DZ2_LSK_14
.pdfМосковский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана
Кафедра «Технологии обработки давлением»
Власов А.В.
Анализ напряженно-деформированного состояния при прямом выдавливании полосы методом линий скольжения
Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу «Теория обработки металлов давлением» в 9 семестре для студентов специальности 150201
Москва 2014 г.
|
Содержание |
|
Основные положения метода линий скольжения ............................................ |
3 |
|
Содержание задания |
............................................................................................ |
6 |
Варианты заданий ................................................................................................ |
|
7 |
Пример выполнения ............................................................................................ |
|
8 |
Литература................................................ |
Ошибка ! Закладка не определена. |
|
2
Основные положения метода линий скольжения |
|||||||||||||
|
Метод линий скольжения основан на построении поля линий |
||||||||||||
скольжения и использовании их свойств для определения напряженного и |
|||||||||||||
деформированного состояния. Наибольшее применение получил для |
|||||||||||||
расчетов идеальных жестко-пластических тел, находящихся в плоском |
|||||||||||||
деформированном состоянии. |
|
|
|||||||||||
|
Полем линий скольжения называется бесконечно густая сетка двух |
||||||||||||
семейств ортогональных линий, вдоль которых происходят максимальные |
|||||||||||||
сдвиговые деформации. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Величина среднего напряжения в точке m |
и угол наклона линии |
|||||||||||
скольжения |
|
семейства |
, проходящей через эту точку полностью |
||||||||||
определяет напряженной состояние в ней: |
|
|
|||||||||||
|
x m k sin 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k sin 2 |
|
|
|
||||
|
|
y |
m |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
z |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k cos2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
s |
- постоянная пластичности (максимальное касательное напряжение |
|||||||||||
3 |
|||||||||||||
при плоском деформированном состоянии) |
|
|
|||||||||||
|
Построение поля линий скольжения основано на интегралах Генки, |
||||||||||||
которые физически являются общими интегралами уравнений равновесия |
|||||||||||||
бесконечно малого элемента материальной среды, выделенного линиями |
|||||||||||||
скольжения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2k C |
|
const для линии |
|
|||||||
|
|
|
m |
|
|
|
1 |
|
|
const для линии |
|
||
|
|
m |
2k C |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Из интегралов Генки непосредственно следует основное свойство |
||||||||||||
линий скольжения, используемое для определения напряженного состояния. |
|||||||||||||
3
При движении вдоль линии скольжения одного семейства от точки M к точке N среднее напряжение изменяется пропорционально углу поворота линии
скольжения.
mM mN 2k M N 2k MN
Знак «-» в этом уравнении справедлив для линий скольжения семейства, а знак «+» - для линий скольжения семейства .
Для идентификации семейств линий скольжения можно пользоваться следующим правилом:
Угол, между направлением главной оси 1 и касательной к линии в точке должен составлять / 4 . Положительное направление линии необходимо выбирать так, чтобы система координат M была правой.
По полю линий скольжения можно построить поле скоростей (годограф) материальных точек.
Построение поля скоростей основано на уравнениях Гейрингер, физической основой которых является отсутствие линейных деформаций вдоль линий скольжения.
dv v d 0, (вдоль ) dv v d 0, (вдоль )
Здесь v ,v проекции скорости на направления касательных к линиям
скольжения. Из уравнений Гейрингер непосредственно следует свойство ортогональности линий годографа скоростей соответствующим линиям скольжения. На этом следствии основано построение поля скоростей по полю линий скольжения.
В случае возникновения разрыва скорости вдоль линии скольжения разрыв претерпевает только касательная к линии скольжения составляющая и величина этого разрыва остается постоянной вдоль всей линии скольжения. Это следствие из уравнений Гейрингер принадлежит Форду.
Методика решения задачи методом линий скольжения:
•Строят поле линий скольжения в деформируемом теле.
•Из граничных условий определяют напряженное состояние в какой-либо точке, через которую проходит линия скольжения.
•Определяют главные и среднее напряжение в этой точке, идентифицируют семейства линий скольжения.
•Двигаясь вдоль линий скольжения, определяют изменение угла поворота и среднего напряжения.
•По значениям угла наклона линии скольжения и величине среднего напряжения определяют компоненты тензора нарпяжений.
•По полю линий скольжения строят поле скоростей и определяют скорости материальных частиц в очаге деформации.
