертикальными отрезками на конечное множество областей Ui âèäà (40). При этом двойные интегралы сложатся по аддитивности. Для криволинейных

интегралов аддитивность тоже сработает: невертикальные участки границы U состоят

из невертикальных участков границ Ui-ûõ, и ориентации согласованы; интегралы по вертикальным отрезкам равны 0.

67

Доказательство (39) аналогично, отличие в том, что разбиваем U горизонтальными

отрезками на области вида

(x; y) : a < y < b; g(y) < x < h(y) .

Следствие 17.1. Пусть область Ω R2 односвязна, т.е. не имеет дыр;

векторное поле с непрерывными частными производными, причем ∂P /∂y = ∂Q/∂x

Доказательство. В силу теоремы 17.1 нам достаточно доказать, что циркуляция ~

V

по любой замкнутой несамопересекающейся кусочно-гладкой кривой ` Ω равна 0. Если ` Ω, то ограничиваемая ею область U также содержится в Ω, поскольку область Ω односвязна. Применим формулу Грина:

Замечание 17.1. Из доказательства формулы Грина (переход от области простого вида к произвольной) видно, что теорема 17.2 останется справедливой даже для неодносвязной области. Тогда в левой части формулы (37) будет стоять сумма нескольких циркуляций: внешнюю границу следует обходить против часовой стрелки, а границу каждой дыры по часовой стрелкe (в обоих случаях область остается слева).

68

18 Дивергенция. Теорема Остроградского Гаусса

Геометрический смысл дивергенции станет ясен позже.

Теорема 18.1. (Остроградский Гаусс). Пусть Ω R3 ограниченная область, такая, что ∂Ω связная кусочно-гладкая квадрируемая поверхность ; пусть на каждой гладкой части поверхности ∂Ω задано непрерывное поле единичных нор-

P

~

малей ~n, направленных наружу Ω. Тогда для векторного поля V (x, y, z) = Q ,

R

непреpывного на [Ω], имеющего непрерывные частные производные в Ω, верна формула9

Доказательство. В силу линейности всех разновидностей интегралов, нам достаточ- но доказать следующие три формулы:

Докажем (42); две другие формулы доказываются аналогично. Сначала предположим, что область Ω имеет вид

ãäå D R2 квадрируемая ограниченная область; функции g и h непрерывны на [D], имеют непрерывные частные производные на D, и h > g на D. Граница такой

9такой знак используется вместо RR для обозначения поверхностного интеграла II рода только в том случае, когда интеграл берется по всей поверхности тела, причем нормали направлены наружу.

69

области имеет вид ∂Ω = Σg Σh Σo, ãäå

и формула (42) для области вида (43) доказана.

Практически любую область, удолетворяющую условиям этой теоремы, можно разбить вертикальными цилиндрическими поверхностями на конечное множество

областей Ωi вида (43). При этом тройные интегралы сложатся по аддитивности. Для поверхностных интегралов аддитивность тоже сработает: невертикальные части ∂Ω

состоят из невертикальных частей границ Ωi-ûõ, и ориентации согласованы; инте- гралы по вертикальным поверхностям равны 0.

70

ãäå A Ω U, область Ω имеет кусочно-гладкую границу.

Таким образом, дивергенция это плотность источников векторного поля (от-

~

ношение потока из тела Ω к его объему). Точки, в которых divV > 0, называются

~

источниками векторного поля; точки, в которых divV < 0, называются стоками.

Доказательство. Применим теорему Остроградского Гаусса, затем теорему о среднем:

Свойства дивергенции

1. Дивергенция не зависит от выбора декартовой системы координат. Это вытекает из следствия 18.1.

Рассмотрим пример применения формулы Остроградского Гаусса.

Пример 18.1. Найти поток векторного поля наружу через повер- хность полушара Ω = {x2 +y2 +z2 < 1; z > 0}. Сначала вычислим поток непосредственно. Поверхность ∂Ω состоит из двух гладких поверхностей круга и полусферы:

По формуле Остроградского Гаусса поток будет вычисляться так:

71

19 Ротор и теорема Стокса

Этот странный ½определитель придуман лишь для удобства запоминания формулы ротора. При вычислении этого определителя элементы перемножаются сверху вниз.

Пример 19.1. Рассмотрим поле скоростей твердого тела, вращающегося вокруг Oz с угловой скоростью ω :

−ωy

~

V (x, y, z) = ωx .

0

Его ротор равен

т.е. ротор параллелен оси вращения, его норма равна 2ω, и он направлен по правилу винта.

Определение 19.2. Пусть U R2 ограниченная область, ∂U замкнутая кусоч- но-гладкая кривая, ориентированная против часовой стрелки. Пусть отображение

x(u, v)

~r(u, v) = y(u, v) : [U] 7→R3 z(u, v)

инъективно и имеет непрерывные частные производные на [U], причем матрица Якоби J~r(u, v) имеет ранг 2 для всех (u; v) U. Тогда кривая ` = ~r(∂U) называется контуром гладкой поверхности Σ = ~r(U).

Пусть на поверхности Σ задана такая ориентация, что вектора ∂~r/∂u, ∂~r/∂v и ~n(X) образуют в каждой точке X Σ правую тройку; на кривой ` задана ориентация, полученная из ориентации ∂U при отображении ~r. Тогда говорят, что ориентации Σ и ` согласованы.

Правило согласования ориентаций поверхности и е контура называют ½правилом винта : если воткнуть винт в точку X Σ и крутить его в направлении обхода `, то

он будет ввинчиваться в направлении ~n(X).

