§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.

В этом параграфе будут рассмотрены три задачи: вычисление координат вектора по координатам точекА иВ, вычисление длины отрезка и деление отрезка в данном отношении.

1. Вычисление координат вектора .

ВПусть− произвольный вектор пространства (рис.2). ТочкиА'

МиВ'с координатамиА_хиВ_х− проекции точекАиВна осьОХ.

А Координаты вектора равны его проекциям на координатные оси (§1).

Следовательно, его первая координата равна В_х−А_х(гл.I,§3,св.3).

А'М'В' ОХ Аналогичный результат получается для остальных координатных

Рис.2 осей. Таким образом: .

2. Вычисление длины отрезка.

Так как длина отрезка АВ(|AB|) равна, то |AB| =

(гл.1, §7).

2. Деление отрезка в данном отношении.

Рассмотрим т. (рис.2). Требуется определить число, гдеАМиМВ− величины направленных отрезков, называемое отношением, в котором т.Мделит

направленный отрезок . Из курса элементарной геометрии и полученных результатов имеем:. Отсюда легко получаем координаты точкиМ:

.

Замечания.

1. Наиболее важным частным случаем является деление отрезка пополам:

2. Полученный результат сохраняется для любого расположения точек, лежащих

на одной прямой. В случае, когда т.величинаλ будет отрицательной.

§2.Аналитическая геометрия на плоскости.

В этом и нескольких последующих параграфах будут рассмотрены основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

Пусть дана некоторая фиксированная координатная плоскость, т.е. плоскость, на которой

задана декартова система координат XOYи ортонормированный базис {i, j}, орты которого сонаправлены координатным осямх и усоответственно.

Любая точка плоскости определяется двумя координатами – координатами своих ортогональных проекций на эти оси: М(х,у).

Любой вектор плоскости так же определяется двумя координатами – коэффициентами разложения по базису или, что то же самое, своими проекциями на координатные оси: а= (а_х,а_у).

Линия на плоскости определяется как геометрическое место точек плоскости (гмт), удовлетворяющих некоторому геометрическому или аналитическому условию. Геометрическое условие необходимо перевести в аналитическое (геометрия –аналитическая!), а у аналитического

− выяснить геометрический смысл (аналитическая геометрия). Аналитическим заданием линии является уравнение с двумя переменными:F(x, y) = 0, т.е. линия на плоскости определяется как

геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Иногда линия задается в параметрической форме:

Замечание.В математическом анализе уравнениеF(x, y) = 0 называют неявным заданием функции

(частный случай y = f (x) называется явным заданием), т.е. используются понятия функции и аргумента. В аналитической геометрии, вообще говоря, переменныехиусчитают равноправными.