§6.Алгебраические линии на плоскости.

Линии, описываемые алгебраическим уравнением n −го порядка от двух переменных, называют линиями или кривымиn −го порядка на плоскости.

Линии 1 – го порядка описываются уравнением Ах + Ву + С = 0 () представляют собой прямые.

Уравнения 2 – го порядка : ,() называют

кривыми2 – гопорядкаи представляют собой целое семейство плоских кривых.

§7. Окружность.

Определение.Окружность− геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от

заданной фиксированной точки плоскости, называемой центром окружности. Расстояние от

точек окружности до центра – радиус окружности.

Если центр окружности находится в т. М₀(х₀,у₀), а радиус равенr, то уравнение окружности может быть написано в следующем виде:

§8. Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемыхфокусами эллипса, есть величина постоянная.

Для вывода уравнения эллипса выберем фокусы в точках F₁(-c,0) иF₂(c,0) (c> 0) , а сумму расстояний обозначим через 2а(2a >2 c). ПустьМ(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда:

y

bМ

−aF₁F₂axОбозначивa²−c² =b², окончательно

−bполучим:

рис.5

Числа a иbназываютсяполуосями эллипса (точки пересечения эллипса с осями координат имеют своими координатами числаа иb(рис.5)).

Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси называется эксцентриситетомэллипса:Эксцентриситет характеризует форму

эллипса. При ε = 0 эллипс превращается в окружность, приε = 1 − вырождается в отрезок.

Написанное выше уравнение называется каноническимуравнением эллипса. (Вообще, в геометрии словами каноническое уравнение, обычно, называют уравнение, содержащее в явном виде все основные геометрические характеристики объекта. См. например, каноническое уравнение прямой (§4))

Это уравнение является частным случаем уравнения 2 – го порядка (§6). Нетрудно видеть,

что любое уравнение представляет собой эллипс при условии

AC > 0. (Более общие условия будут выведены позже)

Пример.− эллипс

с центром в т.(−1,2) и полуосями 2 и 4. F₁(−1,) иF₂(−1,).

Замечания. 1) Фокусы эллипса всегда расположены на больших полуосях .

2) Если правая часть = 0, то вырожденный эллипс (точка), если = −1 – мнимый эллипс.

§9. Гипербола.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемыхфокусами гиперболы, есть величина постоянная и не равная нулю.

Снова выберем фокусы в точках F₁(-c,0) иF₂(c,0) (c> 0) , а модуль разности расстояний обозначим через 2а(2a < 2 c). Для произвольной точки гиперболы М(х,у) имеем:

После проведения элементарных преобразований, аналогичных предыдущим, получим

каноническое уравнение гиперболы:

yИз уравнения сразу следует, что

bПригипербола имеетасимптоты.

аF₂xЭксцентриситет гиперболы определяется так же, как и

у эллипса, и равен

рис.6

Замечания. 1) При исследовании уравнения 2 – го порядка могут быть получены уравнения

следующего вида: Центр таких гипербол находится в точке (х₀,у₀), а

−1 в правой части означает, что гипербола повернута вокруг начала координат на 90⁰.

2. Уравнение описывает две пересекающиеся прямые.

3. «Школьное» уравнение гиперболы представляет собой частный случай, когда ось

гиперболы повернута на 45⁰, а асимптотами являются координатные оси.

Пример. Определить вид и характеристики кривой: