§3.Прямая на плоскости.

Определим прямую lна плоскости следующим образом:

Пусть заданы произвольная фиксированная т. М₀(х₀,у₀)и произвольный фиксированный

ненулевой вектор , перпендикулярный данной прямой, который называется

нормальным вектором прямой или простонормалью.

Прямой, проходящей через т. М₀, с данным нормальным векторомназывается геометрическое место концов векторов на плоскости, имеющих начало в т.М₀и ортогональных вектору(рис.3).

Используя данное определение, легко написать аналитическое задание или уравнение этой прямой.

уПусть т.М(х,у) − произвольная точка прямой.

Из условия сразу следует:

М₀

МхИтак,− уравнение прямой, проходящей

Рис.3 через точку (х₀,у₀) и перпендикулярной вектору

Если обозначить выражение − Ах₀−Ву₀черезС, то получим

общее уравнение прямой на плоскости:

§4. Специальные виды уравнения прямой.

1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Хорошо известное уравнение y = k x + b, где k = tgφ− тангенс угла наклона прямой к осиОХ,

а b − величина отрезка от начала координат до точки пересечения прямой с осьюOY.

II. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как прямая полностью определяется двумя точками, естественно написать соответствующее уравнение. Пусть даны две различные точки, принадлежащие прямой l:

. В этом случае. Отсюда :

− уравнение прямой через две точки.

III. Каноническое и параметрические уравнения прямой.

Любой вектор, коллинеарный прямой lназываетсянаправляющим вектором прямой.

(В частности, вектор (пунктII) − направляющий) Если дана точка на

прямой и направляющий вектор , то последнее уравнение можно переписать в виде:

−каноническоеуравнения прямой. Если полученную пропорцию приравнять

к параметру t, то получимпараметрическиеуравнения прямой:.

IV. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть известны точки пересечения прямой с осями координат: .

Отсюда : уравнение прямой в отрезках.

§5. Основные задачи, связанные с прямой.

1. Угол между прямыми.

Рассмотрим две прямые l₁и l₂. Если эти прямые заданы своими общими уравнениями, то

косинус угла между ними может быть найден как косинус угла между их нормалями или направляющими векторами с помощью скалярного произведения: .

Замечание. Направляющий вектор из нормального (и наоборот) легко получить следующим образом:

В случае задания прямых уравнениями с угловым коэффициентом, имеем соотношение:

2. Условия параллельности и ортогональности двух прямых.

3. Расстояние от точки до прямой.

Вычислим расстояние от произвольной точки плоскости M^*(x^*,y^*) до прямойl:Ax+By+C = 0.

Пусть М(х,у) − произвольная точка прямой,− нормаль (рис.4).

Расстояние от т.M^*до прямой, очевидно, равно модулю проекции

•М^*векторана вектор нормали:

М

Т.к. точка , то Ах + Ву = −Си окончательно получаем:

Рис.4

Замечание. Знак выраженияАх^*+Ву^*+Сменяется при переходе точки через прямую.