72

Теорема 19.1. (Стокс). Пусть Σ простая гладкая поверхность с кусочно-гладким

Доказательство. В силу линейности всех разновидностей интегралов, нам достаточ- но доказать следующие три формулы:

Докажем формулу (44); две другие получаются аналогично. Пусть Σ = ~r(U), ` = ~r(∂U), и пусть граница U параметризована против часовой стрелки: ∂U = {(u(t); v(t)) : 0 ≤ t ≤ T }. Тогда

Вычислим левую часть (44):

73

[предположим, что x дважды непрерывно дифференцируем по u è v; его вторые частные производные сократятся]

(слагаемые с ∂P/∂x сократились).

Теперь вычислим правую часть (44) по формуле (36):

Таким образом, формула Стокса доказана для поверхности класса C2, т.е. для случая,

когда x, y è z имеют непрерывные вторые частные производные по u è v. Íî åñëè îíè

имеют лишь непрерывные первые производные (как оговорено в условии теоремы), т.е. поверхность класса C1, то e можно приблизить поверхностью класса C2 òàê, ÷òî

правая и левая части формулы Стокса будут приближены с любой точностью.

Следствие 19.1. (Геометрический смысл ротора). Пусть U R3 область; вектор-

где A Σ U, плоская поверхность Σ имеет нормаль ~n и кусочно-гладкий контур ` согласованной с нею ориентации.

Доказательство. Применим теорему Стокса, а затем теорему о среднем:

I ZZ

~ ~ · ~ ~

P dx + Qdy + Rdz = (rotV , ~n) dS = S(Σ) (rotV (B), ~n), B Σ.

` Σ

74

Важным следствием теоремы Стокса является теорема о достаточном условии потенциальности векторного поля в трехмерном пространстве. Векторное поле, имеющее нулевой ротор в некоторой области пространства, называется безвихревым в этой области.

Теорема 19.2. Пусть область Ω R3 односвязна (в пространстве это означает, что на любую замкнутую кусочно-гладкую кривую ` Ω, не завязанную узлом,

~

V является потенциальным на Ω.

Доказательство. В силу теоремы 17.1 нам достаточно доказать, что циркуляция ~

V

по любой замкнутой несамопересекающейся кусочно-гладкой кривой ` Ω равна 0.

Åñëè ` Ω не завязана узлом, то натянем на не поверхность Σ Ω. Применим формулу Стокса:

Если замкнутая кривая ` узел, то можно разбить е на две кривые `1 (с началом A и концом B) è `2 (с началом B и концом A), затем добавить третью кривую `3 ñ началом A и концом B, такую, что кривые `1 `3 è `2 `3 не имеют самопересечений

rotrΦ ≡ 0

пространства и было доказано в прошлом семестре.

75

20 Теория поля (итоговая лекция)

Пусть Ω R3 область. Символом Ck(Ω) будем обозначать класс скалярных функций f : Ω 7→R, имеющих на Ω непрерывные частные производные до k-го порядка;

частные производные до k-го порядка. Операции градиента, дивергенции и ротора действуют на этих классах следующим образом:

источников и стоков; его поток через поверхность любого тела B Ω равен 0.

Примеры из физики: магнитное поле; поле скоростей несжимаемой жидкости. Ротор любого векторного поля из класса V C2(Ω) является соленоидальным:

цию по всякой замкнутой кривой, на которую можно натянуть поверхность Σ Ω.

` Ω. Всякое потенциальное поле является безвихревым. Обратное утверждение

верно лишь в том случае, если область Ω односвязна. Примеры потенциальных

полей из физики: гравитационное; электрическое (при отсутствии электродвижущей силы). Дивергенция гравитационного поля пропорциональна плотности масс (массыисточники поля, стоков нет); дивергенция электрического поля пропорциональна

плотности заряда ( источники, стоки).

4. Векторное поле ~

V гармоническое, если оно потенциально и соленоидально, т.е. потенциал такого поля Φ удовлетворяет уравнению Лапласа

∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ

divrΦ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 ≡ ΔΦ = 0;

такая функция Φ тoже называется гармонической. Физические примеры: гравитационное и электрическое поля в вакууме.

76

~ k

если в каждой точке X Σ имеем V (X) TX Σ.

Векторная линия является фазовой кривой для автономной системы дифференциальных уравнений

потенциала E = {X Ω : Φ(X) = Φ(Xo)} является гладкой, и вектор rΦ(Xo)

Стационарные точки данного поля это все точки оси Oz и плоскости Oxy, кроме, разумеется, точки O. Поверхности уровня {Φ = C} представляют собою конусы (при 0 < C < 1), ось Oz\{O} (при C = 1), или плоскость Oxy\{O} (при C = 0). Решим

77

Поскольку z 6= 0 в нестационарных точках, домножаем на (−z) и получаем

dxx = dyy = x = Cy èëè y = Cx.

Можно ввести новую переменную t > 0 : x = t cos α, y = t sin α, ãäå α константa.

т.е. это четверти окружностей с центром O и диаметром на оси Oz. В точках с

z = 0 векторные линии прерываются, поскольку эти точки стационарные. Нетрудно

проверить, что через каждую нестационарную точку проходит кривая из семейства (46), следовательно, других векторных линий, кроме (46), быть не может. Очевидно,

эти линии перпендикулярны всем конусам поверхностям уровня Φ.

Векторными трубками для ~

V являются, например, все верхние и нижние полусферы с центром O и все четверти плоскости, один из краев которых половина оси Oz, а другой лежит в плоскости Oxy.