Простейшим способом построения линий скольжения является метод
Шофмана, состоящий такой в замене гладких линий скольжения кусочнолинейными, чтобы угол между двумя линиями скольжения одного семейства оставался постоянным (первая теорема Генки). Метод Шофмана применяют
4
для равноугольного поля линий скольжения, когда угол между любыми двумя соседними линиями скольжения обоих семейств одинаков во всем поле. При малых углах (менее 15 ) ошибка в геометрических построениях методом Шофмана не превышает 5%.
|
|
|
|
M' |
|
||
CON |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
N' |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Построение поля по двум известным линиям скольжения (задача Римана) методом Шофмана может быть осуществлено следующим образом:
•На двух известных линиях скольжения выбирают точки O, N , M , удовлетворяющие условию равноугольности.
•Проводят хорды ON,OM .
•Восстанавливают перпендикуляры NN ', MM ' к хордам ON,OM в точках
N, M .
•Точка K пересечения перпендикуляров NN ', MM ' является искомой точкой пересечения двух новых линий скольжения.
5
Содержание задания
q=? |
v0=1 мм/с |
|
m1 |
|
|
m2 |
a1 |
|
b |
a2 |
|
|||
|
|
|
|
v=?
Для заданных геометрических размеров контейнера a1, a2, b; факторов трения m1 и m2 соответственно на левой и правой стенках контейнера и предела текучести s идеального жестко-пластического материала для процесса прямого прессования полосы методом линий скольжения выполнить следующее:
Построить равноугольное поле линий скольжения методом Шофмана, приняв угол между линиями скольжения равным 5 . Считать, что в углах матрицы образуются жесткие зоны.
Обосновать идентификацию линий скольжения.
Построить эпюру напряжений y вдоль верхней границы очага пластической деформации и определить удельную силу деформирования.
Для полученного поля линий скольжения построить годограф скоростей. Доказать, что полученное поле скоростей удовлетворяет кинематическим граничным условиям. Определить скорость и направление истечения металла, приняв скорость пунсона равной 1 мм/с.
При оформлении домашнего задания необходимо привести краткое
обоснование процесса построения поля линий скольжения и годографа скоростей.
Построение произвести с помощью средств машинной графики. Задание оформляется на листах формата А4.
6
Варианты заданий
№ варианта |
s, МПа |
b,мм |
|
a1,мм |
a2, мм |
m1 |
m2 |
1 |
300 |
|
14 |
2,958 |
17,726 |
0,940 |
0,174 |
2 |
350 |
|
18 |
8,794 |
22,471 |
0,500 |
0,342 |
3 |
400 |
|
16 |
13,018 |
7,738 |
0,766 |
0,766 |
4 |
450 |
|
14 |
16,218 |
3,214 |
0,342 |
0,985 |
5 |
400 |
|
14 |
6,840 |
19,177 |
0,500 |
0,643 |
6 |
300 |
|
16 |
8,835 |
21,011 |
0,342 |
0,500 |
7 |
350 |
|
20 |
11,044 |
28,350 |
0,342 |
0,766 |
8 |
400 |
|
16 |
5,035 |
21,916 |
0,940 |
0,643 |
9 |
450 |
|
18 |
7,193 |
23,637 |
0,866 |
0,500 |
10 |
500 |
|
20 |
9,672 |
24,968 |
0,766 |
0,342 |
11 |
300 |
|
20 |
9,771 |
17,622 |
0,500 |
0,866 |
12 |
350 |
|
18 |
16,759 |
7,193 |
0,643 |
0,866 |
13 |
400 |
|
20 |
20,927 |
6,293 |
0,500 |
0,940 |
14 |
450 |
|
18 |
13,023 |
18,237 |
0,342 |
0,174 |
15 |
500 |
|
16 |
5,654 |
9,642 |
0,766 |
0,985 |
16 |
350 |
|
14 |
7,925 |
16,468 |
0,643 |
0,174 |
17 |
350 |
|
20 |
11,322 |
4,142 |
0,643 |
0,940 |
18 |
400 |
|
14 |
9,048 |
4,685 |
0,500 |
0,985 |
19 |
500 |
|
14 |
9,730 |
7,925 |
0,866 |
0,643 |
20 |
400 |
|
20 |
6,293 |
18,621 |
0,940 |
0,643 |
21 |
300 |
|
18 |
8,253 |
14,348 |
0,985 |
0,174 |
22 |
300 |
|
14 |
3,214 |
19,845 |
0,985 |
0,766 |
23 |
350 |
|
20 |
15,942 |
18,478 |
0,174 |
0,342 |
24 |
400 |
|
18 |
11,444 |
4,124 |
0,766 |
0,985 |
25 |
450 |
|
16 |
12,754 |
11,750 |
0,174 |
0,643 |
26 |
500 |
|
14 |
6,095 |
6,419 |
0,940 |
0,985 |
27 |
500 |
|
20 |
6,703 |
11,527 |
0,985 |
0,940 |
7
Пример построения поля линий скольжения и годографа скоростей
|
|
О |
|
|
18,4 |
2,16 |
2,4 |
v0 |
|
|
0,16 |
0,0 |
18,0 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
(0,0)
8
Пример построения поля линий скольжения и годографа скоростей для симметричного абсолютно гладкого контейнера без жестких зон в углу матрицы.
Последовательность построения поля линий скольжения:
1.Точка A - край матрицы – является особой точкой, поскольку напряжение в ней неопределенно. Решение – центрированное поле линий скольжения.
2.Поскольку линии скольжения выходят на линию симметрии под углом 45°, то можно провести линию AD под углом 45° к оси. Эта линия будет отделять жесткую зону от поля линий скольжения.
3.По условию задачи трение на контактной поверхности матрицы AB отсутствует. Угол выхода линий скольжения на контур без касательных напряжений равен 45°. Поэтому можно провести линию из точки A под углом 45° поверхности матрицы. Эта линия будет границей центрированного поля линий скольжения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e,c |
b |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g,h |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b=135.46мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b",g",h",f” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 1 |
|
|
4 1 |
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 1 G |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
2 0 |
3 0 4 0 |
|
6 0 |
|
7 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 0 |
1 0 |
|
|
|
|
|
5 0 |
|
|
H |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
f' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
/4 |
/4 |
|
/4+ /2 |
8 1 |
|
|
|
|
|
/4 |
|
|
|
7 0 |
/4- /2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
E |
|
B |
k' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a=25мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
4.Проведя дугу, радиусом AD , получим точку C . Зона ACD будет являться центрированным полем линий скольжения.
5.К центрированному полю обязательно примыкает зона однородной деформации, состоящая из отрезков прямых, пересекающихся под прямым углом. Проводим из точки C прямую, перпендикулярную
линии |
AC до пересечения с контактной поверхностью |
AB в точке E . |
|||
Из |
геометрических |
соотношений |
следует, |
что |
углы |
CAE AEC / 4. |
|
|
|
|
|
9
6.Разделим центрированное поле на равные сектора1 с углом =15°= .
7.Заменим дугу DC ломаной линией, состоящей из отрезков, соединяющих точки пересечения радиусов с дугой. Пронумеруем полученные узлы.
8.Линии скольжения должны выходить на ось симметрии под углом . Проведем из точки (1,0) линию, перпендикулярную отрезку (0,0)-(1,0). На пересечении этой линии с осью симметрии получим точку (1,1).
Дополнительно обозначим эту точку F . Линия (1,0)-(1,1) составит с осью симметрии угол /2, что допустимо при кусочно-линейном построении методом Шофмана.
9.Построение точек (2,1) … (6,1) основано на задаче построения поля линий скольжения по двум известным линиям скольжения методом Шофмана. В полученных четырехугольниках два угла прямые, а два других противоположных соответственно и .
10.Линия (6,0)-(7,0) – прямая2, следовательно, все линии этого семейства - также прямые. Таким образом, линия, исходящая из точки (6,1) должна быть тоже прямой. Согласно первой теореме Генки, угол между этими линиям должен быть равен . Из точки G проводим линию под углом к линии CG.
11.Линии скольжения выходят на контактную поверхность без трения под углом /4. В том случае, если контактные давления распределены равномерно, то эти линии прямые, в противном случае – кривые. При кусочно-линейном построении по методу Шофмана исходные кривые линии заменяются прямыми, выходящими на контактную поверхность под углами /2, /2. Проведем из точки E линию под углом/2 к контактной поверхности и на пересечении получим точку (7,1).
12.Точку (8,1) построим по методу Шоффмана. Она совпадет с точкой B - углом матрицы, следовательно построение заканчено.
Последовательность построения годографа скоростей:
1.Из полюса О откладываем единичную скорость равную скорости пуансона. Эту скорость имеют все точки жесткой зоны, поэтому конец единичного вектора можно одновременно обозначить через b",g",h",f".
2.Начнем построение с точки B . В жесткой зоне точка двигается вертикально, в пластической же – горизонтально, вдоль поверхности матрицы. Линия разрыва скоростей направлена под углом 45° к поверхности матрицы. Проводим линию из полюса параллельно поверхности матрицы и линию из точки b" параллельно направлению линии разрыва скоростей. На пересечении этих линий находится точка b , отражающая скорость точки B в зоне пластических деформаций. Вектор
1В домашнем задании следует выбирать =5°= 36.
2В отличие от линий (1,1) … (6,1), которые являются прямыми только по построению Шофмана, т.е. заменяют гладкие кривые.
10